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7. 用配方法解一元二次方程$2x^{2}+4x-5=0$时，将它化成$(x+a)^{2}=b$的形式，则$a+b$的值为
（
A.8
B.$\dfrac{9}{2}$
C.$\dfrac{7}{2}$
D.$\dfrac{5}{2}$
（
B
）A.8
B.$\dfrac{9}{2}$
C.$\dfrac{7}{2}$
D.$\dfrac{5}{2}$
答案
7. B 解析:移项,得$2x^{2}+4x=5$,系数化为1,得$x^{2}+2x=\dfrac{5}{2}$,配方,得$x^{2}+2x+1=\dfrac{5}{2}+1$,即$(x+1)^{2}=\dfrac{7}{2}$,$\therefore a=1,b=\dfrac{7}{2}$,$\therefore a+b=\dfrac{9}{2}$。
解析
【分析】
要解决这个问题，需掌握配方法解一元二次方程的步骤：先将常数项移到方程右侧，再把二次项系数化为1，接着在方程两边加上一次项系数一半的平方完成配方，最终化为$(x+a)^2=b$的形式，确定$a$、$b$的值后计算$a+b$即可。
【解析】
解：对一元二次方程$2x^2 + 4x -5=0$进行配方法变形：
1. 移项：将常数项移到等号右边，得$2x^2 +4x =5$；
2. 系数化为1：两边同时除以二次项系数2，得$x^2 +2x = \frac{5}{2}$；
3. 配方：在方程两边加上一次项系数一半的平方（一次项系数为2，一半是1，平方为1），得$x^2 +2x +1 = \frac{5}{2} +1$，整理为$(x+1)^2 = \frac{7}{2}$；
由此可知$a=1$，$b=\frac{7}{2}$，则$a+b=1 + \frac{7}{2} = \frac{9}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
配方法解一元二次方程；一元二次方程的解法
【点评】
本题考查配方法解一元二次方程的基础操作，步骤清晰明确，只要熟练掌握移项、系数化1、配方的核心步骤，就能顺利求解，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，需掌握配方法解一元二次方程的步骤：先将常数项移到方程右侧，再把二次项系数化为1，接着在方程两边加上一次项系数一半的平方完成配方，最终化为$(x+a)^2=b$的形式，确定$a$、$b$的值后计算$a+b$即可。
【解析】
解：对一元二次方程$2x^2 + 4x -5=0$进行配方法变形：
1. 移项：将常数项移到等号右边，得$2x^2 +4x =5$；
2. 系数化为1：两边同时除以二次项系数2，得$x^2 +2x = \frac{5}{2}$；
3. 配方：在方程两边加上一次项系数一半的平方（一次项系数为2，一半是1，平方为1），得$x^2 +2x +1 = \frac{5}{2} +1$，整理为$(x+1)^2 = \frac{7}{2}$；
由此可知$a=1$，$b=\frac{7}{2}$，则$a+b=1 + \frac{7}{2} = \frac{9}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
配方法解一元二次方程；一元二次方程的解法
【点评】
本题考查配方法解一元二次方程的基础操作，步骤清晰明确，只要熟练掌握移项、系数化1、配方的核心步骤，就能顺利求解，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.7
8. 若一元二次方程$x^{2}-2x=\dfrac{5}{8}$较小的根为$x_{1}$,则（
A.$0＜ x_{1}＜ 1$
B.$-1＜ x_{1}＜ 0$
C.$-2＜ x_{1}＜ -1$
D.$-5＜ x_{1}＜ -4$
B
）A.$0＜ x_{1}＜ 1$
B.$-1＜ x_{1}＜ 0$
C.$-2＜ x_{1}＜ -1$
D.$-5＜ x_{1}＜ -4$
答案
8. B 解析:$\because x^{2}-2x=\dfrac{5}{8}$,$\therefore x^{2}-2x+1=\dfrac{5}{8}+1$,即$(x-1)^{2}=\dfrac{13}{8}$,$\therefore x-1=\pm\dfrac{\sqrt{26}}{4}$,$\therefore x=1\pm\dfrac{\sqrt{26}}{4}$。
