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13.要推荐选手参加射击比赛，现有甲、乙两位选手每人10次射击的成绩，经分析得，平均数$\overline{x}_甲=\overline{x}_乙$，方差$S^2_甲＞S^2_乙$。若考虑射击稳定性，应推荐去参加比赛的选手是________。（填“甲”或“乙”）
答案
13.乙
解析
【分析】
本题需根据射击成绩的稳定性选择选手，核心是理解方差的意义：方差用于衡量数据的波动程度，在平均数相同的前提下，方差越小，数据波动越小，稳定性越强；方差越大，数据波动越大，稳定性越弱。已知甲、乙平均数相同，且甲方差大于乙方差，因此乙的成绩更稳定，应推荐乙。
【解析】
方差是反映数据波动大小的统计量，当两组数据平均数相同时，方差越小，数据的稳定性越好。题目中$\overline{x}_甲=\overline{x}_乙$，且$S^2_甲＞S^2_乙$，说明乙的射击成绩波动更小，稳定性更强，故应推荐乙参加比赛。
【答案】
乙
【知识点】
方差的意义、数据的稳定性分析
【点评】
本题考查方差的实际应用，属于统计模块的基础题型，核心是掌握方差与数据稳定性的对应关系，难度较低，学生易理解。
【难度系数】
0.8
本题需根据射击成绩的稳定性选择选手，核心是理解方差的意义：方差用于衡量数据的波动程度，在平均数相同的前提下，方差越小，数据波动越小，稳定性越强；方差越大，数据波动越大，稳定性越弱。已知甲、乙平均数相同，且甲方差大于乙方差，因此乙的成绩更稳定，应推荐乙。
【解析】
方差是反映数据波动大小的统计量，当两组数据平均数相同时，方差越小，数据的稳定性越好。题目中$\overline{x}_甲=\overline{x}_乙$，且$S^2_甲＞S^2_乙$，说明乙的射击成绩波动更小，稳定性更强，故应推荐乙参加比赛。
【答案】
乙
【知识点】
方差的意义、数据的稳定性分析
【点评】
本题考查方差的实际应用，属于统计模块的基础题型，核心是掌握方差与数据稳定性的对应关系，难度较低，学生易理解。
【难度系数】
0.8
14.如图,在$□ ABCD$中,对角线$AC$,$BD$交于点$O$,$BD ⊥ AD$,若$AD=8$,$BD=12$,则$AC$的长是________。
答案
14.20
解析
【分析】
要计算AC的长度，需结合平行四边形的性质和勾股定理：首先利用平行四边形对角线互相平分，得到OD的长度；再由BD⊥AD，可知△ADO是直角三角形，用勾股定理算出AO的长度，最后根据AC=2AO即可求出结果。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ 对角线互相平分，即OD = ½BD，AC = 2AO。
已知BD=12，
∴ OD = ½×12 = 6。
又
∵ BD⊥AD，
∴ △ADO是直角三角形。
在Rt△ADO中，AD=8，OD=6，根据勾股定理：
AO = √(AD² + OD²) = √(8² + 6²) = √(64 + 36) = √100 = 10。
∴ AC = 2AO = 2×10 = 20。
【答案】
20
【知识点】
平行四边形性质、勾股定理
【点评】
本题考查平行四边形对角线互相平分的性质与勾股定理的结合应用，属于基础题型，解题关键是利用平行四边形性质构造直角三角形，再通过勾股定理计算线段长度。
【难度系数】
0.7
要计算AC的长度，需结合平行四边形的性质和勾股定理：首先利用平行四边形对角线互相平分，得到OD的长度；再由BD⊥AD，可知△ADO是直角三角形，用勾股定理算出AO的长度，最后根据AC=2AO即可求出结果。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ 对角线互相平分，即OD = ½BD，AC = 2AO。
