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15.如图,在四边形ABCD中,BC=20 cm,AD=8 cm,AD//BC。点P,Q分别从A,C同时出发,点P以2 cm/s的速度沿射线AD运动,点Q以1 cm/s的速度由点C向点B运动,当点Q运动到点B时,两点均停止运动,设运动时间为t,当t=
8/3或8
时,以P,Q,C,D为顶点的四边形是平行四边形。答案
15.8/3或8
解析
【分析】
要解决该问题，需利用平行四边形“一组对边平行且相等”的判定定理。已知AD//BC，因此PD与QC平行，只需满足PD=QC即可使以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形。由于点P沿射线AD运动，需分两种情况讨论P的位置：P在线段AD上、P在线段AD的延长线上，分别建立关于t的方程求解，同时结合Q的运动范围确定解的合理性。
【解析】
已知AD//BC，故PD//QC。要使四边形PQCD为平行四边形，需满足PD=QC。
点P从A出发，速度为2cm/s，运动时间为t，则AP=2t，AD=8cm，因此：
① 当P在线段AD上时，PD=AD - AP=8 - 2t；
② 当P在线段AD的延长线上时，PD=AP - AD=2t - 8；
点Q从C出发向B运动，速度为1cm/s，故CQ=t，且Q运动到B时停止，因此t的取值范围为0≤t≤20。
分两种情况列方程求解：
1. 当P在线段AD上时，PD=QC，即8 - 2t = t，解得t=8/3，此时t=8/3＜4（P到达D点的时间为8÷2=4s），符合条件；
2. 当P在线段AD的延长线上时，PD=QC，即2t - 8 = t，解得t=8，此时t=8＜20，符合Q的运动范围。
综上，t的值为8/3或8。
【答案】
8/3或8
【知识点】
平行四边形判定、动点问题
【点评】
本题是梯形背景下的动点几何题，核心是利用平行四边形判定定理，结合点P的运动位置分情况讨论，易因漏解P在AD延长线的情况出错，需注意验证解的合理性。
【难度系数】
0.5
要解决该问题，需利用平行四边形“一组对边平行且相等”的判定定理。已知AD//BC，因此PD与QC平行，只需满足PD=QC即可使以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形。由于点P沿射线AD运动，需分两种情况讨论P的位置：P在线段AD上、P在线段AD的延长线上，分别建立关于t的方程求解，同时结合Q的运动范围确定解的合理性。
【解析】
已知AD//BC，故PD//QC。要使四边形PQCD为平行四边形，需满足PD=QC。
点P从A出发，速度为2cm/s，运动时间为t，则AP=2t，AD=8cm，因此：
① 当P在线段AD上时，PD=AD - AP=8 - 2t；
② 当P在线段AD的延长线上时，PD=AP - AD=2t - 8；
点Q从C出发向B运动，速度为1cm/s，故CQ=t，且Q运动到B时停止，因此t的取值范围为0≤t≤20。
分两种情况列方程求解：
1. 当P在线段AD上时，PD=QC，即8 - 2t = t，解得t=8/3，此时t=8/3＜4（P到达D点的时间为8÷2=4s），符合条件；
2. 当P在线段AD的延长线上时，PD=QC，即2t - 8 = t，解得t=8，此时t=8＜20，符合Q的运动范围。
综上，t的值为8/3或8。
【答案】
8/3或8
【知识点】
平行四边形判定、动点问题
【点评】
本题是梯形背景下的动点几何题，核心是利用平行四边形判定定理，结合点P的运动位置分情况讨论，易因漏解P在AD延长线的情况出错，需注意验证解的合理性。
【难度系数】
0.5
16.如图,在$□ ABCD$中,点$E$为边$CD$的中点,将$△ ADE$沿$AE$折叠,边$AD'$交$BC$的延长线于点$F$,连结$EF$,若$AD=5$,$CF=1$,$AE=\sqrt{3}EF$,则$AB$的长为________。
答案
16.2√7 解析:如图,延长AE,BC交于点G。在□ABCD中,AD=5,AD//BC,所以∠DAE=∠G,∠D=∠GCE。因为点E是CD中点,所以CE=DE,所以△AED≌△GEC(AAS),所以CG=AD=5,AE=GE。因为折叠,所以∠DAE=∠FAE=∠G,所以AF=GF。因为AD=5,CF=1,所以AF=GF=CG-CF=AD-CF=4。因为AE=GE,所以FE⊥AG。因为AE=√3 EF,所以设EF=x,AE=√3 x。在Rt△AEF中,4²=x²+(√3 x)²,解得x=2。所以∠FAE=∠DAE=30°。过点E作EH⊥AD。因为AE=√3 x=2√3,所以EH=√3,AH=3,所以DH=5-3=2,所以DE=√(DH²+EH²)=√7,所以AB=CD=2DE=2√7。
解析
【分析】
