9. (2025·内蒙古包头昆都仑区期末)如图,直线 EF 分别与直线 AB,CD 相交于点 P 和点 Q,PG 平分$∠ BPQ$,QH 平分$∠ CQP$,并且$∠ 1=∠ 2$. 说出图中哪些直线互相平行,并说明理由.

$AB// CD,QH// PG$. 理由如下：
$\because PG$ 平分$∠ BPQ$,$QH$ 平分$∠ CQP$,
$\therefore ∠ GPQ=∠ 1=\frac{1}{2}∠ BPQ,∠ HQP=∠ 2=\frac{1}{2}∠ CQP.$
$\because ∠ 1=∠ 2,\therefore ∠ GPQ=∠ HQP,∠ BPQ=∠ CQP,$
$\therefore QH// PG,AB// CD.$

10. 如图,已知 $AD⊥ BC,EF⊥ BC,∠ 1=∠ 2$. 试说明 $DG// BA$.

$\because AD⊥ BC,EF⊥ BC,$
$\therefore ∠ EFB=∠ ADB=90^{\circ },$
$\therefore AD// EF,\therefore ∠ 1=∠ BAD.$
$\because ∠ 1=∠ 2,\therefore ∠ 2=∠ BAD,$
$\therefore DG// AB.$

11. 共顶点模型 (2025·河南郑州中牟期末改编)[综合与实践]
学习完《平行线的判定》，我们积累了一定的研究经验，小凯和小芳将一副透明三角尺中的两个直角三角尺的直角顶点$C$按如图所示的方式叠放在一起，其中$∠ A=∠ B=45°$，$∠ D=30°$，$∠ E=60°$。
(1)[操作判断]
若$∠ DCB=55°$，则$∠ ACE=$；若$∠ ACE=158°$，则$∠ DCB=$；
(2)[性质探究]
由(1)猜想$∠ ACE$与$∠ DCB$的数量关系，并证明你的猜想；
(3)[拓展应用]
当$∠ BCE＜180°$且点$B$在直线$CE$的上方时，这两个三角尺存在一组边互相平行，请直接写出$∠ BCE$所有可能的度数(不必说明理由)。

精题详解

(1)$125^{\circ }$ $22^{\circ }$ [解析]$\because ∠ DCB=55^{\circ },∠ ACB=90^{\circ },$
$\therefore ∠ ACD=35^{\circ }.$
$\because ∠ DCE=90^{\circ },\therefore ∠ ACE=90^{\circ }+35^{\circ }=125^{\circ }.$
$\because ∠ ACE=158^{\circ },\therefore ∠ ACD=∠ ACE-90^{\circ }=158^{\circ }-90^{\circ }=68^{\circ },\therefore ∠ DCB=90^{\circ }-68^{\circ }=22^{\circ }.$
(2)猜想:$∠ ACE+∠ DCB=180^{\circ }$. 理由如下:
$\because ∠ ACD=90^{\circ }-∠ DCB,∠ BCE=90^{\circ }-∠ DCB,$
$\therefore ∠ ACE=∠ ACD+∠ BCE+∠ DCB$
$=90^{\circ }-∠ DCB+90^{\circ }-∠ DCB+∠ DCB$
$=180^{\circ }-∠ DCB$,即$∠ ACE+∠ DCB=180^{\circ }.$
(3)存在,$30^{\circ },45^{\circ },120^{\circ },135^{\circ },165^{\circ }.$
理由:当 $CB// DE$ 时,$∠ BCE=120^{\circ }$；
当 $AC// DE$ 时,$∠ BCE=30^{\circ }$；
当 $AB// DE$ 时,$∠ BCE=165^{\circ }$；
当 $AB// CD$ 时,$∠ BCE=135^{\circ }$；
当 $AB// CE$ 时,$∠ BCE=45^{\circ }.$