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1. 如图是一组悬挂在天花板上的吊灯，清洗时每次取下1个吊灯，且取吊灯A前必须先取下吊灯B，直到3个吊灯都被取下为止，则第2个取下的吊灯是A的概率是（
A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{2}$
C
）A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{2}$
答案
1 C 根据取吊灯的顺序,可知共有 BAC,BCA,CBA 三种等可能的结果,所以第2个取下的吊灯是A的概率是$\frac{1}{3}$.
解析
【分析】
本题是带约束条件的古典概型概率计算问题，解题思路如下：首先明确题目的约束条件：取吊灯A前必须先取下吊灯B，即所有合法的取灯顺序中B的位置一定在A前面。接下来用列举法列出所有满足约束的取灯顺序，再从中找出“第2个取下的是A”的情况数，最后根据古典概型的概率公式：概率=符合条件的情况数÷总合法情况数，即可算出结果。
【解析】
首先根据“取A前必须先取B”的约束，列举所有等可能的取灯顺序：
1. 第一个取B，第二个取A，第三个取C，顺序为BAC；
2. 第一个取B，第二个取C，第三个取A，顺序为BCA；
3. 第一个取C，第二个取B，第三个取A，顺序为CBA。
综上，共有3种等可能的合法结果。
其中第2个取下的吊灯是A的情况只有BAC这1种，
根据概率公式可得，所求概率$P=\frac{1}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
列举法求概率；古典概型计算
【点评】
本题解题的核心是先根据题目约束筛选出所有合法的基本事件，避免计入不符合要求的情况，再结合概率公式计算即可，属于基础的概率应用题型。
【难度系数】
0.7
本题是带约束条件的古典概型概率计算问题，解题思路如下：首先明确题目的约束条件：取吊灯A前必须先取下吊灯B，即所有合法的取灯顺序中B的位置一定在A前面。接下来用列举法列出所有满足约束的取灯顺序，再从中找出“第2个取下的是A”的情况数，最后根据古典概型的概率公式：概率=符合条件的情况数÷总合法情况数，即可算出结果。
【解析】
首先根据“取A前必须先取B”的约束，列举所有等可能的取灯顺序：
1. 第一个取B，第二个取A，第三个取C，顺序为BAC；
2. 第一个取B，第二个取C，第三个取A，顺序为BCA；
3. 第一个取C，第二个取B，第三个取A，顺序为CBA。
综上，共有3种等可能的合法结果。
其中第2个取下的吊灯是A的情况只有BAC这1种，
根据概率公式可得，所求概率$P=\frac{1}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
列举法求概率；古典概型计算
【点评】
本题解题的核心是先根据题目约束筛选出所有合法的基本事件，避免计入不符合要求的情况，再结合概率公式计算即可，属于基础的概率应用题型。
【难度系数】
0.7
2. 如图,若在平行四边形纸片上进行随机扎针试验,则针头扎在阴影区域内的概率为
$\boldsymbol{\frac{1}{4}}$
.答案
2 $\frac{1}{4}$ 如图,在平行四边形中,由“①三角形 A 和三角形 B全等;②平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的三角形”(二级结论),可得 $P$(针头扎在阴影区域) = $\frac{\frac{1}{4}S_{\mathrm{平行四边形}}}{S_{\mathrm{平行四边形}}}=\frac{1}{4}$.