已知BD=12，
∴ OD = ½×12 = 6。
又
∵ BD⊥AD，
∴ △ADO是直角三角形。
在Rt△ADO中，AD=8，OD=6，根据勾股定理：
AO = √(AD² + OD²) = √(8² + 6²) = √(64 + 36) = √100 = 10。
∴ AC = 2AO = 2×10 = 20。
【答案】
20
【知识点】
平行四边形性质、勾股定理
【点评】
本题考查平行四边形对角线互相平分的性质与勾股定理的结合应用，属于基础题型，解题关键是利用平行四边形性质构造直角三角形，再通过勾股定理计算线段长度。
【难度系数】
0.7
15.已知两个关于$ x $的一元二次方程:$ x^2 + bx + c = 0 $（$ b,c $均为常数）,$ x^2 + bx + c = x - 3 $。其中,方程$ x^2 + bx + c = 0 $的一个根是$ x=3 $,方程$ x^2 + bx + c = x - 3 $有两个相等的实数根,则$ b $的值是________。
答案
15.$-5$
解析
【分析】
要解决这道题，需分两步推导：第一步利用“方程的根满足方程”，将已知根$x=3$代入第一个方程，得到$b$与$c$的关系式；第二步整理第二个方程为标准一元二次方程，根据“有两个相等实数根则判别式为0”，得到另一个$b$与$c$的关系式，联立两个关系式即可求出$b$的值。
【解析】
解：
1. 因为$x=3$是方程$x^2 + bx + c = 0$的根，将$x=3$代入该方程：
$3^2 + 3b + c = 0$，整理得：$c = -3b -9$。
2. 整理方程$x^2 + bx + c = x -3$为标准一元二次方程：
$x^2 + (b-1)x + (c +3) = 0$。
3. 因为该方程有两个相等的实数根，所以判别式$\Delta = 0$，即：
$(b-1)^2 - 4 × 1 × (c +3) = 0$。
4. 将$c = -3b -9$代入上式：
$(b-1)^2 -4[(-3b -9)+3] = 0$，
展开计算：$b^2 -2b +1 -4(-3b -6) = 0$，
$b^2 -2b +1 +12b +24 =0$，
合并同类项：$b^2 +10b +25 =0$，
因式分解得：$(b+5)^2 =0$，
解得：$b = -5$。
【答案】
-5
【知识点】
一元二次方程的根、根的判别式
【点评】
本题综合考查一元二次方程根的定义与根的判别式的应用，需通过代入根建立关系式，结合判别式条件联立求解，步骤清晰，难度适中，适合中等水平学生解答。
【难度系数】
0.5
要解决这道题，需分两步推导：第一步利用“方程的根满足方程”，将已知根$x=3$代入第一个方程，得到$b$与$c$的关系式；第二步整理第二个方程为标准一元二次方程，根据“有两个相等实数根则判别式为0”，得到另一个$b$与$c$的关系式，联立两个关系式即可求出$b$的值。
【解析】
解：
1. 因为$x=3$是方程$x^2 + bx + c = 0$的根，将$x=3$代入该方程：
$3^2 + 3b + c = 0$，整理得：$c = -3b -9$。
2. 整理方程$x^2 + bx + c = x -3$为标准一元二次方程：
$x^2 + (b-1)x + (c +3) = 0$。
3. 因为该方程有两个相等的实数根，所以判别式$\Delta = 0$，即：
$(b-1)^2 - 4 × 1 × (c +3) = 0$。
4. 将$c = -3b -9$代入上式：
$(b-1)^2 -4[(-3b -9)+3] = 0$，
展开计算：$b^2 -2b +1 -4(-3b -6) = 0$，
$b^2 -2b +1 +12b +24 =0$，
合并同类项：$b^2 +10b +25 =0$，
因式分解得：$(b+5)^2 =0$，