$\because x_{1}$为一元二次方程$x^{2}-2x=\dfrac{5}{8}$较小的根,$\therefore x_{1}=1-\dfrac{\sqrt{26}}{4}$。
$\because 5＜\sqrt{26}＜6$,$\therefore -1＜x_{1}＜0$。
$\because x_{1}$为一元二次方程$x^{2}-2x=\dfrac{5}{8}$较小的根,$\therefore x_{1}=1-\dfrac{\sqrt{26}}{4}$。
$\because 5＜\sqrt{26}＜6$,$\therefore -1＜x_{1}＜0$。
解析
【分析】
要解决这道题，首先需将给定的一元二次方程通过配方法转化为完全平方形式，求出方程的两个根，确定较小的根$x_1$；接着估算无理数$\sqrt{26}$的取值范围，进而推导$x_1$的范围，匹配对应选项。
【解析】
原方程为$x^2 - 2x = \dfrac{5}{8}$，对左边配方：
两边同时加1，得$x^2 - 2x + 1 = \dfrac{5}{8} + 1$，即$(x - 1)^2 = \dfrac{13}{8}$；
开方得$x - 1 = \pm\dfrac{\sqrt{26}}{4}$，因此方程的两个根为$x = 1 \pm \dfrac{\sqrt{26}}{4}$；
因为$x_1$是较小的根，所以$x_1 = 1 - \dfrac{\sqrt{26}}{4}$；
估算$\sqrt{26}$的范围：$5^2 = 25$，$6^2 = 36$，故$5 ＜ \sqrt{26} ＜ 6$；
两边除以4得$\dfrac{5}{4} ＜ \dfrac{\sqrt{26}}{4} ＜ \dfrac{6}{4}$，即$1.25 ＜ \dfrac{\sqrt{26}}{4} ＜ 1.5$；
两边乘$-1$变号得$-1.5 ＜ -\dfrac{\sqrt{26}}{4} ＜ -1.25$，再加1得$1 - 1.5 ＜ 1 - \dfrac{\sqrt{26}}{4} ＜ 1 - 1.25$，即$-0.5 ＜ x_1 ＜ -0.25$，因此$-1 ＜ x_1 ＜ 0$。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程配方法、无理数的估算
【点评】
本题综合考查一元二次方程的配方法求解及无理数的估算，解题核心是正确配方求根，再通过平方数确定无理数范围，难度适中，需注意不等式变形时符号的变化。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先需将给定的一元二次方程通过配方法转化为完全平方形式，求出方程的两个根，确定较小的根$x_1$；接着估算无理数$\sqrt{26}$的取值范围，进而推导$x_1$的范围，匹配对应选项。
【解析】
原方程为$x^2 - 2x = \dfrac{5}{8}$，对左边配方：
两边同时加1，得$x^2 - 2x + 1 = \dfrac{5}{8} + 1$，即$(x - 1)^2 = \dfrac{13}{8}$；
开方得$x - 1 = \pm\dfrac{\sqrt{26}}{4}$，因此方程的两个根为$x = 1 \pm \dfrac{\sqrt{26}}{4}$；
因为$x_1$是较小的根，所以$x_1 = 1 - \dfrac{\sqrt{26}}{4}$；
估算$\sqrt{26}$的范围：$5^2 = 25$，$6^2 = 36$，故$5 ＜ \sqrt{26} ＜ 6$；
两边除以4得$\dfrac{5}{4} ＜ \dfrac{\sqrt{26}}{4} ＜ \dfrac{6}{4}$，即$1.25 ＜ \dfrac{\sqrt{26}}{4} ＜ 1.5$；
两边乘$-1$变号得$-1.5 ＜ -\dfrac{\sqrt{26}}{4} ＜ -1.25$，再加1得$1 - 1.5 ＜ 1 - \dfrac{\sqrt{26}}{4} ＜ 1 - 1.25$，即$-0.5 ＜ x_1 ＜ -0.25$，因此$-1 ＜ x_1 ＜ 0$。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程配方法、无理数的估算
【点评】
本题综合考查一元二次方程的配方法求解及无理数的估算，解题核心是正确配方求根，再通过平方数确定无理数范围，难度适中，需注意不等式变形时符号的变化。
