1[中]如图，一支长为15 cm的铅笔放在长方体笔筒中，已知笔筒的长、宽、高依次为4 cm,3 cm,12 cm，那么这根铅笔露在笔筒外的部分的长度x的取值范围是（）

A.$2\ \mathrm{cm} ≤ x ≤ 5\ \mathrm{cm}$
B.$2\ \mathrm{cm} ≤ x ≤ 3\ \mathrm{cm}$
C.$4\ \mathrm{cm} ≤ x ≤ 5\ \mathrm{cm}$
D.$9\ \mathrm{cm} ≤ x ≤ 12\ \mathrm{cm}$

由题意知,当铅笔垂直于笔筒底部放置时,铅笔露在笔筒外的部分的长度 x 最大,为 $15-12=3(\mathrm{cm})$. 由勾股定理得,$3^2+4^2=5^2$,$\therefore$ 长方体底面的对角线长为 5 cm. 又 $\because 5^2+12^2=13^2$,$\therefore$ 长方体的对角线长为 13 cm. 当铅笔沿着长方体的对角线放置时,铅笔露在笔筒外的部分的长度 x 最小,为 $15-13=2(\mathrm{cm})$,$\therefore$ 这根铅笔露在笔筒外的部分的长度 x 的取值范围是 $2\ \mathrm{cm}≤ x≤3\ \mathrm{cm}$,故选 B.

2 新考向 传统文化 [中]在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题:“今有开门去阃一尺,不合二寸,问门广几何.”大意是说:如图,推开双门(AD和BC),门边缘D,C两点到门槛AB的距离为1尺(1尺=10寸),双门间的缝隙CD为2寸,那么门的宽度(两扇门的和)AB为(1寸≈3.3厘米)

()

A.100寸
B.101寸
C.102寸
D.103寸

设 $OA=OB=AD=BC=r$ 寸,如图,过 D 作 $DE⊥ AB$ 于点 E,则 $DE=10$ 寸,$OE=\frac{1}{2}CD=1$ 寸,$AE=(r-1)$ 寸. 在 $\mathrm{Rt}△ ADE$ 中,$AE^2+DE^2=AD^2$,即 $(r-1)^2+10^2=r^2$,解得 $2r=101$. 故门的宽度(两扇门的和)AB 为 101 寸.

3[中]如图所示是长方体透明玻璃鱼缸,假设其长$AD=80\ \mathrm{cm}$,高$AB=60\ \mathrm{cm}$,水深$AE=40\ \mathrm{cm}$.在水面上紧贴内壁$G$处有一块面包屑,$G$在$EF$上,且$EG=60\ \mathrm{cm}$,一只蚂蚁想从鱼缸外的$A$点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的$G$处吃面包屑,则蚂蚁爬行的最短路程为$\mathrm{cm}$.

(第3题图)
(第4题图)

作点 A 关于 BC 的对称点 $A'$,连接 $A'G$ 交 BC 于点 Q,连接 AQ,则 $AQ=A'Q$,蚂蚁沿着 $A\to Q\to G$ 的路线爬行时路程最短. 在 $\mathrm{Rt}△ A'EG$ 中,$A'E=60×2-40=80(\mathrm{cm})$,$EG=60\ \mathrm{cm}$,$\therefore A'G^2=A'E^2+EG^2=10000$,$\therefore A'G=100\ \mathrm{cm}$,$\therefore$ 最短路线长为 $AQ+QG=A'Q+QG=A'G=100\ \mathrm{cm}$. 故答案为 100.

4[2026江苏宿迁期末，较难]如图，用3个棱长为1的正方体搭成1个几何体，沿着该几何体的表面从点A到点B的所有路径中，最短路径的长是。

如图(1),$AB=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$.
如图(2),$AB=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}$.
$\because \sqrt{13}＜\sqrt{17}$,$\therefore$ 最短路径的长是 $\sqrt{13}$,故答案为 $\sqrt{13}$.

5[2025四川成都期中,中]如图,某沿海城市A接到台风预警,在该市正南方向340 km的B处有一台风中心,沿BC方向以15 km/h的速度移动,已知城市A到BC的距离AD为160 km.
(1)台风中心经过多长时间从B点移到D点?
(2)如果在距台风中心200 km的圆形区域内都将受到台风的影响,那么A市受到台风影响的时间持续多少小时?

(1)由题意可知,$AD⊥ BC$,$AB=340\ \mathrm{km}$,$AD=160\ \mathrm{km}$,在 $\mathrm{Rt}△ ABD$ 中,$BD^2=AB^2-AD^2=90000$,所以 $BD=300\ \mathrm{km}$. 因为 $300÷15=20(\mathrm{h})$,所以台风中心经过 20 h 从 B 点移到 D 点.
(2)如图,在射线 BC 上取点 E,F,使得 $AE=AF=200\ \mathrm{km}$. 由 $AD⊥ BC$ 得 $DE=DF$. 在 $\mathrm{Rt}△ AED$ 中,$ED^2=AE^2-AD^2=14400$,所以 $ED=120\ \mathrm{km}$,所以 $EF=2ED=240\ \mathrm{km}$,$240÷15=16(\mathrm{h})$,所以 A 市受到台风影响的时间持续 16 h.

6[2025江西景德镇期中,较难]如图(1),已知圆柱底面的周长为12,圆柱的高为8,在圆柱的侧面上过点A,C嵌有一圈最短的金属丝.

(1)现将圆柱侧面沿AB剪开,所得的圆柱侧面展开图是.(填选项)

(2)如图(1),求最短的金属丝的长度.
(3)如图(2),若将金属丝从点B绕四圈到达点A,则所需金属丝最短长度是多少?

(1) $\because$ 圆柱的侧面展开图为长方形,过 A,C 的金属丝最短,$\therefore$ 应为两条线段,且有公共点 C. 故答案为 A.
(2)由(1)知这圈金属丝最短为侧面展开图中 2AC 的长度. $\because$ 圆柱底面的周长为 12,圆柱的高为 8,$\therefore 2AC=2\sqrt{8^2+(\frac{12}{2})^2}=20$,$\therefore$ 最短的金属丝的长度为 20.
(3)若将金属丝从点 B 绕四圈到达点 A,其侧面展开图如图所示($BB'=12$,$A'B'=8$,$B'C=2$),则所需金属丝最短长度是 BC 长度的 4 倍,即 $4\sqrt{12^2+2^2}=4\sqrt{148}$.