解得：$b = -5$。
【答案】
-5
【知识点】
一元二次方程的根、根的判别式
【点评】
本题综合考查一元二次方程根的定义与根的判别式的应用，需通过代入根建立关系式，结合判别式条件联立求解，步骤清晰，难度适中，适合中等水平学生解答。
【难度系数】
0.5
16.如图,已知矩形ABCD和正方形DEBF共用对角线BD,DE与AB交于点G,BF与CD交于点H,若正方形DEBF的面积比矩形ABCD的面积大18,$△ DAG$的周长与$△ DHF$的周长之和是18,则BD的长是
$5\sqrt{2}$
。答案
16.$5\sqrt{2}$
解析
【分析】首先，利用矩形和正方形的性质，结合全等三角形的判定得到线段间的等量关系，再根据题目给出的面积差和周长和建立方程，通过代数运算求解BD的长度。步骤：1. 设BD的长为x，根据正方形面积公式表示正方形DEBF的面积，结合矩形中BD为对角线的性质（$AB^2+AD^2=BD^2$），利用面积差得到矩形面积的表达式；2. 通过平行线的内错角相等，证明三角形全等，转化线段关系，进而将两个三角形的周长之和转化为含AB、AD和BD的表达式；3. 利用完全平方公式，将AB+AD、AB·AD与$AB^2+AD^2$的关系代入，解方程求出BD的长度。
【解析】设BD的长为$x$。
因为四边形DEBF是正方形，所以其边长为$\frac{\sqrt{2}x}{2}$，面积为$(\frac{\sqrt{2}x}{2})^2=\frac{x^2}{2}$。
在矩形ABCD中，由勾股定理得$AB^2 + AD^2 = BD^2 = x^2$，矩形面积为$AB·AD$。
根据“正方形DEBF的面积比矩形ABCD的面积大18”，可得：
$\frac{x^2}{2} - AB·AD =18$，即$AB·AD=\frac{x^2}{2}-18$。
因为$AB// CD$，所以$∠ ABD=∠ BDC$，又BD为公共边，$∠ GDB=∠ HBD$，故$△ DBG≌△ BDH$（ASA），得$BG=DH$，$DG=BH$。
因此，$AG=AB-BG=AB-DH$，$HF=BF-BH=BF-DG$，则$AG+DH=AB$，$DG+HF=BF$。
又正方形中$BF=DF=\frac{\sqrt{2}x}{2}$，所以$△ DAG$的周长与$△ DHF$的周长之和为：
$AD + AG + DG + DH + HF + DF = AD + (AG+DH) + (DG+HF) + DF = AD + AB + BF + DF = AD + AB + \frac{\sqrt{2}x}{2} + \frac{\sqrt{2}x}{2}=AD + AB + \sqrt{2}x$。
已知该周长和为18，故$AD + AB =18 - \sqrt{2}x$。
根据完全平方公式：$(AB + AD)^2 = AB^2 + 2AB·AD + AD^2$，代入$AB^2 + AD^2=x^2$、$AB·AD=\frac{x^2}{2}-18$和$AB+AD=18-\sqrt{2}x$，得：
$(18 - \sqrt{2}x)^2 = x^2 + 2(\frac{x^2}{2} -18)$
展开左边：$324 - 36\sqrt{2}x + 2x^2$，右边化简：$2x^2 -36$，
等式化简：$324 -36\sqrt{2}x +2x^2=2x^2 -36$，消去$2x^2$得：$324 -36\sqrt{2}x = -36$，
移项得$36\sqrt{2}x=360$，解得$x=\frac{360}{36\sqrt{2}}=5\sqrt{2}$。
【答案】$5\sqrt{2}$
【知识点】矩形性质、正方形性质、全等三角形判定、完全平方公式
