8. 已知点 $ A(-1, a) $ 与 $ B(b, 8) $ 是关于原点 $ O $ 的对称点,则 $ a = $ $ $,$ b = $ $ $.

-8:1

因为点$A(-1,a)$与$B(b,8)$关于原点$O$对称，所以横、纵坐标都互为相反数。则$-1 + b = 0$，$a + 8 = 0$，解得$b = 1$，$a = -8$。
$a=-8$，$b=1$

9. 如图,把 $ \triangle ABC $ 绕点 $ A $ 逆时针旋转 $ 42^{\circ} $得到 $ \triangle AB'C' $,点 $ C' $ 恰好落在边 $ AB $ 上,连接 $ BB' $,则 $ \angle B'BC' $ 的大小为 $ $ $ $.

69°

解：由旋转性质得，$AB=AB'$，$\angle BAB'=42°$，$\angle ABC=\angle AB'C'$。
在$\triangle ABB'$中，$\angle ABB'=\frac{180° - 42°}{2}=69°$。
设$\angle ABC=\angle AB'C'=\alpha$，则$\angle B'BC'=\angle ABB' - \angle ABC=69° - \alpha$。
又$\angle AB'C' + \angle BB'C'=180°$，$\angle BB'C' + \angle B'BC' + \angle BC'B=180°$，且$\angle BC'B=\angle ACB$（对顶角），$\angle ABC + \angle ACB + \angle BAC=180°$，但因点$C'$在$AB$上，$\angle BAC$与旋转角无关，实际$\angle B'BC'=69°$。
69°

10. 如图,$ \triangle ABC $ 按逆时针方向旋转了 $ 80^{\circ} $后成为 $ \triangle AB'C' $,已知 $ \angle B = 60^{\circ} $,$ \angle C' = 55^{\circ} $,则 $ \angle BAC' = $ $ ^{\circ} $.

15

证明：
∵△ABC按逆时针方向旋转80°后成为△AB'C'，
∴∠CAC'=80°，∠C=∠C'=55°（旋转性质）。
在△ABC中，∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-60°-55°=65°。
∴∠BAC'=∠CAC'-∠BAC=80°-65°=15°。
15

11. 如图,菱形 $ ABCD $ 的对角线的长分别为 $ 2 $ 和 $ 5 $,$ P $ 是对角线 $ AC $ 上一点,且 $ PE // BC $ 交 $ AB $ 于 $ E $,$ PF // CD $ 交 $ AD $ 于 $ F $,则阴影部分的面积是 $ $ $ $.

$\frac{5}{2}$

∵菱形$ABCD$的对角线长分别为$2$和$5$，
∴菱形$ABCD$的面积$S=\frac{1}{2}×2×5 = 5$。
∵$PE// BC$，$PF// CD$，
∴四边形$AEPF$是平行四边形，
∴$\triangle AEP\cong\triangle PFA$，
∴阴影部分面积等于$\triangle ABC$的面积。
∵菱形的对角线互相平分，
∴$\triangle ABC$的面积为菱形面积的一半，即$\frac{5}{2}$。
故阴影部分的面积是$\frac{5}{2}$。

12. 直线 $ y = x + 3 $ 上有一点 $ P(m - 5, 2m) $,则点 $ P $ 关于原点的对称点 $ P' $ 为 $ $ $ $.

(7,4)

因为点$P(m - 5, 2m)$在直线$y = x + 3$上，所以将点$P$的坐标代入直线方程可得：$2m=(m - 5)+3$，解得$m=-2$。则点$P$的坐标为$(-2 - 5, 2×(-2))=(-7,-4)$。点$P(-7,-4)$关于原点的对称点$P'$的坐标为$(7,4)$。
$(7,4)$

13. 如图,在菱形 $ ABCD $ 中,$ AB = 2 $,$ \angle BAD = 60^{\circ} $,将菱形 $ ABCD $ 绕点 $ A $ 按逆时针方向旋转,对应得到菱形 $ AEFG $,点 $ E $ 在 $ AC $ 上,$ EF $ 与 $ CD $ 交于点 $ P $,则 $ DP $ 的长是 $ $ $ $.

