三、解答题（共44分）
9. (12分)如图，在□ABCD中，点M，N分别是边AB，CD的中点.求证：AN=CM.

9.证明:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD,AB=CD.
∵点M,N分别是边AB,CD的中点，
∴AM=$\frac{1}{2}$AB,CN=$\frac{1}{2}$CD,
∴AM=CN.
又
∵AM//CN,
∴四边形AMCN是平行四边形，
∴AN=CM.

10. (16分)如图，已知梯形ABCD中，AD//BC，E为AB的中点，DE⊥EC.
求证：(1)DE平分∠ADC；
(2)AD+BC=DC.

10.证明:(1)如答图，延长DE交CB的延长线于点F.
∵AD//CF,
∴∠A=∠ABF,∠ADE=∠F.
∵E为AB的中点，
∴AE=EB.
在△AED与△BEF中，$\begin{cases}∠A=∠ABF，\\AE=BE，\\∠ADE=∠F，\end{cases}$
∴△AED≌△BEF,
∴DE=EF.
∵CE⊥DF,
∴CD=CF,
∴∠CDF=∠F.
∴∠ADE=∠CDF,
∴DE平分∠ADC.
(2)
∵△AED≌△BEF,
∴AD=BF,DE=EF.
∵CE⊥DF,
∴CD=CF=BC+BF,
∴AD+BC=DC.

11. (16分)在正方形ABCD中：
(1)如图①，点E，F分别在BC，CD上，且AE⊥BF，垂足为M，求证：AE=BF；
(2)如图②，点E，F，G分别在BC，CD，DA上，且GE⊥BF，垂足为M，那么GE，BF相等吗？证明你的结论；
(3)如图③，如果正方形ABCD的边长为6，点G为AD的中点，点F为CD上一点，DF=2CF，E为BC上一点，且GE=BF，求BE的长.

11.(1)证明:
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC,∠ABC=∠C=90°.
∵AE⊥BF,
∴∠AMB=90°,
∴∠BAM+∠ABM=∠CBF+∠ABM=90°,
∴∠BAM=∠CBF,
∴△ABE≌△BCF(ASA),
∴AE=BF.
(2)解:相等.证明:如答图①,过点A作AP//GE交BC 于点P,则得平行四边形APEG,从而AP=GE.
∵GE⊥BF,
∴AP⊥BF.
由(1)知AP=BF,
∴GE=BF.

(3)解:如答图②,过点G作GE₁⊥BF交BC于点E₁,过点G作GH⊥BC于点H,
由(1)(2)可知△GHE₁≌△BCF,
∴HE₁=CF.
∵正方形ABCD的边长为6，点G为AD的中点，点F 为CD上一点,DF=2CF,
∴AG=DG=BH=CH=3,CF=2,
∴HE₁=CF=2.
∴BE₁=BH+HE₁=3+2=5.
根据轴对称性，当GE₂与GE₁关于GH对称时，也有GE₂=BF,此时BE₂=BH−HE₂=3−2=1.
综上，符合条件的BE的长为1或5.