【难度系数】
0.6
9. 用配方法解方程$\dfrac{1}{2}x^{2}+x-\dfrac{5}{2}=0$时可配方为$\dfrac{1}{2}\left \lbrack(x+1)^{2}+k\right \rbrack=0$,则$k=$
$-6$
.答案
9. $-6$ 解析:$\because \dfrac{1}{2}x^{2}+x-\dfrac{5}{2}=0$,$\therefore \dfrac{1}{2}(x^{2}+2x-5)=0$,$\therefore \dfrac{1}{2}[(x+1)^{2}-6]=0$,$\therefore k=-6$。
解析
【分析】本题需通过配方法对给定的一元二次方程变形，核心是利用完全平方公式将二次式转化为完全平方形式，具体思路为：先提取二次项系数，再对括号内的二次式配方，最后对比题目给出的配方形式求出k值。
【解析】原方程为$\dfrac{1}{2}x^{2}+x-\dfrac{5}{2}=0$，第一步提取二次项系数$\dfrac{1}{2}$，得：
$\dfrac{1}{2}(x^{2}+2x -5)=0$
第二步对括号内的$x^2+2x$配方，根据完全平方公式$a^2+2ab=(a+b)^2 -b^2$，可得$x^2+2x=(x+1)^2 -1$，代入后整理得：
$\dfrac{1}{2}[(x+1)^2 -1 -5]=0$
第三步化简括号内的常数项：$-1-5=-6$，因此方程可配方为$\dfrac{1}{2}[(x+1)^2 -6]=0$，对比题目给出的$\dfrac{1}{2}\left \lbrack(x+1)^{2}+k\right \rbrack=0$，可得$k=-6$。
【答案】$-6$
【知识点】配方法解一元二次方程，完全平方公式
【点评】本题是配方法的基础应用，重点考察配方法的操作步骤和完全平方公式的运用，属于基础题型，只要掌握核心方法即可快速求解。
【难度系数】0.7
【解析】原方程为$\dfrac{1}{2}x^{2}+x-\dfrac{5}{2}=0$，第一步提取二次项系数$\dfrac{1}{2}$，得：
$\dfrac{1}{2}(x^{2}+2x -5)=0$
第二步对括号内的$x^2+2x$配方，根据完全平方公式$a^2+2ab=(a+b)^2 -b^2$，可得$x^2+2x=(x+1)^2 -1$，代入后整理得：
$\dfrac{1}{2}[(x+1)^2 -1 -5]=0$
第三步化简括号内的常数项：$-1-5=-6$，因此方程可配方为$\dfrac{1}{2}[(x+1)^2 -6]=0$，对比题目给出的$\dfrac{1}{2}\left \lbrack(x+1)^{2}+k\right \rbrack=0$，可得$k=-6$。
【答案】$-6$
【知识点】配方法解一元二次方程，完全平方公式
【点评】本题是配方法的基础应用，重点考察配方法的操作步骤和完全平方公式的运用，属于基础题型，只要掌握核心方法即可快速求解。
【难度系数】0.7
10. 将代数式$2x^{2}+8x-7$化成$a(x+m)^{2}+n$的形式为
$2(x+2)^{2}-15$
.答案
10. $2(x+2)^{2}-15$ 解析:$2x^{2}+8x-7=2(x^{2}+4x)-7=2(x^{2}+4x+4)-7-8=2(x+2)^{2}-15$。
解析
【分析】
要将代数式$2x^2+8x-7$化成$a(x+m)^2+n$的形式，需运用配方法：先提取二次项系数，将二次项与一次项整合到括号内，再对括号内的二次式进行配方（加上一次项系数一半的平方），同时调整常数项以保持代数式的值不变，最终整理成目标形式。
【解析】
$2x^2+8x-7$
$=2(x^2+4x)-7$（提取二次项系数）
$=2(x^2+4x+4)-7-2×4$（对括号内配方，加4后需减去对应系数的乘积，保证等式成立）
$=2(x+2)^2-15$
【答案】
$2(x+2)^2-15$
【知识点】
配方法，代数式的恒等变形
【点评】
本题考查配方法的基础应用，是代数式变形的核心题型，需熟练掌握提取二次项系数、配方的操作逻辑。
【难度系数】
0.8
要将代数式$2x^2+8x-7$化成$a(x+m)^2+n$的形式，需运用配方法：先提取二次项系数，将二次项与一次项整合到括号内，再对括号内的二次式进行配方（加上一次项系数一半的平方），同时调整常数项以保持代数式的值不变，最终整理成目标形式。
【解析】
$2x^2+8x-7$
$=2(x^2+4x)-7$（提取二次项系数）
