1. 下列函数是正比例函数的是()
A.$ y = -7x $
B.$ y = \frac{-7}{x} $
C.$ y = 2x^2 + 1 $
D.$ y = 0.6x - 5 $

A

正比例函数的一般形式是 $y = kx$（$k$ 是常数，且 $k \neq 0$），
选项 A：$y = -7x$，符合正比例函数的一般形式，是正比例函数；
选项 B：$y = \frac{-7}{x}$，是反比例函数，不是正比例函数；
选项 C：$y = 2x^2 + 1$，是二次函数，不是正比例函数；
选项 D：$y = 0.6x - 5$，是一次函数，不是正比例函数。

2. 下列函数中,是一次函数的是()
A.$ y = x^2 - 2x - 1 $
B.$ y = \frac{6}{x} $
C.$ y = 3x - 5 $
D.$ y = \frac{1}{x - 1} $

C

一次函数的一般形式为$y = kx + b$，其中$k$和$b$为常数，$k \neq 0$。
选项A中$x$的次数为2，是二次函数，不是一次函数；
选项B中自变量$x$在分母位置，是反比例函数，不是一次函数；
选项C符合一次函数的一般形式，其中$k = 3$，$b = -5$，所以它是一次函数；
选项D中自变量$x - 1$在分母位置，不是一次函数。

3. 若函数 $ y = (k + 2)x + k^2 - 4 $ 是正比例函数,则 $ k $ 的值为()
A.0
B.$ \pm 2 $
C.2
D.-2

C

正比例函数的形式为 $y = kx$（$k \neq 0$），所以需要满足两个条件：
1. $k + 2 \neq 0$，即 $k \neq -2$。
2. 常数项 $k^2 - 4 = 0$，解得 $k = \pm 2$。
综合两个条件，只有 $k = 2$ 满足（排除 $k = -2$）。

4. 下列选项中,两个变量之间成正比例关系的是()
A.圆的面积 $ S $(单位：$ cm^2 $)与它的半径 $ r $(单位：$ cm $)之间的关系
B.某水池有水 $ 15m^3 $,现打开进水管进水,进水速度为 $ 5m^3/h $,$ xh $ 后这个水池有水 $ ym^3 $,$ y $ 与 $ x $ 之间的关系
C.当三角形的面积为定值时,它的底边长 $ a $(单位：$ cm $)与底边上的高 $ h $(单位：$ cm $)之间的关系
D.汽车以 $ 60km/h $ 的速度匀速行驶,行驶路程 $ y $(单位：$ km $)与行驶时间 $ x $(单位：$ h $)之间的关系

D

A. 圆的面积公式为 $S = \pi r^{2}$，这是一个二次函数关系，不是正比例关系。
B. 根据题意，水池的初始水量为$15m^3$，进水速度为$5m^3/h$，所以$xh$后的水量为$y = 15 + 5x$，这是一次函数关系，不是正比例关系。
C. 三角形的面积公式为$S = \frac{1}{2}ah$，当面积$S$为定值时，底边长$a$与底边上的高$h$之间的关系为$a = \frac{2S}{h}$，这是反比例关系，不是正比例关系。
D. 汽车以$60km/h$的速度匀速行驶，行驶路程$y$与行驶时间$x$之间的关系为$y = 60x$，满足正比例函数的定义。

5. 在弹性限度内,弹簧伸长的长度 $ y $(单位：$ cm $)与所挂物体的质量 $ x $(单位：$ kg $)成正比,某弹簧不挂物体时长 $ 15cm $,当所挂物体质量为 $ 3kg $ 时,弹簧长 $ 16.8cm $,则 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系式为。

$y = 0.6x$

设弹簧伸长的长度$y$与所挂物体的质量$x$之间的函数关系式为$y = kx$（因为成正比，所以设此式）。
不挂物体时，弹簧长度为$15cm$，当所挂物体质量为$3kg$时，弹簧长度为$16.8cm$，则弹簧伸长的长度为$16.8 - 15 = 1.8cm$。
把$x = 3$，$y = 1.8$代入$y = kx$，得$1.8 = 3k$，解得$k = 0.6$。
所以$y$与$x$之间的函数关系式为$y = 0.6x$，而弹簧总长度$L=15 + y=15 + 0.6x$，这里所求为伸长量与质量的关系，所以函数关系是$y = 0.6x$。

6. 某商店购进了甲、乙两种新款电动自行车共 $ 50 $ 辆,其中甲款车的利润为 $ 500 $ 元/辆,乙款车的利润为 $ 550 $ 元/辆,设甲款车购入 $ x $ 辆,销售完这批车的总利润为 $ y $ 元,则 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系式为。

$ y = -50x + 27500 $（或 $ y = 27500 - 50x $）

设甲款车购入 $ x $ 辆，则乙款车购入 $ 50 - x $ 辆。
甲款车的总利润为 $ 500x $ 元，乙款车的总利润为 $ 550(50 - x) $ 元。
销售完这批车的总利润 $ y $ 为两者之和，即：
$ y = 500x + 550(50 - x) $
化简得：
$ y = 500x + 27500 - 550x $
$ y = -50x + 27500 $

7. 列式表示下列问题中 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系式,并指出哪些是正比例函数。
(1)圆的半径为 $ x $,周长为 $ y $；
(2)每本练习本 $ 0.5 $ 元,购买练习本的本数为 $ x $,购买练习本的总费用为 $ y $ 元；
(3)汽车以 $ 80 $ 千米/时的速度匀速行驶,行驶时间为 $ x $ 小时,所行驶的路程为 $ y $ 千米；
(4)某人一个月的收入为 $ 3500 $ 元,这个人的总收入 $ y $(单位：元)随工作时间 $ x $(单位：月)的变化而变化。

(1)
函数关系式：$y = 2\pi x$。
是正比例函数。
(2)
函数关系式：$y = 0.5x$。
是正比例函数。
(3)
函数关系式：$y = 80x$。
是正比例函数。
(4)
函数关系式：$y = 3500x$。
是正比例函数。

8. 已知函数 $ y = (m + 1)x^{2 - |m|} + n + 4 $。
(1)当 $ m $,$ n $ 为何值时,此函数是一次函数？
(2)当 $ m $,$ n $ 为何值时,此函数是正比例函数？

(1) 要使函数 $y = (m + 1)x^{2 - |m|} + n + 4$ 是一次函数，必须满足以下条件：
$2 - |m| = 1$，以确保 $x$ 的指数为 1。
$m + 1 \neq 0$，以确保 $x$ 的系数不为 0。
解方程 $2 - |m| = 1$，得到 $|m| = 1$，即 $m = \pm 1$。
但由于 $m + 1 \neq 0$，排除 $m = -1$，所以 $m = 1$。
$n$ 可以为任意实数，因为 $n + 4$ 是一次函数的常数项，不影响其是否为一次函数。
所以当 $m = 1$，$n$ 为任意实数时，此函数是一次函数。
(2)要使函数 $y = (m + 1)x^{2 - |m|} + n + 4$ 是正比例函数，必须满足以下条件：
$2 - |m| = 1$，以确保 $x$ 的指数为 1。
$m + 1 \neq 0$，以确保 $x$ 的系数不为 0。
$n + 4 = 0$，以确保没有常数项。
同样，解方程 $2 - |m| = 1$，得到 $|m| = 1$，即 $m = \pm 1$。
由于 $m + 1 \neq 0$，排除 $m = -1$，所以 $m = 1$。
此外，$n + 4 = 0$，解得 $n = -4$。
所以当 $m = 1$，$n = -4$ 时，此函数是正比例函数。