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1. 在下面的月历中,任意圈出一竖列上相邻的三个数,这三个数之和不可能为 （）
A.75
B.60
C.36
D.27
（第1题） （第2题）
A.75
B.60
C.36
D.27
（第1题） （第2题）
答案
A
解析
设圈出的一竖列上相邻三个数的中间数为x，则上方相邻的数为x-7，下方相邻的数为x+7，三个数之和为(x-7)+x+(x+7)=3x，可知三个数的和一定是3的倍数。
结合月历最大日期为31，可得x+7≤31，即x≤24，因此三数之和3x≤72；同时最小的日期为1，可得x-7≥1，即x≥8，三数之和3x≥24。
逐一验证选项：
1. 若和为75：3x=75，得x=25，x+7=32＞31，不存在该日期，不可能；
2. 若和为60：3x=60，得x=20，三个数为13、20、27，均为有效日期，符合要求；
3. 若和为36：3x=36，得x=12，三个数为5、12、19，均为有效日期，符合要求；
4. 若和为27：3x=27，得x=9，三个数为2、9、16，均为有效日期，符合要求。
因此这三个数之和不可能为75。
结合月历最大日期为31，可得x+7≤31，即x≤24，因此三数之和3x≤72；同时最小的日期为1，可得x-7≥1，即x≥8，三数之和3x≥24。
逐一验证选项：
1. 若和为75：3x=75，得x=25，x+7=32＞31，不存在该日期，不可能；
2. 若和为60：3x=60，得x=20，三个数为13、20、27，均为有效日期，符合要求；
3. 若和为36：3x=36，得x=12，三个数为5、12、19，均为有效日期，符合要求；
4. 若和为27：3x=27，得x=9，三个数为2、9、16，均为有效日期，符合要求。
因此这三个数之和不可能为75。
2. 某街道分布示意图如图所示，一个居民从A处前往B处，若规定只能走从左到右或从上到下的方向，这样该居民共有可选择的不同路线条数是（）
A.6
B.7
C.8
D.9
A.6
B.7
C.8
D.9
答案
A
解析
用枚举法列出所有符合“只能从左到右或从上到下”要求的路线：
1. A出发连续向右走2段，向下走1段，再连续向右走2段到B；
2. A出发连续向右走2段，向下走2段，再向右走1段到B；
3. A出发向右走1段，向下走1段，连续向右走3段到B；
4. A出发向右走1段，向下走1段，向右走2段，向下走1段，向右走1段到B；
5. A出发向右走1段，向下走2段，连续向右走3段到B；
6. A出发向下走1段，连续向右走4段到B。
总计共有6条不同路线。
1. A出发连续向右走2段，向下走1段，再连续向右走2段到B；
2. A出发连续向右走2段，向下走2段，再向右走1段到B；
3. A出发向右走1段，向下走1段，连续向右走3段到B；
4. A出发向右走1段，向下走1段，向右走2段，向下走1段，向右走1段到B；
5. A出发向右走1段，向下走2段，连续向右走3段到B；
6. A出发向下走1段，连续向右走4段到B。
总计共有6条不同路线。
3. 由3，7，0，6四个数字可以组成个不同的四位数，其中最大的四位数是。
答案
$\boldsymbol{18}$；$\boldsymbol{7630}$
解析
解：
千位数字不能为0，按千位的取值分类枚举：
1. 千位为3时，可组成的四位数有：3067、3076、3607、3670、3706、3760，共6个；
2. 千位为6时，可组成的四位数有：6037、6073、6307、6370、6703、6730，共6个；
3. 千位为7时，可组成的四位数有：7036、7063、7306、7360、7603、7630，共6个。
不同的四位数总个数为 $6+6+6=18$，其中最大的四位数是7630。
千位数字不能为0，按千位的取值分类枚举：
1. 千位为3时，可组成的四位数有：3067、3076、3607、3670、3706、3760，共6个；