【点评】本题综合考查矩形与正方形的性质，通过全等三角形转化线段关系，结合面积和周长条件建立方程，利用完全平方公式简化计算，关键是将两个三角形的周长和转化为易计算的形式，需要学生具备几何转化和代数运算的综合能力。
【难度系数】0.4
【解析】设BD的长为$x$。
因为四边形DEBF是正方形，所以其边长为$\frac{\sqrt{2}x}{2}$，面积为$(\frac{\sqrt{2}x}{2})^2=\frac{x^2}{2}$。
在矩形ABCD中，由勾股定理得$AB^2 + AD^2 = BD^2 = x^2$，矩形面积为$AB·AD$。
根据“正方形DEBF的面积比矩形ABCD的面积大18”，可得：
$\frac{x^2}{2} - AB·AD =18$，即$AB·AD=\frac{x^2}{2}-18$。
因为$AB// CD$，所以$∠ ABD=∠ BDC$，又BD为公共边，$∠ GDB=∠ HBD$，故$△ DBG≌△ BDH$（ASA），得$BG=DH$，$DG=BH$。
因此，$AG=AB-BG=AB-DH$，$HF=BF-BH=BF-DG$，则$AG+DH=AB$，$DG+HF=BF$。
又正方形中$BF=DF=\frac{\sqrt{2}x}{2}$，所以$△ DAG$的周长与$△ DHF$的周长之和为：
$AD + AG + DG + DH + HF + DF = AD + (AG+DH) + (DG+HF) + DF = AD + AB + BF + DF = AD + AB + \frac{\sqrt{2}x}{2} + \frac{\sqrt{2}x}{2}=AD + AB + \sqrt{2}x$。
已知该周长和为18，故$AD + AB =18 - \sqrt{2}x$。
根据完全平方公式：$(AB + AD)^2 = AB^2 + 2AB·AD + AD^2$，代入$AB^2 + AD^2=x^2$、$AB·AD=\frac{x^2}{2}-18$和$AB+AD=18-\sqrt{2}x$，得：
$(18 - \sqrt{2}x)^2 = x^2 + 2(\frac{x^2}{2} -18)$
展开左边：$324 - 36\sqrt{2}x + 2x^2$，右边化简：$2x^2 -36$，
等式化简：$324 -36\sqrt{2}x +2x^2=2x^2 -36$，消去$2x^2$得：$324 -36\sqrt{2}x = -36$，
移项得$36\sqrt{2}x=360$，解得$x=\frac{360}{36\sqrt{2}}=5\sqrt{2}$。
【答案】$5\sqrt{2}$
【知识点】矩形性质、正方形性质、全等三角形判定、完全平方公式
【点评】本题综合考查矩形与正方形的性质，通过全等三角形转化线段关系，结合面积和周长条件建立方程，利用完全平方公式简化计算，关键是将两个三角形的周长和转化为易计算的形式，需要学生具备几何转化和代数运算的综合能力。
【难度系数】0.4
三、解答题(本大题有8个小题,共72分)
17.(本题6分)计算:$\sqrt{(-3)^2}-\sqrt{2}×\sqrt{8}$。
17.(本题6分)计算:$\sqrt{(-3)^2}-\sqrt{2}×\sqrt{8}$。
答案
17.解:原式$=3-\sqrt{16}=3-4=-1$。
解析
【分析】
本题是二次根式的运算题，解题思路为：先根据二次根式的性质计算$\sqrt{(-3)^2}$，再根据二次根式的乘法法则计算$\sqrt{2}×\sqrt{8}$，最后将两个结果相减即可得到答案。
【解析】
原式$=3 - \sqrt{2×8}=3 - \sqrt{16}=3 - 4=-1$
【答案】
-1
【知识点】
二次根式的性质、二次根式的乘法
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，主要考查二次根式的基本性质和乘法法则，计算步骤清晰，是学生必须掌握的基础内容。