$=2(x^2+4x+4)-7-2×4$（对括号内配方，加4后需减去对应系数的乘积，保证等式成立）
$=2(x+2)^2-15$
【答案】
$2(x+2)^2-15$
【知识点】
配方法，代数式的恒等变形
【点评】
本题考查配方法的基础应用，是代数式变形的核心题型，需熟练掌握提取二次项系数、配方的操作逻辑。
【难度系数】
0.8
11. 若方程$4x^{2}-ax+1=0$可变形为$(2x-b)^{2}=0$，则$ab=$
$4$
.答案
11. 4 解析:$\because (2x-b)^{2}=0$,$\therefore 4x^{2}-4bx+b^{2}=0$。$\because 4x^{2}-ax+1=0$,$\therefore -4b=-a$,$b^{2}=1$,解得$a=4,b=1$或$a=-4,b=-1$。当$a=4,b=1$时,$ab=4×1=4$;当$a=-4,b=-1$时,$ab=(-4)×(-1)=4$。综上所述,$ab=4$。
解析
【分析】
要解决这道题，需先将变形后的完全平方形式展开得到一元二次方程，再利用两个相同方程对应项系数相等的性质求出参数a、b的值，最后计算ab的值。
【解析】
根据完全平方公式展开$(2x - b)^2$：
$(2x - b)^2 = (2x)^2 - 2 · 2x · b + b^2 = 4x^2 - 4bx + b^2$，
已知$(2x - b)^2 = 0$，即$4x^2 - 4bx + b^2 = 0$，又原方程为$4x^2 - ax + 1 = 0$，两个方程相同，对应项系数相等，因此：
常数项：$b^2 = 1$，解得$b = 1$或$b = -1$；
一次项系数：$-4b = -a$，即$a = 4b$。
当$b = 1$时，$a = 4×1 = 4$，则$ab = 4×1 = 4$；
当$b = -1$时，$a = 4×(-1) = -4$，则$ab = (-4)×(-1) = 4$。
综上，$ab = 4$。
【答案】
4
【知识点】
完全平方公式、一元二次方程系数对应
【点评】
本题考查完全平方公式的应用及一元二次方程的系数匹配，核心是利用相同方程对应项系数相等求参数，两种参数组合计算ab结果一致，难度适中，需注意符号处理。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，需先将变形后的完全平方形式展开得到一元二次方程，再利用两个相同方程对应项系数相等的性质求出参数a、b的值，最后计算ab的值。
【解析】
根据完全平方公式展开$(2x - b)^2$：
$(2x - b)^2 = (2x)^2 - 2 · 2x · b + b^2 = 4x^2 - 4bx + b^2$，
已知$(2x - b)^2 = 0$，即$4x^2 - 4bx + b^2 = 0$，又原方程为$4x^2 - ax + 1 = 0$，两个方程相同，对应项系数相等，因此：
常数项：$b^2 = 1$，解得$b = 1$或$b = -1$；
一次项系数：$-4b = -a$，即$a = 4b$。
当$b = 1$时，$a = 4×1 = 4$，则$ab = 4×1 = 4$；
当$b = -1$时，$a = 4×(-1) = -4$，则$ab = (-4)×(-1) = 4$。
综上，$ab = 4$。
【答案】
4
【知识点】
完全平方公式、一元二次方程系数对应
【点评】
本题考查完全平方公式的应用及一元二次方程的系数匹配，核心是利用相同方程对应项系数相等求参数，两种参数组合计算ab结果一致，难度适中，需注意符号处理。
【难度系数】
0.6
12. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$($a$、$b$、$c$ 是常数,$a ≠ 0$) 配方后为 $(x+1)^2=d$($d$ 为常数),则$\dfrac{b}{2a}=$
$1$
.答案
12. 1 解析:将$(x+1)^{2}=d$化为一般形式为$x^{2}+2x+1-d=0$,则$a=1,b=2$,$\therefore \dfrac{b}{2a}=1$。
解析
【分析】
要解决该问题，需利用一元二次方程配方前后形式的对应关系：先将配方后的完全平方形式展开为一元二次方程的一般式，再与原方程的一般式对比确定a、b的值，进而计算$\dfrac{b}{2a}$。
【解析】
将配方后的方程$(x+1)^2=d$展开为一般形式：
$x^2 + 2x + 1 - d = 0$