要解决本题，需先通过添加辅助线延长AE交BC延长线于G，利用平行四边形性质和中点条件证明三角形全等，再结合折叠性质推导等腰关系，最后借助直角三角形性质与勾股定理求出DE长度，进而得到AB的长。
【解析】
解：延长AE，交BC的延长线于点G。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC=5，
∴∠DAE=∠G，∠D=∠ECG。
∵E为CD中点，
∴DE=CE，
∴△ADE≌△GCE（AAS），
∴CG=AD=5，AE=GE。
由折叠性质得：∠DAE=∠FAE，
∴∠FAE=∠G，
∴AF=GF。
∵GF=CG - CF=5 -1=4，
∴AF=4。
∵AE=GE，
∴EF是等腰△AFG底边AG的中线，又AF=GF，
∴EF⊥AG，即∠AEF=90°。
设EF=x，已知AE=√3 EF，则AE=√3 x，
在Rt△AEF中，由勾股定理得：AF²=AE² + EF²，
即4²=(√3 x)² + x²，
解得x=2（x＞0），
∴EF=2，AE=2√3。
过点E作EH⊥AD于H，
在Rt△AEH中，tan∠EAH=EF/AE=2/(2√3)=1/√3，
∴∠EAH=30°，
∴EH=AE·sin30°=2√3×1/2=√3，
AH=AE·cos30°=2√3×(√3/2)=3，
∴DH=AD - AH=5 -3=2。
在Rt△DEH中，DE=√(DH² + EH²)=√(2² + (√3)²)=√7，
∵AB=CD=2DE，
∴AB=2√7。
【答案】
2√7
【知识点】
平行四边形性质，折叠性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查平行四边形、折叠、全等三角形及直角三角形的性质，需通过添加辅助线构造全等三角形，结合等腰三角形三线合一和勾股定理求解，对几何综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
要解决本题，需先通过添加辅助线延长AE交BC延长线于G，利用平行四边形性质和中点条件证明三角形全等，再结合折叠性质推导等腰关系，最后借助直角三角形性质与勾股定理求出DE长度，进而得到AB的长。
【解析】
解：延长AE，交BC的延长线于点G。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC=5，
∴∠DAE=∠G，∠D=∠ECG。
∵E为CD中点，
∴DE=CE，
∴△ADE≌△GCE（AAS），
∴CG=AD=5，AE=GE。
由折叠性质得：∠DAE=∠FAE，
∴∠FAE=∠G，
∴AF=GF。
∵GF=CG - CF=5 -1=4，
∴AF=4。
∵AE=GE，
∴EF是等腰△AFG底边AG的中线，又AF=GF，
∴EF⊥AG，即∠AEF=90°。
设EF=x，已知AE=√3 EF，则AE=√3 x，
在Rt△AEF中，由勾股定理得：AF²=AE² + EF²，
即4²=(√3 x)² + x²，
解得x=2（x＞0），
∴EF=2，AE=2√3。
过点E作EH⊥AD于H，
在Rt△AEH中，tan∠EAH=EF/AE=2/(2√3)=1/√3，
∴∠EAH=30°，
∴EH=AE·sin30°=2√3×1/2=√3，
AH=AE·cos30°=2√3×(√3/2)=3，
∴DH=AD - AH=5 -3=2。
在Rt△DEH中，DE=√(DH² + EH²)=√(2² + (√3)²)=√7，
∵AB=CD=2DE，
∴AB=2√7。
【答案】
2√7
【知识点】
平行四边形性质，折叠性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查平行四边形、折叠、全等三角形及直角三角形的性质，需通过添加辅助线构造全等三角形，结合等腰三角形三线合一和勾股定理求解，对几何综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
三、解答题(本大题有8个小题,共72分)
17.(本题8分)计算:
(1)$\sqrt{12} - \sqrt{8} × \sqrt{\frac{1}{2}}$;
(2)$(\sqrt{5} - 1)^2 + \sqrt{2} × \sqrt{10}$。
17.(本题8分)计算:
(1)$\sqrt{12} - \sqrt{8} × \sqrt{\frac{1}{2}}$;
(2)$(\sqrt{5} - 1)^2 + \sqrt{2} × \sqrt{10}$。
答案
17.解:(1)原式=2√3 - √(8×1/2)=2√3 - 2;
(2)原式=5 - 2√5 +1 +2√5=6。
(2)原式=5 - 2√5 +1 +2√5=6。
解析
【分析】
本题考查二次根式的混合运算，解题思路为：（1）先根据二次根式乘法法则计算乘法项，再化简各二次根式后合并；（2）先利用完全平方公式展开式子，再计算二次根式乘法项，最后合并同类二次根式。
