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10.如图是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为81，则第2025次输出的结果为（
A.3
B.27
C.9
D.1
A
）A.3
B.27
C.9
D.1
答案
10.A 【解析】第1次输出结果为$\frac{1}{3}×81=27$,第2次输出结果为$\frac{1}{3}×27=9$,第3次输出结果为$\frac{1}{3}×9=3$,第4次输出结果为$\frac{1}{3}×3=1$,第5次输出结果为$1+2=3$,第6次输出结果为$\frac{1}{3}×3=1$……可以发现,从第4次开始,偶数次输出的结果是1,奇数次输出的结果是3.因为2 025是奇数,所以第2 025次输出的结果为3.
解析
【分析】
解决这类运算程序的规律题，首先要明确运算规则：当输入的$x≠1$时，输出$\frac{1}{3}x$；当输入的$x=1$时，输出$x+2$，且每次的输出结果会作为下一次的输入。我们可以先依次计算前几次的输出结果，观察找到结果的循环规律，再根据规律计算第2025次的输出即可。
【解析】
按照运算规则依次计算前几次的输出：
第1次输出：$\frac{1}{3}×81=27$
第2次输出：$\frac{1}{3}×27=9$
第3次输出：$\frac{1}{3}×9=3$
第4次输出：$\frac{1}{3}×3=1$
第5次输出：$1+2=3$
第6次输出：$\frac{1}{3}×3=1$
……
观察可得：从第4次开始，输出结果按照“1，3”的顺序循环，其中次数为偶数时输出结果为1，次数为奇数时输出结果为3。
因为2025是大于4的奇数，所以第2025次输出的结果为3。
【答案】
A
【知识点】
代数式求值，规律探究，程序运算
【点评】
本题是程序运算类的规律探究题，需要先按规则计算前若干次结果找到循环周期，再结合周期判断对应次数的输出，能有效考查运算能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
解决这类运算程序的规律题，首先要明确运算规则：当输入的$x≠1$时，输出$\frac{1}{3}x$；当输入的$x=1$时，输出$x+2$，且每次的输出结果会作为下一次的输入。我们可以先依次计算前几次的输出结果，观察找到结果的循环规律，再根据规律计算第2025次的输出即可。
【解析】
按照运算规则依次计算前几次的输出：
第1次输出：$\frac{1}{3}×81=27$
第2次输出：$\frac{1}{3}×27=9$
第3次输出：$\frac{1}{3}×9=3$
第4次输出：$\frac{1}{3}×3=1$
第5次输出：$1+2=3$
第6次输出：$\frac{1}{3}×3=1$
……
观察可得：从第4次开始，输出结果按照“1，3”的顺序循环，其中次数为偶数时输出结果为1，次数为奇数时输出结果为3。
因为2025是大于4的奇数，所以第2025次输出的结果为3。
【答案】
A
【知识点】
代数式求值，规律探究，程序运算
【点评】
本题是程序运算类的规律探究题，需要先按规则计算前若干次结果找到循环周期，再结合周期判断对应次数的输出，能有效考查运算能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
11. 当 $ x ≠ -1 $ 时，我们把 $ -\dfrac{1}{x+1} $ 称为 $ x $ 的“和1负倒数”. 如：1的“和1负倒数”为 $ -\dfrac{1}{1+1}=-\dfrac{1}{2} $；-3的“和1负倒数”为 $ -\dfrac{1}{-3+1}=\dfrac{1}{2} $. 若 $ x_1=-\dfrac{3}{4} $，$ x_2 $ 是 $ x_1 $ 的“和1负倒数”，$ x_3 $ 是 $ x_2 $ 的“和1负倒数”……依次类推，则 $ x_4= $
$-\frac{3}{4}$
；$ x_1 · x_2 · x_3 · \dots · x_{2024}= $ 3
.答案
11.$-\frac{3}{4}$ 3 【解析】因为 $x_1=-\frac{3}{4}$,所以 $x_2=-\frac{1}{-\frac{3}{4}+1}=-4$,$x_3=-\frac{1}{-4+1}=\frac{1}{3}$,$x_4=-\frac{1}{\frac{1}{3}+1}=-\frac{3}{4}$……所以从 $x_1$ 开始,这列数依次以$-\frac{3}{4},-4$,$\frac{1}{3}$循环.因为$-\frac{3}{4}×(-4)×\frac{1}{3}=1$,$2\ 024÷3=674$……2, 所以 $x_1 · x_2 · x_3 · … · x_{2\ 024} = [-\frac{3}{4}×(-4)×\frac{1}{3}]×…×[-\frac{3}{4}×(-4)×\frac{1}{3}] × (-\frac{3}{4})×(-4)=1^{674}×3=3$.