由于该方程与原一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）是同一个方程，对应项系数相等，可得：
$a=1$，$b=2$
因此$\dfrac{b}{2a}=\dfrac{2}{2×1}=1$
【答案】
1
【知识点】
一元二次方程配方法；一元二次方程一般式
【点评】
本题考查一元二次方程配方与一般式的转化，核心是利用方程对应项系数相等的性质，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.8
要解决该问题，需利用一元二次方程配方前后形式的对应关系：先将配方后的完全平方形式展开为一元二次方程的一般式，再与原方程的一般式对比确定a、b的值，进而计算$\dfrac{b}{2a}$。
【解析】
将配方后的方程$(x+1)^2=d$展开为一般形式：
$x^2 + 2x + 1 - d = 0$
由于该方程与原一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）是同一个方程，对应项系数相等，可得：
$a=1$，$b=2$
因此$\dfrac{b}{2a}=\dfrac{2}{2×1}=1$
【答案】
1
【知识点】
一元二次方程配方法；一元二次方程一般式
【点评】
本题考查一元二次方程配方与一般式的转化，核心是利用方程对应项系数相等的性质，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.8
13. 解下列方程：
(1)$2x^{2}-7x+6=0$；
(2)$2x(x-3)=1$；
(3)$-\dfrac{1}{6}x^{2}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{2}x$；
(4)$2x^{2}-\sqrt{2}x-30=0.$
(1)$2x^{2}-7x+6=0$；
(2)$2x(x-3)=1$；
(3)$-\dfrac{1}{6}x^{2}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{2}x$；
(4)$2x^{2}-\sqrt{2}x-30=0.$
答案
13. (1)$x_{1}=2,x_{2}=\dfrac{3}{2}$。 (2)$x_{1}=\dfrac{3+\sqrt{11}}{2},x_{2}=\dfrac{3-\sqrt{11}}{2}$。 (3)$x_{1}=-1,x_{2}=-2$。 (4)$x_{1}=3\sqrt{2},x_{2}=-\dfrac{5\sqrt{2}}{2}$。
解析
【分析】
解一元二次方程时，先将方程整理为标准形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，再根据方程特点选解法：能因式分解优先用因式分解法，无法因式分解则用公式法（求根公式为$x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，需先计算判别式$\Delta=b^2-4ac$）。本题4个一元二次方程，分别用因式分解法和公式法求解即可。
【解析】
(1) 方程$2x^2-7x+6=0$，用因式分解法：
变形为$(x-2)(2x-3)=0$，
则$x-2=0$或$2x-3=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=\frac{3}{2}$；
(2) 方程$2x(x-3)=1$，整理为标准形式：
$2x^2-6x-1=0$，其中$a=2$，$b=-6$，$c=-1$，
计算判别式$\Delta=(-6)^2-4×2×(-1)=44$，
代入求根公式：$x=\frac{6±\sqrt{44}}{4}=\frac{3±\sqrt{11}}{2}$，
解得$x_1=\frac{3+\sqrt{11}}{2}$，$x_2=\frac{3-\sqrt{11}}{2}$；
(3) 方程$-\frac{1}{6}x^2-\frac{1}{3}=\frac{1}{2}x$，两边同乘6消分母：
$-x^2-2=3x$，整理为标准形式$x^2+3x+2=0$，
因式分解得$(x+1)(x+2)=0$，
则$x+1=0$或$x+2=0$，
解得$x_1=-1$，$x_2=-2$；
(4) 方程$2x^2-\sqrt{2}x-30=0$，其中$a=2$，$b=-\sqrt{2}$，$c=-30$，