【解析】
17. 解：
(1) 先计算二次根式乘法，再化简合并：
原式 = √12 - √(8×1/2)
= 2√3 - √4
= 2√3 - 2；
(2) 利用完全平方公式展开，再计算乘法并合并同类二次根式：
原式 = (√5)² - 2×√5×1 + 1² + √(2×10)
= 5 - 2√5 + 1 + √20
= 5 - 2√5 + 1 + 2√5
= 6；
【答案】
(1) 2√3 - 2；(2) 6
【知识点】
二次根式的混合运算、完全平方公式
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，重点考查二次根式的运算法则和完全平方公式的应用，解题时需注意运算顺序和公式的正确使用，属于常规基础题。
【难度系数】
0.7
本题考查二次根式的混合运算，解题思路为：（1）先根据二次根式乘法法则计算乘法项，再化简各二次根式后合并；（2）先利用完全平方公式展开式子，再计算二次根式乘法项，最后合并同类二次根式。
【解析】
17. 解：
(1) 先计算二次根式乘法，再化简合并：
原式 = √12 - √(8×1/2)
= 2√3 - √4
= 2√3 - 2；
(2) 利用完全平方公式展开，再计算乘法并合并同类二次根式：
原式 = (√5)² - 2×√5×1 + 1² + √(2×10)
= 5 - 2√5 + 1 + √20
= 5 - 2√5 + 1 + 2√5
= 6；
【答案】
(1) 2√3 - 2；(2) 6
【知识点】
二次根式的混合运算、完全平方公式
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，重点考查二次根式的运算法则和完全平方公式的应用，解题时需注意运算顺序和公式的正确使用，属于常规基础题。
【难度系数】
0.7
18.(本题8分)解方程：
(1)$x^2 + 2x - 8 = 0$；
(2)$x(x - 2) = 6 - 3x$。
(1)$x^2 + 2x - 8 = 0$；
(2)$x(x - 2) = 6 - 3x$。
答案
18.解:(1)$x^2+2x-8=0,(x+4)(x-2)=0,x_1=2,x_2=-4$;
(2)$x(x-2)=6-3x,x(x-2)=3(2-x),(x-2)(x+3)=0,x_1=2,x_2=-3$。
(2)$x(x-2)=6-3x,x(x-2)=3(2-x),(x-2)(x+3)=0,x_1=2,x_2=-3$。
解析
【分析】
这是两道一元二次方程的求解问题，适合用因式分解法（十字相乘法、提公因式法）解答。第(1)题需将二次三项式通过十字相乘法分解为一次因式乘积，再令因式为0求解；第(2)题先变形右边式子，再通过移项、提公因式分解因式后求解，整体思路清晰，属于基础题型。
【解析】
(1) 对 $x^2 + 2x - 8 = 0$ 左边因式分解：
利用十字相乘法，找到乘积为-8、和为2的两个数4和-2，因此分解为 $(x + 4)(x - 2) = 0$。
令每个因式为0，得 $x + 4 = 0$ 或 $x - 2 = 0$，解得 $x_1 = 2$，$x_2 = -4$。
(2) 对 $x(x - 2) = 6 - 3x$ 变形求解：
先将右边 $6 - 3x$ 改写为 $3(2 - x)$，方程变为 $x(x - 2) = 3(2 - x)$，进一步整理为 $x(x - 2) = -3(x - 2)$。
移项得 $x(x - 2) + 3(x - 2) = 0$，提公因式 $(x - 2)$，得 $(x - 2)(x + 3) = 0$。
令每个因式为0，得 $x - 2 = 0$ 或 $x + 3 = 0$，解得 $x_1 = 2$，$x_2 = -3$。
【答案】
(1) $x_1 = 2$，$x_2 = -4$；(2) $x_1 = 2$，$x_2 = -3$
【知识点】
一元二次方程的解法、因式分解法
【点评】
本题为基础一元二次方程求解题，分别运用十字相乘法和提公因式法分解因式，步骤简洁，考察学生对一元二次方程因式分解解法的掌握，属于常规得分题型。
【难度系数】
0.8
这是两道一元二次方程的求解问题，适合用因式分解法（十字相乘法、提公因式法）解答。第(1)题需将二次三项式通过十字相乘法分解为一次因式乘积，再令因式为0求解；第(2)题先变形右边式子，再通过移项、提公因式分解因式后求解，整体思路清晰，属于基础题型。
【解析】
(1) 对 $x^2 + 2x - 8 = 0$ 左边因式分解：
利用十字相乘法，找到乘积为-8、和为2的两个数4和-2，因此分解为 $(x + 4)(x - 2) = 0$。
令每个因式为0，得 $x + 4 = 0$ 或 $x - 2 = 0$，解得 $x_1 = 2$，$x_2 = -4$。
(2) 对 $x(x - 2) = 6 - 3x$ 变形求解：