【难度系数】
0.8
本题是二次根式的运算题，解题思路为：先根据二次根式的性质计算$\sqrt{(-3)^2}$，再根据二次根式的乘法法则计算$\sqrt{2}×\sqrt{8}$，最后将两个结果相减即可得到答案。
【解析】
原式$=3 - \sqrt{2×8}=3 - \sqrt{16}=3 - 4=-1$
【答案】
-1
【知识点】
二次根式的性质、二次根式的乘法
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，主要考查二次根式的基本性质和乘法法则，计算步骤清晰，是学生必须掌握的基础内容。
【难度系数】
0.8
18.(本题8分)对于解方程$(x+3)^2=2x+6$,小刚的做法如下:
已知小刚在解方程的过程中出现了错误,请指出他开始出错的步骤,并给出正确且完整的解答过程。
已知小刚在解方程的过程中出现了错误,请指出他开始出错的步骤,并给出正确且完整的解答过程。
答案
18.解:小刚开始出错的步骤是“步骤2”。完整解答过程:$(x+3)^2=2(x+3)$,$(x+3)^2-2(x+3)=0$,$(x+3)(x+1)=0$,$x+3=0$或$x+1=0$,$x_1=-3$,$x_2=-1$。
解析
【分析】
首先判断小刚的解题步骤，步骤1提取公因式的操作正确，但步骤2直接在等式两边除以$(x+3)$，忽略了当$x+3=0$时，等式两边不能除以0，这会导致漏解，因此出错的步骤是步骤2。解此类一元二次方程时，应先移项再因式分解，避免漏根。
【解析】
小刚开始出错的步骤是步骤2。
正确解答过程如下：
原方程为$(x+3)^2=2x+6$，
1. 等号右边提取公因式2，得：$(x+3)^2=2(x+3)$；
2. 移项，将$2(x+3)$移到等式左边，得：$(x+3)^2 - 2(x+3)=0$；
3. 提取公因式$(x+3)$，得：$(x+3)(x+3 - 2)=0$，即$(x+3)(x+1)=0$；
4. 根据“若两个因式乘积为0，则至少一个因式为0”，可得：$x+3=0$或$x+1=0$；
5. 分别求解得：$x_1=-3$，$x_2=-1$。
【答案】
小刚开始出错的步骤是步骤2；方程的解为$x_1=-3$，$x_2=-1$。
【知识点】
一元二次方程解法、因式分解法、等式性质
【点评】
本题考查一元二次方程的解法，小刚错误应用等式性质，忽略除数不能为0的情况导致漏解。解一元二次方程时，移项后因式分解可避免漏根，需注意每一步操作的合理性，避免出现类似错误。
【难度系数】
0.5
首先判断小刚的解题步骤，步骤1提取公因式的操作正确，但步骤2直接在等式两边除以$(x+3)$，忽略了当$x+3=0$时，等式两边不能除以0，这会导致漏解，因此出错的步骤是步骤2。解此类一元二次方程时，应先移项再因式分解，避免漏根。
【解析】
小刚开始出错的步骤是步骤2。
正确解答过程如下：
原方程为$(x+3)^2=2x+6$，
1. 等号右边提取公因式2，得：$(x+3)^2=2(x+3)$；
2. 移项，将$2(x+3)$移到等式左边，得：$(x+3)^2 - 2(x+3)=0$；
3. 提取公因式$(x+3)$，得：$(x+3)(x+3 - 2)=0$，即$(x+3)(x+1)=0$；
4. 根据“若两个因式乘积为0，则至少一个因式为0”，可得：$x+3=0$或$x+1=0$；
5. 分别求解得：$x_1=-3$，$x_2=-1$。
【答案】
小刚开始出错的步骤是步骤2；方程的解为$x_1=-3$，$x_2=-1$。
【知识点】
一元二次方程解法、因式分解法、等式性质
【点评】
本题考查一元二次方程的解法，小刚错误应用等式性质，忽略除数不能为0的情况导致漏解。解一元二次方程时，移项后因式分解可避免漏根，需注意每一步操作的合理性，避免出现类似错误。
【难度系数】
0.5