解析
【分析】
首先理解题目给出的“和1负倒数”的新定义：当x≠-1时，x的“和1负倒数”为$-\dfrac{1}{x+1}$。解题时先根据定义依次计算$x_2$、$x_3$、$x_4$的值，通过前几项的结果找到数字的循环规律，确定循环周期后，先算出一个周期内三个数的乘积，再计算2024个数中包含多少个完整周期、余下几个数，最后将完整周期的乘积和余下数的乘积相乘即可得到总乘积。
【解析】
已知$x_1=-\dfrac{3}{4}$，根据“和1负倒数”的定义依次计算：
$x_2=-\dfrac{1}{x_1+1}=-\dfrac{1}{-\dfrac{3}{4}+1}=-\dfrac{1}{\dfrac{1}{4}}=-4$
$x_3=-\dfrac{1}{x_2+1}=-\dfrac{1}{-4+1}=-\dfrac{1}{-3}=\dfrac{1}{3}$
$x_4=-\dfrac{1}{x_3+1}=-\dfrac{1}{\dfrac{1}{3}+1}=-\dfrac{1}{\dfrac{4}{3}}=-\dfrac{3}{4}$
由此可知，这列数从$x_1$开始，按$-\dfrac{3}{4}、-4、\dfrac{1}{3}$三个数为一个周期循环出现。
计算一个周期内三个数的乘积：$-\dfrac{3}{4}×(-4)×\dfrac{1}{3}=1$
计算2024包含的周期数：$2024÷3=674······2$，即有674个完整周期，余下周期的前2个数：$-\dfrac{3}{4}、-4$。
因此总乘积为：$1^{674}×(-\dfrac{3}{4})×(-4)=1×3=3$
【答案】
$-\dfrac{3}{4}$；$3$
【知识点】
新定义运算，数字循环规律，有理数乘法运算
【点评】
本题结合新定义考查数字规律探究，解题核心是先根据新定义计算前几项确定循环周期，再利用周期的乘积特性简化长序列的计算，做题时需注意准确计算每一项的值，避免因计算错误找错周期。
【难度系数】
0.6
首先理解题目给出的“和1负倒数”的新定义：当x≠-1时，x的“和1负倒数”为$-\dfrac{1}{x+1}$。解题时先根据定义依次计算$x_2$、$x_3$、$x_4$的值，通过前几项的结果找到数字的循环规律，确定循环周期后，先算出一个周期内三个数的乘积，再计算2024个数中包含多少个完整周期、余下几个数，最后将完整周期的乘积和余下数的乘积相乘即可得到总乘积。
【解析】
已知$x_1=-\dfrac{3}{4}$，根据“和1负倒数”的定义依次计算：
$x_2=-\dfrac{1}{x_1+1}=-\dfrac{1}{-\dfrac{3}{4}+1}=-\dfrac{1}{\dfrac{1}{4}}=-4$
$x_3=-\dfrac{1}{x_2+1}=-\dfrac{1}{-4+1}=-\dfrac{1}{-3}=\dfrac{1}{3}$
$x_4=-\dfrac{1}{x_3+1}=-\dfrac{1}{\dfrac{1}{3}+1}=-\dfrac{1}{\dfrac{4}{3}}=-\dfrac{3}{4}$
由此可知，这列数从$x_1$开始，按$-\dfrac{3}{4}、-4、\dfrac{1}{3}$三个数为一个周期循环出现。
计算一个周期内三个数的乘积：$-\dfrac{3}{4}×(-4)×\dfrac{1}{3}=1$
计算2024包含的周期数：$2024÷3=674······2$，即有674个完整周期，余下周期的前2个数：$-\dfrac{3}{4}、-4$。
因此总乘积为：$1^{674}×(-\dfrac{3}{4})×(-4)=1×3=3$
【答案】
$-\dfrac{3}{4}$；$3$
【知识点】
新定义运算，数字循环规律，有理数乘法运算
【点评】
本题结合新定义考查数字规律探究，解题核心是先根据新定义计算前几项确定循环周期，再利用周期的乘积特性简化长序列的计算，做题时需注意准确计算每一项的值，避免因计算错误找错周期。
【难度系数】
0.6
12.如图是由一些火柴搭成的图案：
（1）观察图案的规律，第5个图案需
（2）按此规律，第2024个图案需要的火柴数量为
（1）观察图案的规律，第5个图案需
21
根火柴；（2）按此规律，第2024个图案需要的火柴数量为
8 097
根。答案
12.(1)21 (2)8 097
解析
【分析】
解决这类图形规律题，首先先数出前几个图案的火柴棍数量，观察相邻图案的火柴数量变化，可发现每增加1个图案，火柴棍固定增加4根，再根据这个固定增量推导出第n个图案的火柴数量的通用代数式，最后把对应n值代入代数式计算即可得到结果。
