1. 如图,BC 为⊙O 的直径,弦 AD⊥BC 于点 E,直线 l 切⊙O 于点 C,延长 OD 交 l 于点 F。若 AE = 2,∠ABC = 22.5°,则 CF 的长度为( )

A.2
B.$2\sqrt{2}$
C.$2\sqrt{3}$
D.4
[img]

B

证明：
∵BC为⊙O直径，AD⊥BC于E，
∴AE=ED=2，∠BAD=∠CAD（垂径定理）。
∵∠ABC=22.5°，
∴∠AOC=2∠ABC=45°（圆周角定理）。
设OE=x，OA=OD=OC=r，则AE=2，
在Rt△AOE中，∠AOE=45°，
∴AE=OE=2，即x=2，
∴r=OA=√(AE²+OE²)=√(2²+2²)=2√2。
∵直线l切⊙O于C，
∴OC⊥l，∠OCF=90°。
∵OD=OC=2√2，OE=2，
∴ED=2，在Rt△OED中，
OD²=OE²+ED²，即(2√2)²=2²+2²，成立。
∵∠DOC=∠AOE=45°（对顶角），
在Rt△OCF中，∠COF=45°，OC=2√2，
∴CF=OC·tan45°=2√2×1=2√2。
答案：B。

2. 如图,△ABC 的边 AC 与⊙O 相交于 C,D 两点,且经过圆心 O,边 AB 与⊙O 相切,切点为 B。若∠A = 30°,则∠C 的度数是( )

A.30°
B.45°
C.60°
D.40°
[img]

A

证明：连接OB。
∵AB与⊙O相切于点B，
∴OB⊥AB，即∠ABO=90°。
∵∠A=30°，
∴∠AOB=180°-∠A-∠ABO=60°。
∵∠AOB是△OBC的外角，
∴∠AOB=∠C+∠OBC。
∵OB=OC，
∴∠C=∠OBC。
∴∠C=∠AOB/2=60°/2=30°。
A

3. 如图,在平面直角坐标系中,⊙A 经过原点 O,并且分别与 x 轴,y 轴交于 B,C 两点,B(8,0),C(0,6),则⊙A 的半径为( )

A.3
B.4
C.5
D.8
[img]

C

解：连接 $BC$。
因为 $\angle BOC = 90°$，且点 $O$，$B$，$C$ 均在 $\odot A$ 上，所以 $BC$ 是 $\odot A$ 的直径。
已知 $B(8,0)$，$C(0,6)$，则 $OB = 8$，$OC = 6$。
在 $Rt\triangle BOC$ 中，由勾股定理得：$BC = \sqrt{OB^2 + OC^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$。
所以 $\odot A$ 的半径为 $\frac{BC}{2} = \frac{10}{2} = 5$。
答案：C

4. 如图,P 为⊙O 的直径 BA 延长线上的一点,PC 与⊙O 相切,切点为 C,点 D 是⊙上一点,连接 PD,PC = PD = BC。下列结论：①PD 与⊙O 相切；②四边形 PCBD 是菱形；③PO = AB；④∠PDB = 120°。其中正确的个数为( )

A.4 个
B.3 个
C.2 个
D.1 个
[img]

A

证明：①连接 $OC$，$OD$。
∵ $PC$ 与 $\odot O$ 相切，
∴ $\angle OCP = 90°$。
∵ $PC = PD$，$OC = OD$，$OP = OP$，
∴ $\triangle OCP \cong \triangle ODP$（SSS）。
∴ $\angle ODP = \angle OCP = 90°$，故 $PD$ 与 $\odot O$ 相切。①正确。
②由①知 $PC = PD$，$\angle CPO = \angle DPO$。
∵ $PC = BC$，设 $\angle CBP = \angle CPB = \alpha$，则 $\angle PCB = 180° - 2\alpha$。
∵ $AB$ 为直径，$\angle ACB = 90°$，$\angle OCB = 90° - \angle ACO$。
又 $\angle OCP = 90°$，$\angle OCB = \angle OBC = 2\alpha$（$OC = OB$），
∴ $2\alpha + \alpha = 90°$，$\alpha = 30°$。
∴ $\angle CBP = 30°$，$\angle COB = 60°$，$\triangle OCB$ 为等边三角形，$BC = OC = OB$。
∵ $PC = BC = OC = OD = PD$，$OC = OB$，
∴ $PC = CB = BD = DP$，故四边形 $PCBD$ 是菱形。②正确。
③设 $\odot O$ 半径为 $r$，则 $AB = 2r$。
在 $Rt\triangle OCP$ 中，$\angle CPO = 30°$，$OP = 2OC = 2r$，
∴ $PO = AB$。③正确。
④ $\angle PDB = \angle CDB$（菱形对角相等）。
$\angle CDB = 180° - \angle COB = 180° - 60° = 120°$。④正确。
综上，①②③④均正确，个数为 4。
答案：A

5. 用一个圆心角为 120°,半径为 3 的扇形作一个圆锥的侧面,则这个圆锥的底面半径为( )

A.$\frac{1}{2}$
B.1
C.$\frac{3}{2}$
D.2

B

扇形的弧长公式为$l = \frac{n\pi r}{180}$（其中$n$为圆心角度数，$r$为扇形半径），则该扇形的弧长为：$\frac{120\pi×3}{180} = 2\pi$。
圆锥底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，设圆锥底面半径为$R$，底面周长为$2\pi R$，所以$2\pi R = 2\pi$，解得$R = 1$。
B

6. 已知∠BAC = 60°,AB = 4,以 B 为圆心,AB 长为半径画圆 B,若点 C 在圆 B 内,则线段 BC 的取值范围是( )

A.0 ＜ BC ＜ 4
B.2 ＜ BC ≤ 4
C.BC ＞ 4
D.$2\sqrt{3}$ ≤ BC ＜ 4

D

在△ABC中，∠BAC=60°，AB=4。过点B作BD⊥AC于点D，则AD=AB·cos60°=4×$\frac{1}{2}$=2，BD=AB·sin60°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$。
因为点C在圆B内，且圆B半径为AB=4，所以BC＜4。
又因为点C与点A不重合（否则∠BAC不存在），当点C与点D重合时，BC最短，此时BC=BD=2$\sqrt{3}$。
综上，2$\sqrt{3}$≤BC＜4。
D

7. 如图,BC 是⊙O 的一条弦,OA⊥BC,交⊙O 于一点 A,点 D 在⊙O 上,∠ADC = 25°,则∠OBC 的度数是______°。
[img]

40

证明：
∵OA⊥BC，
∴弧AC=弧AB，
∴∠AOB=2∠ADC=2×25°=50°，
∵OA⊥BC，
∴∠OEB=90°（设OA与BC交于点E），
在Rt△OEB中，∠OBC=90°-∠AOB=90°-50°=40°。
40

8. 如图,正五边形 ABCDE 内接于⊙O,点 F 在$\overset{\frown}{CD}$上,则∠BFE 的度数为______度。
[img]

72

证明：连接 BE。
∵正五边形 ABCDE 内接于⊙O，
∴$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}$，且每个圆心角为$\frac{360°}{5}=72°$，
∴$\overset{\frown}{BCD}=\overset{\frown}{CDE}=2×72°=144°$，
∴$\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{DE}=3×72°=216°$，
∴优弧 BE 的度数为$360° - 216°=144°$，
∵点 F 在$\overset{\frown}{CD}$上，
∴∠BFE 是$\overset{\frown}{BE}$所对的圆周角，
∴∠BFE=$\frac{1}{2}×144°=72°$。
72