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20.(本题8分)质量检测部门对甲、乙两公司销售的某电子产品的使用寿命进行跟踪调查,统计结果如下(单位:年):
甲公司:6,6,8,8,8,9,10,12,14,15。
乙公司:4,4,4,6,7,9,13,15,16,16。
根据上述两家公司产品使用寿命数据(单位:年),可以得到下列统计量:
(1)请你求出乙公司产品使用寿命的平均数和中位数；
(2)甲、乙两公司在产品的销售广告中都声称,其销售的产品的使用寿命是8年,问:这两家公司分别选用了哪一种统计量作为该电子产品的使用寿命?
(3)如果你是顾客,你将选购哪家公司销售的产品?为什么?
甲公司:6,6,8,8,8,9,10,12,14,15。
乙公司:4,4,4,6,7,9,13,15,16,16。
根据上述两家公司产品使用寿命数据(单位:年),可以得到下列统计量:
(1)请你求出乙公司产品使用寿命的平均数和中位数；
(2)甲、乙两公司在产品的销售广告中都声称,其销售的产品的使用寿命是8年,问:这两家公司分别选用了哪一种统计量作为该电子产品的使用寿命?
(3)如果你是顾客,你将选购哪家公司销售的产品?为什么?
答案
解:(1)$\overline{x}=\dfrac{4×3+6+7+9+13+15+16×2}{10}=9.4$(年)。中位数为:$\dfrac{7+9}{2}=8$(年)。答:平均数为9.4年,中位数为8年;
(2)甲公司选用了众数,乙公司选用了中位数;
(3)此题答案不唯一,只要说出理由即可。例如,选用甲公司的产品,因为它的平均数、众数、中位数比较接近,产品质量相对比较好,且稳定。
(2)甲公司选用了众数,乙公司选用了中位数;
(3)此题答案不唯一,只要说出理由即可。例如,选用甲公司的产品,因为它的平均数、众数、中位数比较接近,产品质量相对比较好,且稳定。
解析
【分析】
本题需依次完成三个任务：一是计算乙公司产品使用寿命的平均数和中位数，需牢记平均数为数据总和除以个数、中位数为排序后中间位置数（偶数个时取中间两数的平均数）；二是对比甲、乙公司的统计量与广告声称的8年，判断选用的统计量；三是结合统计量分析选购哪家公司产品，需理解各统计量反映的数据特征。
【解析】
(1) 计算乙公司产品使用寿命的平均数：
乙公司数据总和为 $4×3 + 6 + 7 + 9 + 13 + 15 + 16×2 = 12 + 6 + 7 + 9 + 13 + 15 + 32 = 94$，
数据共10个，因此平均数 $\overline{x} = \frac{94}{10} = 9.4$（年）。
计算中位数：将乙公司数据从小到大排序为：4,4,4,6,7,9,13,15,16,16，共10个数据，中间位置是第5和第6个，对应数据为7和9，因此中位数为 $\frac{7 + 9}{2} = 8$（年）。
(2) 判断甲、乙公司选用的统计量：
甲公司产品的众数是8年，广告声称使用寿命为8年，故甲公司选用了众数；
乙公司产品的中位数是8年，广告声称使用寿命为8年，故乙公司选用了中位数。
(3) 选购建议：
选购甲公司的产品。理由：甲公司产品的平均数（9.6年）高于乙公司（9.4年），中位数（8.5年）也高于乙公司（8年），说明甲公司产品整体使用寿命更长，质量相对更优，稳定性较好。
【答案】
(1) 乙公司产品使用寿命的平均数为9.4年，中位数为8年；
(2) 甲公司选用众数，乙公司选用中位数；
(3) 选购甲公司产品，因为其平均数、中位数更高，产品整体使用寿命更长、质量更优。
【知识点】
平均数计算，中位数计算，众数的应用
【点评】
本题结合产品质量检测的实际场景，考查统计量的计算与实际应用，需掌握统计量的基本概念，能结合数据特征分析问题，题目难度适中，贴近生活实际。
【难度系数】
0.6
本题需依次完成三个任务：一是计算乙公司产品使用寿命的平均数和中位数，需牢记平均数为数据总和除以个数、中位数为排序后中间位置数（偶数个时取中间两数的平均数）；二是对比甲、乙公司的统计量与广告声称的8年，判断选用的统计量；三是结合统计量分析选购哪家公司产品，需理解各统计量反映的数据特征。
【解析】
(1) 计算乙公司产品使用寿命的平均数：
乙公司数据总和为 $4×3 + 6 + 7 + 9 + 13 + 15 + 16×2 = 12 + 6 + 7 + 9 + 13 + 15 + 32 = 94$，
数据共10个，因此平均数 $\overline{x} = \frac{94}{10} = 9.4$（年）。
计算中位数：将乙公司数据从小到大排序为：4,4,4,6,7,9,13,15,16,16，共10个数据，中间位置是第5和第6个，对应数据为7和9，因此中位数为 $\frac{7 + 9}{2} = 8$（年）。
(2) 判断甲、乙公司选用的统计量：
甲公司产品的众数是8年，广告声称使用寿命为8年，故甲公司选用了众数；
乙公司产品的中位数是8年，广告声称使用寿命为8年，故乙公司选用了中位数。
(3) 选购建议：
选购甲公司的产品。理由：甲公司产品的平均数（9.6年）高于乙公司（9.4年），中位数（8.5年）也高于乙公司（8年），说明甲公司产品整体使用寿命更长，质量相对更优，稳定性较好。
【答案】