【解析】
观察已知图案的火柴数量可得：
第1个图案火柴数量：$5=4×1+1$
第2个图案火柴数量：$9=4×2+1$
第3个图案火柴数量：$13=4×3+1$
……
归纳可得规律：第$n$个图案需要的火柴数量为$(4n+1)$根。
(1) 当$n=5$时，代入得：$4×5+1=21$（根）
(2) 当$n=2024$时，代入得：$4×2024+1=8096+1=8097$（根）
【答案】
(1)21；(2)8097
【知识点】
图形规律探究，列代数式，代数式求值
【点评】
本题是规律探究类基础题，解题核心是观察图形变化找到固定增量，推导得出通用的数量表达式后代入数值计算即可，难点在于归纳通用规律时要注意首项和增量的对应关系。
【难度系数】
0.75
解决这类图形规律题，首先先数出前几个图案的火柴棍数量，观察相邻图案的火柴数量变化，可发现每增加1个图案，火柴棍固定增加4根，再根据这个固定增量推导出第n个图案的火柴数量的通用代数式，最后把对应n值代入代数式计算即可得到结果。
【解析】
观察已知图案的火柴数量可得：
第1个图案火柴数量：$5=4×1+1$
第2个图案火柴数量：$9=4×2+1$
第3个图案火柴数量：$13=4×3+1$
……
归纳可得规律：第$n$个图案需要的火柴数量为$(4n+1)$根。
(1) 当$n=5$时，代入得：$4×5+1=21$（根）
(2) 当$n=2024$时，代入得：$4×2024+1=8096+1=8097$（根）
【答案】
(1)21；(2)8097
【知识点】
图形规律探究，列代数式，代数式求值
【点评】
本题是规律探究类基础题，解题核心是观察图形变化找到固定增量，推导得出通用的数量表达式后代入数值计算即可，难点在于归纳通用规律时要注意首项和增量的对应关系。
【难度系数】
0.75
13. 如图是由边长为1的等边三角形摆出的一系列图形，按这种方式摆下去，第n个图形的周长是多少？
答案
13.解:由题图可知,第1个图形的周长为3=1+2,第2个图形的周长为4=2+2,第3个图形的周长为5=3+2……则第n个图形的周长是$n+2$.
解析
【分析】
解决这类图形规律题，我们采用从特殊到一般的推理思路：首先计算前几个序号对应的图形的周长，再对比周长和图形序号的数量关系，总结通用规律。先数出前4个图形的周长：第1个图形周长是3，第2个是4，第3个是5，第4个是6，观察发现周长的值比对应图形的序号大2，由此可推导第n个图形的周长。
【解析】
已知每个等边三角形的边长为1：
第1个图形的周长为3，可写成$3=1+2$；
第2个图形的周长为4，可写成$4=2+2$；
第3个图形的周长为5，可写成$5=3+2$；
第4个图形的周长为6，可写成$6=4+2$；
以此类推，每增加1个等边三角形，图形的周长就增加1，因此第n个图形的周长为$n+2$。
【答案】
$n+2$
【知识点】
图形规律探究、列代数式
【点评】
本题属于基础的规律探究类题目，核心解题方法是先计算前几个简单情况的结果，再通过对比分析找到结果和序号之间的对应规律，掌握从特殊到一般的归纳推理方法就能快速解题。
【难度系数】
0.7
解决这类图形规律题，我们采用从特殊到一般的推理思路：首先计算前几个序号对应的图形的周长，再对比周长和图形序号的数量关系，总结通用规律。先数出前4个图形的周长：第1个图形周长是3，第2个是4，第3个是5，第4个是6，观察发现周长的值比对应图形的序号大2，由此可推导第n个图形的周长。
【解析】
已知每个等边三角形的边长为1：
第1个图形的周长为3，可写成$3=1+2$；
第2个图形的周长为4，可写成$4=2+2$；
第3个图形的周长为5，可写成$5=3+2$；
第4个图形的周长为6，可写成$6=4+2$；
以此类推，每增加1个等边三角形，图形的周长就增加1，因此第n个图形的周长为$n+2$。
【答案】
$n+2$
【知识点】
图形规律探究、列代数式
【点评】
本题属于基础的规律探究类题目，核心解题方法是先计算前几个简单情况的结果，再通过对比分析找到结果和序号之间的对应规律，掌握从特殊到一般的归纳推理方法就能快速解题。
【难度系数】
0.7
14.将正方形ABCD(如图1)作如下划分,第1次划分:分别连接正方形ABCD对边的中点(如图2),得线段HF和EG,它们交于点M,此时图2中共有5个正方形;第2次划分:将图2左上角正方形AEMH再划分,得图3,则图3中共有9个正方形.
