1. 已知一次函数 $ y = kx - 2k $，正方形 $ ABCD $，$ A(1,1) $，$ B(4,1) $，$ C(4,4) $，$ D(1,4) $，若一次函数 $ y = kx - 2k $ 的图象与正方形 $ ABCD $ 的边有交点，则 $ k $ 的取值范围是（）

A.$ k ≥ 2 $ 或 $ k ≤ -4 $
B.$ k ≥ \frac{1}{2} $ 或 $ k ≤ -1 $
C.$ -4 ≤ k ≤ -1 $
D.$ \frac{1}{2} ≤ k ≤ 2 $

1. B

2. 直线$y=3x+3$分别交$x$轴、$y$轴于点$A,B$,点$D$在$x$轴正半轴上,$DC ⊥ AB$于点$C$.
(1)直接写出点的坐标:$A(\_\_\_\_\_\_,\_\_\_\_\_\_),B(\_\_\_\_\_\_,\_\_\_\_\_\_)$.
(2)如图①,连接$OC$,若$CO$平分$∠ ACD$,求直线$CD$的表达式.
(3)如图②,在(2)的条件下,点$E$在线段$CD$上运动,以$OE$为边作正方形$OEFG$(点$O,E,F,G$按逆时针排列).
①求证:点$G$必在直线$AB$上;
②求证:点$F$在某条定直线上运动.

2. (1)-1 0 0 3 解析:把 x=0 代入 y=3x+3 得 y=3,
∴ 点B的坐标为(0,3).把 y=0 代入 y=3x+3 得 3x+3=0,解得x=-1,
∴ 点A的坐标为(-1,0).
(2)设 CD 交 y 轴于点 T,过点 O 分别作 OM ⊥ AB 于点 M,ON ⊥ CD 于点 N,如图①所示.
∵ CO 平分∠ACD,OM ⊥ AB,ON ⊥ CD,
∴ OM=ON.
∵ DC ⊥ AB,
∴ ∠ACD=∠BCD=∠AOB=90°,
∴ ∠ADC+∠BAO=∠BAO+∠ABO = 90°,
∴ ∠ADC = ∠ABO.
∵ ∠OMB= ∠OND = 90°,
∴ △BOM≌△DON,
∴ OD=OB=3.
∵ ∠AOB=∠DOT,∠ADC=∠ABO,
∴ △AOB≌△TOD,
∴ OT=OA=1,
∴ T(0,1),D(3,0),
设直线 CD 的表达式为 y=kx+b(k≠0),把 T(0,1),D(3,0)代入得$\begin{cases} b=1,\\3k+b=0, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} b=1,\\k=-\dfrac{1}{3}, \end{cases}$
∴ 直线 CD 的表达式为 $y=-\dfrac{1}{3}x+1$.

(3)①过点 E 作 EH ⊥ x 轴于点 H,过点 G 作 GP ⊥ x 轴于点 P,
过点 F 作 FQ ⊥ EH 交 HE 的延长线于点 Q,如图②所示.
∵ 四边形 OEFG 为正方形,
∴ OE = OG = EF = FG, ∠GOE = ∠OEF=90°.
∵ EH ⊥ x 轴,GP ⊥ x 轴,
∴ ∠OPG = ∠OHE = 90°,
∴ ∠POG+∠EOH = ∠EOH+∠OEH = 90°,
∴ ∠POG = ∠OEH,
∴ △OEH ≌ △GOP. 同理可得 △OEH ≌ △EFQ,
∴ △OEH ≌ △GOP ≌ △EFQ,
∴ EH = OP = FQ, OH = GP = EQ,
∴ 设$E(m,-\dfrac{1}{3}m+1)$,$\therefore OH=m,EH=-\dfrac{1}{3}m+1$,$\therefore OP=EH=FQ=-\dfrac{1}{3}m+1,GP=OH=EQ=m$,$\therefore HQ=m-\dfrac{1}{3}m+1=\dfrac{2}{3}m+1$,点 F 的横坐标为 $m-(-\dfrac{1}{3}m+1)=\dfrac{4}{3}m-1$,$\therefore G(\dfrac{1}{3}m-1,m)$,$F(\dfrac{4}{3}m-1,\dfrac{2}{3}m+1)$.在 y=3x+3 中,令 $x=\dfrac{1}{3}m-1$,则 y=m-3+3=m,
∴ 点 G 在直线 AB 上.

② $\because F(\dfrac{4}{3}m-1,\dfrac{2}{3}m+1)$,$\therefore$ 令 $\dfrac{4}{3}m-1=x$,$\dfrac{2}{3}m+1=y$,消去参数 m,得 $y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}$,$\therefore$ 点 F 在定直线 $y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}$ 上运动.

3. 已知一次函数 $ y = kx + 3 - 2k $，当 $ k $ 变化时，原点到一次函数 $ y = kx + 3 - 2k $ 的图象的最大距离为 ______。

3. $\sqrt{13}$ 解析:一次函数 $ y = kx + 3 - 2k = (x-2)k + 3 $ 中,令x=2,则 y=3,可得一次函数图象过定点 A(2,3),当 OA 与一次函数 y=kx+3-2k 的图象垂直时,原点到一次函数 y=kx+3-2k 的图象的距离最大,
∴ 最大距离 $OA=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$.