计算判别式$\Delta=(-\sqrt{2})^2-4×2×(-30)=242$，$\sqrt{242}=11\sqrt{2}$，
代入求根公式：$x=\frac{\sqrt{2}±11\sqrt{2}}{4}$，
计算得$x_1=3\sqrt{2}$，$x_2=-\frac{5\sqrt{2}}{2}$；
【答案】
13. (1)$x_1=2,x_2=\frac{3}{2}$；(2)$x_1=\frac{3+\sqrt{11}}{2},x_2=\frac{3-\sqrt{11}}{2}$；(3)$x_1=-1,x_2=-2$；(4)$x_1=3\sqrt{2},x_2=-\frac{5\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
一元二次方程的解法、一元二次方程的标准形式
【点评】
本题考查一元二次方程的基础解法，涵盖因式分解法和公式法，需熟练掌握方程整理、因式分解技巧及求根公式应用，计算时注意符号和根式化简，属于巩固性基础题型。
【难度系数】
0.7
解一元二次方程时，先将方程整理为标准形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，再根据方程特点选解法：能因式分解优先用因式分解法，无法因式分解则用公式法（求根公式为$x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，需先计算判别式$\Delta=b^2-4ac$）。本题4个一元二次方程，分别用因式分解法和公式法求解即可。
【解析】
(1) 方程$2x^2-7x+6=0$，用因式分解法：
变形为$(x-2)(2x-3)=0$，
则$x-2=0$或$2x-3=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=\frac{3}{2}$；
(2) 方程$2x(x-3)=1$，整理为标准形式：
$2x^2-6x-1=0$，其中$a=2$，$b=-6$，$c=-1$，
计算判别式$\Delta=(-6)^2-4×2×(-1)=44$，
代入求根公式：$x=\frac{6±\sqrt{44}}{4}=\frac{3±\sqrt{11}}{2}$，
解得$x_1=\frac{3+\sqrt{11}}{2}$，$x_2=\frac{3-\sqrt{11}}{2}$；
(3) 方程$-\frac{1}{6}x^2-\frac{1}{3}=\frac{1}{2}x$，两边同乘6消分母：
$-x^2-2=3x$，整理为标准形式$x^2+3x+2=0$，
因式分解得$(x+1)(x+2)=0$，
则$x+1=0$或$x+2=0$，
解得$x_1=-1$，$x_2=-2$；
(4) 方程$2x^2-\sqrt{2}x-30=0$，其中$a=2$，$b=-\sqrt{2}$，$c=-30$，
计算判别式$\Delta=(-\sqrt{2})^2-4×2×(-30)=242$，$\sqrt{242}=11\sqrt{2}$，
代入求根公式：$x=\frac{\sqrt{2}±11\sqrt{2}}{4}$，
计算得$x_1=3\sqrt{2}$，$x_2=-\frac{5\sqrt{2}}{2}$；
【答案】
13. (1)$x_1=2,x_2=\frac{3}{2}$；(2)$x_1=\frac{3+\sqrt{11}}{2},x_2=\frac{3-\sqrt{11}}{2}$；(3)$x_1=-1,x_2=-2$；(4)$x_1=3\sqrt{2},x_2=-\frac{5\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
一元二次方程的解法、一元二次方程的标准形式
【点评】
本题考查一元二次方程的基础解法，涵盖因式分解法和公式法，需熟练掌握方程整理、因式分解技巧及求根公式应用，计算时注意符号和根式化简，属于巩固性基础题型。
【难度系数】
0.7
14. 配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来解决很多其他问题. 例如：因为 $3a^2 ≥ 0$，所以 $3a^2+1 ≥ 1$，即 $3a^2+1$ 有最小值 1，此时 $a=0$. 同样，因为 $-3(a+1)^2 ≤ 0$，所以 $-3(a+1)^2+6 ≤ 6$，即 $-3(a+1)^2+6$ 有最大值 6，此时 $a=-1$.