解析
【分析】
本题是几何概率求解问题，解题思路如下：首先明确几何概率的计算方法为阴影区域面积与总区域面积的比值，因此核心是推导阴影面积占平行四边形总面积的比例。其次回忆平行四边形的性质：平行四边形是中心对称图形，对角线交点为对称中心，且两条对角线可将平行四边形分为4个面积相等的三角形，每个三角形面积为总面积的$\frac{1}{4}$。最后观察阴影部分分布，利用中心对称的性质，可将分散的两个阴影部分拼接为1个完整的、面积为总面积$\frac{1}{4}$的小三角形，即可求出面积占比，得到概率。
【解析】
解：
1. 由平行四边形的性质可知，平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为其对称中心，因此图中三角形A与三角形B全等，即$S_A=S_B$。
2. 平行四边形的两条对角线将平行四边形分成4个面积相等的三角形，每个三角形的面积为平行四边形总面积的$\frac{1}{4}$，即单个小三角形面积$=\frac{1}{4}S_{\mathrm{平行四边形}}$。
3. 结合$S_A=S_B$，可将两个阴影部分拼接为1个上述的小三角形，因此阴影总面积$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{1}{4}S_{\mathrm{平行四边形}}$。
4. 根据几何概率计算公式：
$P(\mathrm{针头扎在阴影区域})=\frac{S_{\mathrm{阴影}}}{S_{\mathrm{平行四边形}}}=\frac{\frac{1}{4}S_{\mathrm{平行四边形}}}{S_{\mathrm{平行四边形}}}=\frac{1}{4}$
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
1. 几何概率计算
2. 平行四边形的性质
3. 中心对称的性质
【点评】
本题将图形性质与概率计算相结合，解题的突破口是利用平行四边形的中心对称特征将零散的阴影面积转化为规则的已知占比的图形，避免了分别计算两块阴影面积的麻烦，有助于考查学生对图形性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
本题是几何概率求解问题，解题思路如下：首先明确几何概率的计算方法为阴影区域面积与总区域面积的比值，因此核心是推导阴影面积占平行四边形总面积的比例。其次回忆平行四边形的性质：平行四边形是中心对称图形，对角线交点为对称中心，且两条对角线可将平行四边形分为4个面积相等的三角形，每个三角形面积为总面积的$\frac{1}{4}$。最后观察阴影部分分布，利用中心对称的性质，可将分散的两个阴影部分拼接为1个完整的、面积为总面积$\frac{1}{4}$的小三角形，即可求出面积占比，得到概率。
【解析】
解：
1. 由平行四边形的性质可知，平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为其对称中心，因此图中三角形A与三角形B全等，即$S_A=S_B$。
2. 平行四边形的两条对角线将平行四边形分成4个面积相等的三角形，每个三角形的面积为平行四边形总面积的$\frac{1}{4}$，即单个小三角形面积$=\frac{1}{4}S_{\mathrm{平行四边形}}$。
3. 结合$S_A=S_B$，可将两个阴影部分拼接为1个上述的小三角形，因此阴影总面积$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{1}{4}S_{\mathrm{平行四边形}}$。
4. 根据几何概率计算公式：
$P(\mathrm{针头扎在阴影区域})=\frac{S_{\mathrm{阴影}}}{S_{\mathrm{平行四边形}}}=\frac{\frac{1}{4}S_{\mathrm{平行四边形}}}{S_{\mathrm{平行四边形}}}=\frac{1}{4}$
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
1. 几何概率计算
2. 平行四边形的性质
3. 中心对称的性质
【点评】
本题将图形性质与概率计算相结合，解题的突破口是利用平行四边形的中心对称特征将零散的阴影面积转化为规则的已知占比的图形，避免了分别计算两块阴影面积的麻烦，有助于考查学生对图形性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
3. [2025吉林中考]在“健康中国2030”与“体重管理年”的行动引领下，某校田径社团开展了“2025健康长跑”活动.由于参加的人数较多，场地空间有限，活动需分A,B,C三组进行，每人只能被随机分配到其中一组，分组工作由计算机软件完成.请用画树状图或列表的方法，求参与者小顺和小利被分配到同一组的概率.
答案
3 解:根据题意,画树状图如下:
由树状图可知,共有9种等可能的结果,
其中小顺和小利被分配到同一组的结果有3种,
所以 $P$(小顺和小利被分配到同一组) = $\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$.
或列表如下:
| 小顺
小利 | A | B | C |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | $(A,A)$ | $(B,A)$ | $(C,A)$ |
| B | $(A,B)$ | $(B,B)$ | $(C,B)$ |
| C | $(A,C)$ | $(B,C)$ | $(C,C)$ |
由表格可知,共有9种等可能的结果,
其中小顺和小利被分配到同一组的结果有3种,
所以 $P$(小顺和小利被分配到同一组) = $\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$.
解析
【分析】
本题是求两步等可能事件的概率，首先明确小顺、小利各自被分配到A、B、C三组都是等可能的，且两人的分组结果互不影响。我们可以通过画树状图或者列表的方式，不重不漏地列举出所有等可能的分配结果，再从中筛选出两人分到同一组的结果，最后利用概率公式计算所求概率即可。
【解析】
方法1：画树状图
根据题意绘制树状图：
由树状图可得，所有等可能的分配结果共9种，其中小顺和小利被分配到同一组的结果有(A,A)、(B,B)、(C,C)，共3种。
根据概率公式：$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能结果数}}$，代入得：
$P(\mathrm{小顺和小利同组})=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
方法2：列表法
根据题意列表如下：
| 小顺
小利 | A | B | C |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | $(A,A)$ | $(B,A)$ | $(C,A)$ |
| B | $(A,B)$ | $(B,B)$ | $(C,B)$ |
| C | $(A,C)$ | $(B,C)$ | $(C,C)$ |
由表格可得，所有等可能的分配结果共9种，其中小顺和小利被分配到同一组的结果有3种，代入概率公式得：
$P(\mathrm{小顺和小利同组})=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
（两种方法任选其一即可）
【答案】
根据题意,画树状图如下:
由树状图可知,共有9种等可能的结果,
其中小顺和小利被分配到同一组的结果有3种,
所以 $P$(小顺和小利被分配到同一组) = $\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$.