(1) 乙公司产品使用寿命的平均数为9.4年，中位数为8年；
(2) 甲公司选用众数，乙公司选用中位数；
(3) 选购甲公司产品，因为其平均数、中位数更高，产品整体使用寿命更长、质量更优。
【知识点】
平均数计算，中位数计算，众数的应用
【点评】
本题结合产品质量检测的实际场景，考查统计量的计算与实际应用，需掌握统计量的基本概念，能结合数据特征分析问题，题目难度适中，贴近生活实际。
【难度系数】
0.6
21.(本题8分)如图,正方形纸片ABCD的边长为4。
(1)请用三角板根据以下要求画图:
①分别取AB,AD,CD的中点E,F,G,连结EF,FG;
②用①所画的3块图形剪拼出一个等腰三角形(无缝隙无重叠),并画出其示意图。
(2)求(1)所拼成的等腰三角形的周长。
(1)请用三角板根据以下要求画图:
①分别取AB,AD,CD的中点E,F,G,连结EF,FG;
②用①所画的3块图形剪拼出一个等腰三角形(无缝隙无重叠),并画出其示意图。
(2)求(1)所拼成的等腰三角形的周长。
答案
解:(1)如图所示;
(2)因为正方形纸片ABCD的边长为4,点E,F分别为AB,AD的中点,所以$BC=4$,$AE=AF=2$。因为$∠A=90°$,所以$EF=2\sqrt{2}$。因为$△ BEP$由$△ AEF$剪拼所得,所以$PE=EF=2\sqrt{2}$,$PB=AF=2$,$PF=PE+EF=4\sqrt{2}$。同理可得$FQ=4\sqrt{2}$,$CQ=2$。所以等腰三角形的周长为$PF+FQ+PQ=4\sqrt{2}+4\sqrt{2}+8=8\sqrt{2}+8$。
解析
【分析】
要解决本题，首先明确正方形ABCD边长为4，E、F、G分别是AB、AD、CD的中点，因此AE=EB=AF=FD=DG=GC=2。剪拼等腰三角形时，利用旋转全等的方法，将△AEF和△DGF分别移到正方形外侧，补成大的等腰三角形。先通过勾股定理计算小三角形的边长，再确定拼成的等腰三角形各边长度，最后求和得到周长。
【解析】
(1) 画图：按要求取AB中点E、AD中点F、CD中点G，连接EF、FG；将△AEF绕点E旋转，使EB与AE重合，得到△BEP；将△DGF绕点G旋转，使GC与DG重合，得到△CGQ，即可拼成等腰三角形PFQ。
(2) 计算周长：
已知正方形ABCD边长为4，E是AB中点，F是AD中点，故AE=AF=2，∠A=90°。
在Rt△AEF中，由勾股定理得：$EF=\sqrt{AE^2+AF^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
由剪拼的全等关系，$PE=EF=2\sqrt{2}$，$PB=AF=2$；同理$FQ=FG=2\sqrt{2}$，$CQ=DG=2$。
拼成的等腰三角形PFQ中，$PF=PE+EF=2\sqrt{2}+2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$，$FQ=4\sqrt{2}$，$PQ=PB+BC+CQ=2+4+2=8$。
因此，等腰三角形的周长为$PF+FQ+PQ=4\sqrt{2}+4\sqrt{2}+8=8+8\sqrt{2}$。
【答案】
8+8√2
【知识点】
正方形性质，勾股定理，图形剪拼
【点评】
本题结合正方形性质考查图形剪拼与周长计算，关键是利用旋转全等实现剪拼，再结合勾股定理计算边长，需具备一定的空间想象和几何计算能力。
【难度系数】
0.5
要解决本题，首先明确正方形ABCD边长为4，E、F、G分别是AB、AD、CD的中点，因此AE=EB=AF=FD=DG=GC=2。剪拼等腰三角形时，利用旋转全等的方法，将△AEF和△DGF分别移到正方形外侧，补成大的等腰三角形。先通过勾股定理计算小三角形的边长，再确定拼成的等腰三角形各边长度，最后求和得到周长。
【解析】
(1) 画图：按要求取AB中点E、AD中点F、CD中点G，连接EF、FG；将△AEF绕点E旋转，使EB与AE重合，得到△BEP；将△DGF绕点G旋转，使GC与DG重合，得到△CGQ，即可拼成等腰三角形PFQ。
(2) 计算周长：
已知正方形ABCD边长为4，E是AB中点，F是AD中点，故AE=AF=2，∠A=90°。
在Rt△AEF中，由勾股定理得：$EF=\sqrt{AE^2+AF^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
由剪拼的全等关系，$PE=EF=2\sqrt{2}$，$PB=AF=2$；同理$FQ=FG=2\sqrt{2}$，$CQ=DG=2$。
拼成的等腰三角形PFQ中，$PF=PE+EF=2\sqrt{2}+2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$，$FQ=4\sqrt{2}$，$PQ=PB+BC+CQ=2+4+2=8$。
因此，等腰三角形的周长为$PF+FQ+PQ=4\sqrt{2}+4\sqrt{2}+8=8+8\sqrt{2}$。
【答案】
8+8√2
【知识点】
正方形性质，勾股定理，图形剪拼
【点评】
本题结合正方形性质考查图形剪拼与周长计算，关键是利用旋转全等实现剪拼，再结合勾股定理计算边长，需具备一定的空间想象和几何计算能力。
【难度系数】
0.5