(1) 当 $x=$
(2) 当 $x=$
(3) 如图，矩形花园的一面靠墙(墙足够长)，另外三面的栅栏的总长度是 20 m，当花园与墙相邻的边的长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？
(1) 当 $x=$
$1$
时，代数式 $2(x-1)^2+3$ 有最 小
(填“大”或“小”)值，为 $3$
.(2) 当 $x=$
$2$
时，代数式 $-x^2+4x+3$ 有最 大
(填“大”或“小”)值，为 $7$
.(3) 如图，矩形花园的一面靠墙(墙足够长)，另外三面的栅栏的总长度是 20 m，当花园与墙相邻的边的长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？
答案
14. (1)1 小 3 解析:$\because (x-1)^{2}≥0$,$\therefore$ 当$x=1$时,$(x-1)^{2}$有最小值,为0,则当$x=1$时,代数式$2(x-1)^{2}+3$有最小值,为3。
(2)2 大 7 解析:$-x^{2}+4x+3=-(x^{2}-4x+4)+7=-(x-2)^{2}+7$,当$x=2$时,代数式$-x^{2}+4x+3$有最大值,为7。
(3)设花园与墙相邻的边的长为$t$ m,则平行于墙的一边的长为$(20-2t)$ m,$\therefore$ 花园的面积为$t(20-2t)=-2t^{2}+20t=-2(t^{2}-10t+25)+50=-2(t-5)^{2}+50$,则当花园与墙相邻的边的长为5 m时,花园的面积最大,最大面积为$50\ \mathrm{m}^2$。
(2)2 大 7 解析:$-x^{2}+4x+3=-(x^{2}-4x+4)+7=-(x-2)^{2}+7$,当$x=2$时,代数式$-x^{2}+4x+3$有最大值,为7。
(3)设花园与墙相邻的边的长为$t$ m,则平行于墙的一边的长为$(20-2t)$ m,$\therefore$ 花园的面积为$t(20-2t)=-2t^{2}+20t=-2(t^{2}-10t+25)+50=-2(t-5)^{2}+50$,则当花园与墙相邻的边的长为5 m时,花园的面积最大,最大面积为$50\ \mathrm{m}^2$。
解析
【分析】
本题考查配方法求代数式的最值及二次函数的实际应用，核心思路是利用完全平方的非负性，将二次式配方为顶点式$a(x-h)^2 + k$的形式：当$a＞0$时，二次式有最小值$k$，此时$x=h$；当$a＜0$时，二次式有最大值$k$，此时$x=h$。对于实际问题，需先设变量，根据题意列出面积的函数表达式，再用配方法求最值。
【解析】
(1) 对于代数式$2(x-1)^2 + 3$，因为平方数具有非负性，即$(x-1)^2 ≥ 0$，所以$2(x-1)^2 ≥ 0$，进而$2(x-1)^2 + 3 ≥ 3$。当$(x-1)^2 = 0$时，即$x=1$时，代数式取得最小值，为$3$。
(2) 对代数式$-x^2 + 4x + 3$进行配方：
$\begin{aligned}-x^2 + 4x + 3&= -(x^2 - 4x) + 3\\&= -(x^2 - 4x + 4 - 4) + 3\\&= -(x-2)^2 + 4 + 3\\&= -(x-2)^2 + 7\end{aligned}$
因为$-(x-2)^2 ≤ 0$，所以代数式的最大值为$7$，此时$x=2$。
(3) 设花园与墙相邻的边长为$t\ \mathrm{m}$，则平行于墙的栅栏长度为$(20 - 2t)\ \mathrm{m}$，花园面积$S = t(20 - 2t)$，整理得：