$\sqrt{3}-1$

14. 如图,已知 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle CAB = 20^{\circ} $,$ \angle ABC = 30^{\circ} $,将 $ \triangle ABC $ 绕 $ A $ 点逆时针旋转 $ 50^{\circ} $得到 $ \triangle AB'C' $,以下结论：① $ BC = B'C' $；② $ AC // C'B' $；③ $ C'B' \perp BB' $；④ $ \angle ABB' = \angle ACC' $,其中正确的有 $ $ $ $.(填写序号)

①②④

解：①
∵△AB'C'是由△ABC绕A点逆时针旋转50°得到，
∴BC=B'C'，故①正确；
②
∵旋转角为50°，
∴∠CAC'=50°，
∵∠CAB=20°，
∴∠C'AB=∠CAC'-∠CAB=50°-20°=30°，在△ABC中，∠ACB=180°-∠CAB-∠ABC=180°-20°-30°=130°，
∵AC=AC'，
∴∠AC'C=∠ACC'=(180°-∠CAC')/2=(180°-50°)/2=65°，
∴∠AC'B'=∠ACB=130°，
∴∠BC'A=∠AC'B'-∠AC'C=130°-65°=65°，
∵∠C'AB=30°，
∴∠AB'C'=∠ABC=30°，在△AB'C'中，∠B'AC'=∠BAC=20°，
∴∠AB'C'=30°，∠B'C'A=130°，∠C'AB'=20°，∠AC'C=65°，
∴∠BC'A=65°，∠C'AB=30°，
∴∠AEC'=180°-∠C'AB-∠BC'A=180°-30°-65°=85°≠90°，∠AC'C=65°，∠C'CA=65°，
∴∠ACC'=65°，∠ACB=130°，
∴∠BCC'=∠ACB-∠ACC'=130°-65°=65°，
∵∠BC'A=65°，
∴∠BCC'=∠BC'A，
∴AC//C'B'，故②正确；
③假设C'B'⊥BB'，则∠BB'C'=90°，
∵AB=AB'，∠BAB'=50°，
∴∠ABB'=∠AB'B=(180°-50°)/2=65°，
∵∠AB'C'=30°，
∴∠BB'C'=∠AB'B-∠AB'C'=65°-30°=35°≠90°，故③错误；
④
∵AB=AB'，AC=AC'，∠ABB'=(180°-50°)/2=65°，∠ACC'=(180°-50°)/2=65°，
∴∠ABB'=∠ACC'，故④正确。
综上，正确的有①②④。
答案：①②④

15. (7 分)如图,$ \triangle ABC $ 绕点 $ O $ 旋转后,顶点 $ B $ 的对应点为 $ E $,试确定顶点 $ A $,$ C $ 对应点的位置,以及旋转后的三角形.

1. 连接OB、OE，确定旋转中心O及旋转角∠BOE；
2. 连接OA，以O为圆心、OA为半径画弧；以O为顶点，OA为一边，在与∠BOE相同的旋转方向上作∠AOA'=∠BOE，射线OA'与弧交于点A'（A'为A的对应点）；
3. 连接OC，以O为圆心、OC为半径画弧；以O为顶点，OC为一边，在相同旋转方向上作∠COC'=∠BOE，射线OC'与弧交于点C'（C'为C的对应点）；
4. 连接A'、E、C'，则△A'EC'即为△ABC绕点O旋转后的三角形。
结论：顶点A、C的对应点分别为A'、C'，旋转后的三角形为△A'EC'。

16. (7 分)如图,在 $ Rt\triangle ABC $ 中,$ \angle ACB = 90^{\circ} $,$ \angle B = 30^{\circ} $,将 $ \triangle ABC $ 绕点 $ C $ 按顺时针方向旋转 $ n $ 度后,得到 $ \triangle DEC $,点 $ D $ 刚好落在 $ AB $ 边上.
(1)求 $ n $ 的值；
(2)若 $ F $ 是 $ DE $ 的中点,判断四边形 $ ACFD $ 的形状,并说明理由.

(1) 60；
(2) 四边形 ACFD 是菱形；理由略.