2. 千位为6时，可组成的四位数有：6037、6073、6307、6370、6703、6730，共6个；
3. 千位为7时，可组成的四位数有：7036、7063、7306、7360、7603、7630，共6个。
不同的四位数总个数为 $6+6+6=18$，其中最大的四位数是7630。
4. 如图所示为一个无盖长方体盒子的展开图(重叠部分不计),根据图中数据,该无盖长方体盒子的容积是 cm³. 单位：cm 3 1
答案
$\boldsymbol{6}$
解析
解：由展开图数据可得：
该无盖长方体盒子的高为1 cm，
宽为 $ 3 - 1 = 2 \, \mathrm{cm} $，
长为 $ 5 - 2 = 3 \, \mathrm{cm} $，
因此盒子的容积为 $ 3 × 2 × 1 = 6 \, \mathrm{cm}^3 $。
该无盖长方体盒子的高为1 cm，
宽为 $ 3 - 1 = 2 \, \mathrm{cm} $，
长为 $ 5 - 2 = 3 \, \mathrm{cm} $，
因此盒子的容积为 $ 3 × 2 × 1 = 6 \, \mathrm{cm}^3 $。
5. 某商店甲、乙两种商品的进货价不同，根据市场行情，商店调整了售价，调整后的售价均为240元/件.按此计算，甲商品每件赢利20%，乙商品每件亏损20%，调整后该商店卖出甲、乙两种商品各10件，该商店是赚钱还是赔钱？赚了（或赔了）多少？
答案
解：
甲商品每件的进货价为：
240÷(1+20%)=200（元）
乙商品每件的进货价为：
240÷(1-20%)=300（元）
卖出甲、乙两种商品各10件的总进货成本为：
10×200 + 10×300 = 5000（元）
卖出甲、乙两种商品各10件的总售价为：
10×240 + 10×240 = 4800（元）
5000 ＞ 4800，总差额为5000 - 4800 = 200（元）
答：该商店是赔钱，赔了200元。
甲商品每件的进货价为：
240÷(1+20%)=200（元）
乙商品每件的进货价为：
240÷(1-20%)=300（元）
卖出甲、乙两种商品各10件的总进货成本为：
10×200 + 10×300 = 5000（元）
卖出甲、乙两种商品各10件的总售价为：
10×240 + 10×240 = 4800（元）
5000 ＞ 4800，总差额为5000 - 4800 = 200（元）
答：该商店是赔钱，赔了200元。
6. 定义新运算“△”，规定$a△b=4×a+3×b+1$。
（1）5△7和7△5的值相等吗？
（2）对于两个自然数a和b，若$a△b=b△a$，则a和b有什么关系？
（3）运算“△”满足交换律吗？
（1）5△7和7△5的值相等吗？
（2）对于两个自然数a和b，若$a△b=b△a$，则a和b有什么关系？
（3）运算“△”满足交换律吗？
答案
解：
（1）计算得：
$5△7=4×5+3×7+1=20+21+1=42$
$7△5=4×7+3×5+1=28+15+1=44$
因为$42≠44$，所以$5△7$和$7△5$的值不相等。
（2）将$a△ b=4a+3b+1$，$b△ a=4b+3a+1$代入$a△ b=b△ a$，得：
$4a+3b+1=4b+3a+1$
等式两边同时减去$3a+3b+1$，可得：
$a=b$
即若$a△ b=b△ a$，则自然数$a$和$b$相等。
（3）由（1）可知，当两个数不相等时，它们的新运算结果也不相等，因此运算“$△$”不满足交换律。
（1）计算得：
$5△7=4×5+3×7+1=20+21+1=42$
$7△5=4×7+3×5+1=28+15+1=44$
因为$42≠44$，所以$5△7$和$7△5$的值不相等。
（2）将$a△ b=4a+3b+1$，$b△ a=4b+3a+1$代入$a△ b=b△ a$，得：
$4a+3b+1=4b+3a+1$
等式两边同时减去$3a+3b+1$，可得：
$a=b$
即若$a△ b=b△ a$，则自然数$a$和$b$相等。
（3）由（1）可知，当两个数不相等时，它们的新运算结果也不相等，因此运算“$△$”不满足交换律。
