1. (2025·宿迁宿豫区期末)下列选项中,过点A画BC的垂线AD,三角板摆放正确的是().

1. D

2. (2025·重庆永川区期末)如图，$OA ⊥ OD$，$∠ AOC = 3∠ COD$，$OC$ 平分 $∠ BOD$，则 $∠ AOB$ 的度数为().

A.$45°$
B.$46°$
C.$50°$
D.$60°$

2. A

3. 如图，$AO ⊥ OC$，点$B,O,D$在同一条直线上，若$∠ 1=15°$，则$∠ 2$的度数是。

3. $105°$

4. 教材P175例2·变式（2025·黑龙江齐齐哈尔期末）如图,点$O$是直线$AB$上一点,$∠ AOC=40°$,$OD$平分$∠ AOC$,$∠ COE=70°$.
(1)请你说明 $DO⊥ OE$.
(2)$OE$ 平分$∠ BOC$吗？为什么？

4. (1)$\because OD$ 平分$∠ AOC,∠ AOC=40°$,
$\therefore ∠ DOC=\frac{1}{2}∠ AOC=20°$.
$\because ∠ COE=70°,\therefore ∠ DOE=90°,\therefore DO⊥ OE$.
(2)$OE$ 平分$∠ BOC$. 理由如下：
$\because ∠ AOC+∠ COE+∠ BOE=180°$,
且$∠ AOC=40°,∠ COE=70°,\therefore ∠ BOE=70°$,
$\therefore ∠ BOE=∠ COE,\therefore OE$ 平分$∠ BOC$.

5. (2025·山东济宁邹城期末) 如图,直线 AB,CD 相交于点 $O,OF ⊥ CD$,垂足为 O,OE 平分$∠ BOF$,若$∠ DOE=20°$,则$∠ AOC$的度数为().

A.$20°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$70°$

5. C [解析]$\because OF⊥ CD,\therefore ∠ DOF=90°$.
$\because ∠ DOE=20°,\therefore ∠ EOF=90°-20°=70°$.
$\because OE$ 平分$∠ BOF,\therefore ∠ BOE=∠ EOF=70°$,
$\therefore ∠ BOD=∠ BOE-∠ DOE=50°$,
$\therefore ∠ AOC=∠ BOD=50°$. 故选 C.

6. 如图,点$O$在直线$AB$上,$OD ⊥ OE$,垂足为$O$,$OC$是$∠ DOB$的平分线,若$∠ AOD=70^{ \circ }$,则$∠ COE=\_\_\_\_\_\_°$.

6. 35 [解析]$\because ∠ AOD=70°$,
$\therefore ∠ BOD=180°-∠ AOD=180°-70°=110°$.
$\because OC$ 是$∠ DOB$ 的平分线,
$\therefore ∠ DOC=\frac{1}{2}∠ BOD=\frac{1}{2}×110°=55°$.
$\because OD⊥ OE,\therefore ∠ DOE=90°$.
$\therefore ∠ COE=∠ DOE-∠ DOC=90°-55°=35°$.

7. (2024·南京玄武区期末) 如图, 直线 $A B, C D$ 相交于点 $O, O E ⊥ C D, O F$ 平分 $∠ B O D$, 若 $∠ A O E+$ $∠ B O F=66°$, 则 $∠ B O C=$
.

7. $132°$ [解析]设$∠ AOE=α,∠ BOF=β$.
$\because ∠ AOE+∠ BOF=66°$,
$\therefore α+β=66°,\therefore β=66°-α$.
$\because OF$ 平分$∠ BOD$,
$\therefore ∠ DOF=∠ BOF=β$,
$\therefore ∠ DOB=∠ DOF+∠ BOF=2β$.
$\because OE⊥ CD,\therefore ∠ EOD=90°$.
$\because ∠ AOE+∠ EOD+∠ DOB=180°$,
$\therefore α+90°+2β=180°,\therefore α+2β=90°$,
$\therefore α+2(66°-α)=90°$,解得 $α=42°$,即$∠ AOE=42°$,
$\therefore ∠ AOD=∠ AOE+∠ EOD=42°+90°=132°$,
$\therefore ∠ BOC=∠ AOD=132°$.

8. 如图,直线 A B, C D 相交于点 O, O E 平分$∠ BOD, OF ⊥ OE$,垂足为 O,若$∠ AOC=40°$.
(1)求$∠ DOE$的度数.(按要求填空)
解:$\because$ 直线 A B, C D 相交于点 O(已知),
$\therefore ∠ BOD=∠ AOC$().
$\because ∠ AOC=40°$(已知),
$\therefore$()$=40°$(等量代换).
$\because OE$平分$∠ BOD$(已知),
$\therefore ∠ DOE=\dfrac{1}{2}∠ BOD$().
$\because$()(已证),
$\therefore ∠ DOE=\dfrac{1}{2}∠ BOD=$()$°$(等式性质).
(2)$OF$平分$∠ BOC$吗? 为什么?

8. (1)对顶角相等 $∠ BOD$ 角平分线的定义 $∠ BOD=40°$ 20
(2)$OF$ 平分$∠ BOC$. 理由如下：
$\because ∠ COD=180°,∠ EOF=90°$,
$\therefore ∠ COF+∠ DOE=90°,\therefore ∠ COF=70°$.
$\because ∠ BOF=90°-∠ BOE=70°$,
$\therefore ∠ COF=∠ BOF$,即 $OF$ 平分$∠ BOC$.