(1)若把左上角的正方形依次划分下去,则第100次划分后,图中共有
(2)继续划分下去,第n次划分后图中共有
(3)能否将正方形ABCD划分成有2 024个正方形的图形?如果能,请算出是第几次划分;如果不能,需说明理由.
(1)若把左上角的正方形依次划分下去,则第100次划分后,图中共有
401
个正方形;(2)继续划分下去,第n次划分后图中共有
$4n+1$
个正方形;(3)能否将正方形ABCD划分成有2 024个正方形的图形?如果能,请算出是第几次划分;如果不能,需说明理由.
答案
14.(1)401 (2)$4n+1$ 【解析】(1)因为第一次划分可得5个正方形,第二次可得9个正方形,第三次可得13个正方形,所以第n次可得到$(4n+1)$个正方形,所以第100次划分后,图中共有$4×100+1=401$(个)正方形.(2)由(1)得第n次划分后,图中共有$(4n+1)$个正方形.(3)解:不能.理由:若$4n+1=2\ 024$,得$n=505.75$.因为n不是整数,所以不能将正方形ABCD划分成有2 024个正方形的图形.
解析
【分析】
解决本题的核心是先观察每次划分后正方形的数量变化，寻找规律。首先整理已知条件：第1次划分后有5个正方形，第2次划分后有9个正方形，可发现每多划分1次，正方形的数量就增加4个，由此可推导第n次划分后的数量表达式，再分别代入求解三个问题即可，第三个问题需要注意划分次数n必须是正整数。
【解析】
解：首先观察划分次数和正方形数量的对应关系：
第1次划分后，正方形数量：$5 = 4×1 + 1$；
第2次划分后，正方形数量：$9 = 4×2 + 1$；
第3次划分后，正方形数量：$13 = 4×3 + 1$；
……
由此可得规律：第$n$次划分后，正方形的总数量为$(4n+1)$个。
(1) 当$n=100$时，代入表达式得：$4×100 + 1 = 401$（个）；
(2) 由上述规律，第$n$次划分后共有$(4n+1)$个正方形；
(3) 假设能划分出2024个正方形，令$4n + 1 = 2024$，
解方程得：$4n = 2023$，$n = 505.75$。
因为划分次数$n$必须是正整数，$505.75$不是整数，不符合要求，所以不能划分成有2024个正方形的图形。
【答案】
(1) $\boxed{401}$
(2) $\boxed{4n+1}$
(3) 不能，解方程$4n+1=2024$得$n=505.75$，$n$不是正整数，故无法划分出2024个正方形。
【知识点】
图形规律探究，列代数式，一元一次方程应用
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题的关键是通过对比前几次划分的结果，总结出每次划分新增4个正方形的变化规律，再利用代数式和方程求解，需要注意实际问题中次数必须为正整数的隐含条件。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是先观察每次划分后正方形的数量变化，寻找规律。首先整理已知条件：第1次划分后有5个正方形，第2次划分后有9个正方形，可发现每多划分1次，正方形的数量就增加4个，由此可推导第n次划分后的数量表达式，再分别代入求解三个问题即可，第三个问题需要注意划分次数n必须是正整数。
【解析】
解：首先观察划分次数和正方形数量的对应关系：
第1次划分后，正方形数量：$5 = 4×1 + 1$；
第2次划分后，正方形数量：$9 = 4×2 + 1$；
第3次划分后，正方形数量：$13 = 4×3 + 1$；
……
由此可得规律：第$n$次划分后，正方形的总数量为$(4n+1)$个。
(1) 当$n=100$时，代入表达式得：$4×100 + 1 = 401$（个）；
(2) 由上述规律，第$n$次划分后共有$(4n+1)$个正方形；
(3) 假设能划分出2024个正方形，令$4n + 1 = 2024$，
解方程得：$4n = 2023$，$n = 505.75$。
因为划分次数$n$必须是正整数，$505.75$不是整数，不符合要求，所以不能划分成有2024个正方形的图形。
【答案】
(1) $\boxed{401}$
(2) $\boxed{4n+1}$
(3) 不能，解方程$4n+1=2024$得$n=505.75$，$n$不是正整数，故无法划分出2024个正方形。
【知识点】
图形规律探究，列代数式，一元一次方程应用
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题的关键是通过对比前几次划分的结果，总结出每次划分新增4个正方形的变化规律，再利用代数式和方程求解，需要注意实际问题中次数必须为正整数的隐含条件。
【难度系数】
0.7