或列表如下:
| 小顺
小利 | A | B | C |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | $(A,A)$ | $(B,A)$ | $(C,A)$ |
| B | $(A,B)$ | $(B,B)$ | $(C,B)$ |
| C | $(A,C)$ | $(B,C)$ | $(C,C)$ |
由表格可知,共有9种等可能的结果,
其中小顺和小利被分配到同一组的结果有3种,
所以 $P$(小顺和小利被分配到同一组) = $\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$.
【知识点】
1. 树状图/列表法求概率
2. 概率公式
【点评】
本题属于概率基础常考题，考查两步等可能事件的概率计算，解题核心是准确列举所有等可能结果，避免出现重复或遗漏的情况。
【难度系数】
0.8
本题是求两步等可能事件的概率，首先明确小顺、小利各自被分配到A、B、C三组都是等可能的，且两人的分组结果互不影响。我们可以通过画树状图或者列表的方式，不重不漏地列举出所有等可能的分配结果，再从中筛选出两人分到同一组的结果，最后利用概率公式计算所求概率即可。
【解析】
方法1：画树状图
根据题意绘制树状图：
由树状图可得，所有等可能的分配结果共9种，其中小顺和小利被分配到同一组的结果有(A,A)、(B,B)、(C,C)，共3种。
根据概率公式：$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能结果数}}$，代入得：
$P(\mathrm{小顺和小利同组})=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
方法2：列表法
根据题意列表如下：
| 小顺
小利 | A | B | C |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | $(A,A)$ | $(B,A)$ | $(C,A)$ |
| B | $(A,B)$ | $(B,B)$ | $(C,B)$ |
| C | $(A,C)$ | $(B,C)$ | $(C,C)$ |
由表格可得，所有等可能的分配结果共9种，其中小顺和小利被分配到同一组的结果有3种，代入概率公式得：
$P(\mathrm{小顺和小利同组})=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
（两种方法任选其一即可）
【答案】
根据题意,画树状图如下:
由树状图可知,共有9种等可能的结果,
其中小顺和小利被分配到同一组的结果有3种,
所以 $P$(小顺和小利被分配到同一组) = $\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$.
或列表如下:
| 小顺
小利 | A | B | C |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | $(A,A)$ | $(B,A)$ | $(C,A)$ |
| B | $(A,B)$ | $(B,B)$ | $(C,B)$ |
| C | $(A,C)$ | $(B,C)$ | $(C,C)$ |
由表格可知,共有9种等可能的结果,
其中小顺和小利被分配到同一组的结果有3种,
所以 $P$(小顺和小利被分配到同一组) = $\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$.
【知识点】
1. 树状图/列表法求概率
2. 概率公式
【点评】
本题属于概率基础常考题，考查两步等可能事件的概率计算，解题核心是准确列举所有等可能结果，避免出现重复或遗漏的情况。
【难度系数】
0.8
4. 教材问题变式 [2025兰州城关区弘毅绿地实验学校月考]
某学习小组做抛掷一枚瓶盖的试验，整理的试验数据如表：
下面有三个推断:①通过上述试验的结果,可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的;②第2 000次试验的结果一定是“盖面朝上”;③随着试验次数的增大,“盖面朝上”的概率接近0.53.其中正确的是
某学习小组做抛掷一枚瓶盖的试验，整理的试验数据如表：
下面有三个推断:①通过上述试验的结果,可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的;②第2 000次试验的结果一定是“盖面朝上”;③随着试验次数的增大,“盖面朝上”的概率接近0.53.其中正确的是
①③
.(填序号)答案
4 ①③
解析
【分析】
