1 [2025 安徽合肥期中，中]若$m = \frac{15^4}{3^{44}}$，$n = \frac{5^4}{3^{40}}$，则$2025^{m - n} =$()

A.$2025^3$
B.$2025^2$
C.2025
D.1

1. D 【解析】因为$m = \frac{15^4}{3^{44}}$，$n = \frac{5^4}{3^{40}}$，所以$m - n = \frac{15^4}{3^{44}} - \frac{5^4}{3^{40}} = \frac{5^4 × 3^4}{3^{44}} - \frac{5^4 × 3^4}{3^{40} × 3^4} = \frac{5^4 × 3^4}{3^{44}} - \frac{5^4 × 3^4}{3^{44}} = 0$，所以$2025^{m - n} = 2025^0 = 1$，故选 D.

2 [中]我们知道：$2^1 = 2$，$2^2 = 4$，…，$2^{10} = 1024$，那么$2^{-30}$接近于()

A.$10^{-10}$
B.$10^{-9}$
C.$10^{-8}$
D.$10^{-7}$

2. B 【解析】因为$2^{10} = 1024$，$1024 \approx 10^3$，所以$2^{30} = (2^{10})^3 \approx (10^3)^3 = 10^9$，所以$2^{-30} = \frac{1}{2^{30}} \approx \frac{1}{10^9} = 10^{-9}$。故选 B.

3 [2025 四川成都调研，中]若实数$a$，$b$，$c$满足$2^a = 7$，$2^b = 14$，$2^c = 112$，则代数式$2023a - 4047b + 2024c$的值为。

3. 4049 【解析】因为$2^a = 7$，$2^b = 14$，$2^c = 112$，所以$2^b ÷ 2^a = 2^{b - a} = 14 ÷ 7 = 2$，$2^c ÷ 2^b = 2^{c - b} = 112 ÷ 14 = 8 = 2^3$，所以$b - a = 1$，$c - b = 3$，即$a = b - 1$，$c = b + 3$，所以$2023a - 4047b + 2024c = 2023(b - 1) - 4047b + 2024(b + 3) = 2023b - 2023 - 4047b + 2024b + 2024 × 3 = 4049$。故答案为 4049。

4 [中]比较$2021^{-2022}$与$2022^{-2021}$的大小，我们可以采用“从特殊到一般”的思想方法：
(1)通过计算比较下列各式中两数的大小：(填“＞”“＜”或“=”)
①$1^{-2}\_\_\_\_\_\_2^{-1}$；②$2^{-3}\_\_\_\_\_\_3^{-2}$；
③$3^{-4}\_\_\_\_\_\_4^{-3}$；④$4^{-5}\_\_\_\_\_\_5^{-4}$。
(2)由(1)可以猜测$n^{-(n + 1)}$与$(n + 1)^{-n}$($n$为正整数)的大小关系：当$n$时，$n^{-(n + 1)} ＞ (n + 1)^{-n}$；当$n$时，$n^{-(n + 1)} ＜ (n + 1)^{-n}$。
(3)根据上面的猜想，则有$2021^{-2022}\_\_\_\_\_\_2022^{-2021}$(填“＞”“＜”或“=”)。

4. (1) ①＞ ②＞ ③＜ ④＜ (2) ≤2 ＞2 (3) ＜ 【解析】(1) ①因为$1^{-2} = \frac{1}{1^2} = 1$，$2^{-1} = \frac{1}{2}$，所以$1^{-2} ＞ 2^{-1}$。故答案为＞。②因为$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$，$3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$，所以$2^{-3} ＞ 3^{-2}$。故答案为＞。③因为$3^{-4} = \frac{1}{3^4} = \frac{1}{81}$，$4^{-3} = \frac{1}{4^3} = \frac{1}{64}$，所以$3^{-4} ＜ 4^{-3}$。故答案为＜。④因为$4^{-5} = \frac{1}{4^5} = \frac{1}{1024}$，$5^{-4} = \frac{1}{5^4} = \frac{1}{625}$，所以$4^{-5} ＜ 5^{-4}$。故答案为＜。(2) 由(1)可以猜测$n$为正整数时，当$n ≤ 2$时，$n^{-(n + 1)} ＞ (n + 1)^{-n}$；当$n ＞ 2$时，$n^{-(n + 1)} ＜ (n + 1)^{-n}$。故答案为≤2，＞2。(3) 由(2)得$n = 2021 ＞ 2$，则$2021^{-2022} ＜ 2022^{-2021}$。故答案为＜。

5 [2025 江苏盐城期中，较难]阅读材料：求$1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + ··· + 2^{2013}$的值。
设$S = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + ··· + 2^{2012} + 2^{2013}$，①
将等式两边同时乘 2 得$2S = 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 + ··· + 2^{2013} + 2^{2014}$，②
② - ①得$2S - S = 2^{2014} - 1$，
即$S = 2^{2014} - 1$，
即$1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + ··· + 2^{2013} = 2^{2014} - 1$。
请你仿照上述方法计算：$1 + 2^{-1} + 2^{-2} + 2^{-3} + 2^{-4} + ··· + 2^{-2025}$。

5. 【解】设$S = 1 + 2^{-1} + 2^{-2} + 2^{-3} + 2^{-4} + ··· + 2^{-2025}$，①将等式两边同时乘$2^{-1}$得$2^{-1}S = 2^{-1} + 2^{-2} + 2^{-3} + 2^{-4} + ··· + 2^{-2025} + 2^{-2026}$，②① - ②得$S - 2^{-1}S = 1 - 2^{-2026}$，故$\frac{1}{2}S = 1 - 2^{-2026}$，即$S = 2 - 2^{-2025}$，即$1 + 2^{-1} + 2^{-2} + 2^{-3} + 2^{-4} + ··· + 2^{-2025} = 2 - 2^{-2025}$。

6 核心素养推理能力[2025 安徽合肥二模，较难]某班数学兴趣小组在课余时间研究“当正整数$n(n ＞ 1)$满足何种条件时，$\frac{1}{n}$可以化为有限小数”的问题。
请你帮助兴趣小组的同学完成下面研究过程。
(1)尝试探索：分别计算正整数$n$取不同值时$\frac{1}{n}$的值，完成填空。

(2)归纳：
设$n = 2^α 5^β$($α$，$β$是非负整数，且不同时为 0)。
①当$α ≥ β ≥ 0$时，$\frac{1}{n} = \frac{1}{2^α 5^β} =$是一个有限小数；
②当$β ＞ α ≥ 0$时，$\frac{1}{n} = \frac{1}{2^α 5^β} =$也是一个有限小数。
反过来，如果$\frac{1}{n}$可以化为有限小数，那么$n$一定可以写成$2^α 5^β$($α$，$β$是非负整数，且不同的为 0)的形式。

6. (1) $\frac{1}{2^2 × 5^1} = \frac{5^{2 - 1}}{10^2}$ (2) ①$\frac{5^{α - β}}{10^α}$ ②$\frac{2^{β - α}}{10^β}$ 【解析】(2) ①当$α ≥ β ≥ 0$时，$\frac{1}{n} = \frac{1}{2^α 5^β} = \frac{5^{α - β}}{2^α 5^α} = \frac{5^{α - β}}{10^α}$；②当$β ＞ α ≥ 0$时，$\frac{1}{n} = \frac{1}{2^α 5^β} = \frac{2^{β - α}}{2^β 5^β} = \frac{2^{β - α}}{10^β}$。