$\begin{aligned}S&= -2t^2 + 20t\\&= -2(t^2 - 10t)\\&= -2[(t^2 - 10t + 25) - 25]\\&= -2(t - 5)^2 + 50\end{aligned}$
因为$-2 ＜ 0$，所以当$t=5$时，面积$S$取得最大值$50\ \mathrm{m}^2$，即花园与墙相邻的边的长为$5\ \mathrm{m}$时，面积最大，最大面积为$50\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
(1)$1$，小，$3$；(2)$2$，大，$7$；(3)当花园与墙相邻的边的长为$5\ \mathrm{m}$时，花园的面积最大，最大面积是$50\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
配方法求最值，二次函数应用，完全平方公式
【点评】
本题是配方法的典型应用，从代数式最值求解到实际问题转化，考查学生对配方法的掌握及数学建模能力，属于基础题型。
【难度系数】
0.5
本题考查配方法求代数式的最值及二次函数的实际应用，核心思路是利用完全平方的非负性，将二次式配方为顶点式$a(x-h)^2 + k$的形式：当$a＞0$时，二次式有最小值$k$，此时$x=h$；当$a＜0$时，二次式有最大值$k$，此时$x=h$。对于实际问题，需先设变量，根据题意列出面积的函数表达式，再用配方法求最值。
【解析】
(1) 对于代数式$2(x-1)^2 + 3$，因为平方数具有非负性，即$(x-1)^2 ≥ 0$，所以$2(x-1)^2 ≥ 0$，进而$2(x-1)^2 + 3 ≥ 3$。当$(x-1)^2 = 0$时，即$x=1$时，代数式取得最小值，为$3$。
(2) 对代数式$-x^2 + 4x + 3$进行配方：
$\begin{aligned}-x^2 + 4x + 3&= -(x^2 - 4x) + 3\\&= -(x^2 - 4x + 4 - 4) + 3\\&= -(x-2)^2 + 4 + 3\\&= -(x-2)^2 + 7\end{aligned}$
因为$-(x-2)^2 ≤ 0$，所以代数式的最大值为$7$，此时$x=2$。
(3) 设花园与墙相邻的边长为$t\ \mathrm{m}$，则平行于墙的栅栏长度为$(20 - 2t)\ \mathrm{m}$，花园面积$S = t(20 - 2t)$，整理得：
$\begin{aligned}S&= -2t^2 + 20t\\&= -2(t^2 - 10t)\\&= -2[(t^2 - 10t + 25) - 25]\\&= -2(t - 5)^2 + 50\end{aligned}$
因为$-2 ＜ 0$，所以当$t=5$时，面积$S$取得最大值$50\ \mathrm{m}^2$，即花园与墙相邻的边的长为$5\ \mathrm{m}$时，面积最大，最大面积为$50\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
(1)$1$，小，$3$；(2)$2$，大，$7$；(3)当花园与墙相邻的边的长为$5\ \mathrm{m}$时，花园的面积最大，最大面积是$50\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
配方法求最值，二次函数应用，完全平方公式
【点评】
本题是配方法的典型应用，从代数式最值求解到实际问题转化，考查学生对配方法的掌握及数学建模能力，属于基础题型。
【难度系数】
0.5
