9. 新素养应用意识（2025·江苏扬州模拟）新定义：$[a,b]$是一次函数$y=ax+b(a≠0,$$a,b$为实数）的“关联数”.若“关联数”是$[3,m-2]$的一次函数是正比例函数，则点$(1-m,1+m)$所在的象限是 （ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限

B

10. 如图，用每张长为6 cm的纸片，重叠1 cm粘贴成一条纸带，则这条纸带的长度 y(cm)与纸片的张数 x 之间的函数表达式为________．

$y = 5x + 1$

11. 如图,在长方形$ABCD$中,$AB=6$,$BC=8$,点$P$从点$A$出发沿$A→B→C→D$的路线移动,设点$P$移动的路线长为$x$,$△ PAD$的面积为$y$.则当$y=20$时,$x$的值为______.

5或15

12. 甲超市在端午节这天进行苹果优惠促销活动，苹果的标价为 10 元/千克.如果一次购买 4 千克以上，那么超过 4 千克的部分按标价的 6 折售卖.
（1）文文购买 3 千克苹果需付________元，购买 5 千克苹果需付________元；
（2）设购买苹果 $ x $ 千克，付费 $ y $ 元，求 $ y $ 关于 $ x $ 的函数表达式；
（3）当天，隔壁的乙超市也在进行苹果优惠促销活动，同样苹果的标价也为 10 元/千克，且全部按标价的 8 折售卖.如果文文要购买 10 千克苹果，那么她在哪家超市购买更划算？

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; 46
; 解：​$(2)$​由题意得当​$0\leq x\leq 4$​时，​$y$​关于​$x$​的函数表达式为​$y = 10x；$​当​$x>4$​时，​$y$​关于​$x$​的函数表达式为​$y = 4×10 + 10×0.6(x - 4) = 6x + 16$​综上，​$y$​关于​$x$​的函数表达式为​$y=\begin {cases}10x(0\leq x\leq 4)\\6x + 16(x>4)\end {cases}$​​$(3)$​设在乙超市购买苹果​$x$​千克，需付费​$y'$​元则​$y' = 10×0.8x = 8x$​由​$(2)$​得当​$x>4$​时，​$y = 6x + 16$​令​$x = 10，$​得​$y = 6×10 + 16 = 76，$​​$y' = 8×10 = 80，$​且​$76<80$​∴在甲超市购买更划算

13. 如图①，正方形ABCD的边长为4 cm，E为边AD的中点，F为边AB上一点，动点P从点B出发，沿B→C→D→E向终点E以a cm/s的速度运动，设运动的时间为t s，△PBF的面积记为S，S与t的部分函数图象如图②所示，且$M(1,\dfrac{3}{2})$，$N(5,6)$两点都在S与t的函数图象上.
（1）求线段BF的长及a的值；
（2）写出S关于t的函数表达式；
（3）当t为多少时，△PBF的面积为4 cm²？

解：​$(1)$​设​$BF $​的长为​$x\mathrm {cm}$​由题意得​$BC = 4\ \mathrm {cm}，$​​$AB\perp BC，$​当点​$P $​在边​$CD$​上时，​$\triangle P BF $​的面积为​$6\ \mathrm {cm}^2$​则​$\frac 12×4x = 6，$​解得​$x = 3，$​则​$BF = 3\ \mathrm {cm}$​当​$t = 1$​时，​$S= \frac 32，$​​$BP = a\mathrm {cm}$​则​$\frac 12BF·BP = \frac 32$​即​$\frac 12×3a = \frac 32，$​解得​$a = 1$​则线段​$BF $​的长为​$3\ \mathrm {cm}，$​​$a$​的值为​$1$​​$(2)$​∵正方形​$ABCD$​的边长为​$4\ \mathrm {cm}$​∴​$AB = BC = CD = AD = 4\ \mathrm {cm}，$​​$∠A=∠B=∠C = 90°$​∴​$∠B+∠C = 180°，$​即​$AB//CD$​又​$E$​是​$AD$​的中点，∴​$DE=\frac 12\ \mathrm {A}D = 2\ \mathrm {cm}$​由​$(1)$​得​$BF = 3\ \mathrm {cm}，$​​$a = 1$​∴当​$0＜t\leq 4$​时，点​$P $​在边​$BC$​上运动，​$S_{\triangle P BF}=\frac 12BF·BP$​则​$S=\frac 12×3×t=\frac 32\ \mathrm {t}$​当​$4＜t\leq 8$​时，点​$P $​在边​$CD$​上运动，​$S_{\triangle P BF}=\frac 12BF·BC$​则​$S=\frac 12×3×4 = 6$​当​$8＜t\leq 10$​时，点​$P $​在线段​$DE$​上运动​$AP = 12 - t，$​​$S_{\triangle P BF}=\frac 12BF·AP$​则​$S=\frac 12×3×(12 - t)=18-\frac 32\ \mathrm {t}$​综上，​$S $​关于​$t $​的函数表达式为​$S=\begin {cases}\frac 32\ \mathrm {t}(0＜t\leq 4)\\6(4＜t\leq 8)\\18-\frac 32\ \mathrm {t}(8＜t\leq 10)\end {cases}$​​$(3)$​若​$S= 4，$​则分类讨论如下：当​$0＜t\leq 4$​时，​$\frac 32\ \mathrm {t} = 4，$​解得​$t = \frac 83$​当​$4＜t\leq 8$​时，​$6\neq 4，$​则此种情况不存在当​$8＜t\leq 10$​时，​$18-\frac 32\ \mathrm {t} = 4，$​解得​$t=\frac {28}3$​∴当​$t = \frac 83$​或​$\frac {28}3$​时，​$\triangle P BF $​的面积为​$4\ \mathrm {cm}^2$​