先将右边 $6 - 3x$ 改写为 $3(2 - x)$，方程变为 $x(x - 2) = 3(2 - x)$，进一步整理为 $x(x - 2) = -3(x - 2)$。
移项得 $x(x - 2) + 3(x - 2) = 0$，提公因式 $(x - 2)$，得 $(x - 2)(x + 3) = 0$。
令每个因式为0，得 $x - 2 = 0$ 或 $x + 3 = 0$，解得 $x_1 = 2$，$x_2 = -3$。
【答案】
(1) $x_1 = 2$，$x_2 = -4$；(2) $x_1 = 2$，$x_2 = -3$
【知识点】
一元二次方程的解法、因式分解法
【点评】
本题为基础一元二次方程求解题，分别运用十字相乘法和提公因式法分解因式，步骤简洁，考察学生对一元二次方程因式分解解法的掌握，属于常规得分题型。
【难度系数】
0.8
19.(本题8分)杨梅园组织了“浓情杨梅，果香四溢”的采摘杨梅比赛活动，规定一篮杨梅标准重量为$(1000\pm10)\mathrm{g}$，现甲、乙两队各10名队员参加了比赛，采摘的杨梅每篮重量如下(单位:g):
甲:987,987,993,993,1000,1003,1003,1003,1013,1015；
乙:988,988,989,999,999,999,1000,1012,1013,1014。
分析数据如表：
根据以上信息,解答下列问题:
(1)$a=$
(2)若比赛规则规定,采摘的杨梅重量符合标准重量篮数多的一队胜出,请问哪队会胜出?请说明理由。
甲:987,987,993,993,1000,1003,1003,1003,1013,1015；
乙:988,988,989,999,999,999,1000,1012,1013,1014。
分析数据如表：
根据以上信息,解答下列问题:
(1)$a=$
1 003
$,b=$999
;(2)若比赛规则规定,采摘的杨梅重量符合标准重量篮数多的一队胜出,请问哪队会胜出?请说明理由。
答案
19.解:(1)1 003 999
(2)甲队有6人符合标准重量,乙队有4人符合标准重量,所以甲队胜。
(2)甲队有6人符合标准重量,乙队有4人符合标准重量,所以甲队胜。
解析
【分析】
本题分为两小问，第一问需根据众数、中位数的定义计算a和b：众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数是将数据排序后，偶数个数据时取中间两个数的平均数；第二问需先明确标准重量范围，再统计两队符合标准的篮数，比较后判断胜出队伍。
【解析】
(1) 求a：甲队数据为987,987,993,993,1000,1003,1003,1003,1013,1015，其中1003出现3次，次数最多，故众数a=1003；
求b：将乙队数据从小到大排列为988,988,989,999,999,999,1000,1012,1013,1014，共10个数据，中位数为第5、6个数的平均数，即(999+999)÷2=999，故b=999；
(2) 标准重量为1000±10g，即重量在990g~1010g之间为符合标准：
甲队符合标准的篮数：993,993,1000,1003,1003,1003，共6篮；
乙队符合标准的篮数：999,999,999,1000，共4篮；
因为6＞4，所以甲队胜出。
【答案】
(1) 1003，999；(2) 甲队胜出，理由见解析。
【知识点】
众数、中位数、数据统计
【点评】
本题考查统计量的计算及实际应用，需准确掌握众数、中位数的定义，同时能根据标准筛选数据，属于基础统计应用题。
【难度系数】
0.5
本题分为两小问，第一问需根据众数、中位数的定义计算a和b：众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数是将数据排序后，偶数个数据时取中间两个数的平均数；第二问需先明确标准重量范围，再统计两队符合标准的篮数，比较后判断胜出队伍。
【解析】
(1) 求a：甲队数据为987,987,993,993,1000,1003,1003,1003,1013,1015，其中1003出现3次，次数最多，故众数a=1003；
求b：将乙队数据从小到大排列为988,988,989,999,999,999,1000,1012,1013,1014，共10个数据，中位数为第5、6个数的平均数，即(999+999)÷2=999，故b=999；
(2) 标准重量为1000±10g，即重量在990g~1010g之间为符合标准：
甲队符合标准的篮数：993,993,1000,1003,1003,1003，共6篮；
乙队符合标准的篮数：999,999,999,1000，共4篮；
因为6＞4，所以甲队胜出。
【答案】
(1) 1003，999；(2) 甲队胜出，理由见解析。
【知识点】
众数、中位数、数据统计
【点评】
本题考查统计量的计算及实际应用，需准确掌握众数、中位数的定义，同时能根据标准筛选数据，属于基础统计应用题。
【难度系数】
0.5