解题时需结合频率与概率的相关知识，对三个推断逐一判断：首先明确，大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在其概率附近，若瓶盖质地均匀，盖面朝上的概率应接近0.5；其次明确单次随机试验的结果无法预先确定。按照这个思路分别判断三个推断的正误即可。
【解析】
我们对三个推断逐个分析：
1. 推断①：若瓶盖质地均匀，理论上“盖面朝上”的概率应为0.5，观察表格数据可知，随着抛掷次数增加，“盖面朝上”的频率稳定在0.53左右，明显偏离0.5，因此可以推断这枚瓶盖有很大可能性不是质地均匀的，①正确；
2. 推断②：抛掷瓶盖属于随机试验，单次试验的结果具有不确定性，第2000次试验的结果可能是盖面朝上，也可能是盖面朝下，“一定是盖面朝上”的表述错误，②错误；
3. 推断③：根据用频率估计概率的原理，随着试验次数的增大，事件发生的频率会逐渐趋近于其概率，本题中试验次数增大时，“盖面朝上”的频率稳定在0.53附近，因此“盖面朝上”的概率接近0.53，③正确。
综上，正确的是①③。
【答案】
①③
【知识点】
频率估计概率、随机事件的特点、概率的意义
【点评】
本题是概率章节的基础题型，核心考查对频率与概率关系的理解，解题的关键是明确大量重复试验下频率的稳定值即为概率，同时清楚单次随机试验的结果具有不确定性。
【难度系数】
0.7
解题时需结合频率与概率的相关知识，对三个推断逐一判断：首先明确，大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在其概率附近，若瓶盖质地均匀，盖面朝上的概率应接近0.5；其次明确单次随机试验的结果无法预先确定。按照这个思路分别判断三个推断的正误即可。
【解析】
我们对三个推断逐个分析：
1. 推断①：若瓶盖质地均匀，理论上“盖面朝上”的概率应为0.5，观察表格数据可知，随着抛掷次数增加，“盖面朝上”的频率稳定在0.53左右，明显偏离0.5，因此可以推断这枚瓶盖有很大可能性不是质地均匀的，①正确；
2. 推断②：抛掷瓶盖属于随机试验，单次试验的结果具有不确定性，第2000次试验的结果可能是盖面朝上，也可能是盖面朝下，“一定是盖面朝上”的表述错误，②错误；
3. 推断③：根据用频率估计概率的原理，随着试验次数的增大，事件发生的频率会逐渐趋近于其概率，本题中试验次数增大时，“盖面朝上”的频率稳定在0.53附近，因此“盖面朝上”的概率接近0.53，③正确。
综上，正确的是①③。
【答案】
①③
【知识点】
频率估计概率、随机事件的特点、概率的意义
【点评】
本题是概率章节的基础题型，核心考查对频率与概率关系的理解，解题的关键是明确大量重复试验下频率的稳定值即为概率，同时清楚单次随机试验的结果具有不确定性。
【难度系数】
0.7
5. [2025厦门模拟]一个盒子中装有除颜色外其他都相同的20个白球和若干个红球，小明通过大量重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.5附近，则盒子中约有
20
个红球.答案
5 20 根据题意,得摸到红球的概率为0.5.设盒子中有 $x$ 个红球,则 $x=0.5(x+20)$,解得 $x=20$(方程思想),所以盒子中约有 20 个红球.
解析
【分析】
当进行大量重复试验时，某事件发生的频率会稳定在该事件对应的概率附近，因此本题中摸到红球的概率约为0.5。我们可以设红球的个数为未知数，结合“概率=所求情况数÷总情况数”的计算公式列方程求解即可。
【解析】
∵大量重复试验中，摸到红球的频率稳定在0.5附近，
∴估计摸到红球的概率为0.5。
设盒子中有$ x $个红球，则盒子中球的总个数为$ x+20 $。
根据概率公式列方程得：
$\frac{x}{x+20}=0.5$
解方程：
$x=0.5(x+20)$
$x=0.5x+10$
$0.5x=10$
$x=20$
【答案】
20
【知识点】
频率估计概率；概率计算公式；一元一次方程的应用
【点评】
本题是频率与概率相关的基础应用题，解题核心是明确大量重复试验下的频率稳定值即为对应事件的概率，再结合概率公式建立方程求解即可。
【难度系数】
0.8
当进行大量重复试验时，某事件发生的频率会稳定在该事件对应的概率附近，因此本题中摸到红球的概率约为0.5。我们可以设红球的个数为未知数，结合“概率=所求情况数÷总情况数”的计算公式列方程求解即可。
【解析】
∵大量重复试验中，摸到红球的频率稳定在0.5附近，
∴估计摸到红球的概率为0.5。
设盒子中有$ x $个红球，则盒子中球的总个数为$ x+20 $。
根据概率公式列方程得：
$\frac{x}{x+20}=0.5$
解方程：
$x=0.5(x+20)$
$x=0.5x+10$
$0.5x=10$
$x=20$
【答案】
20
【知识点】
频率估计概率；概率计算公式；一元一次方程的应用
【点评】
本题是频率与概率相关的基础应用题，解题核心是明确大量重复试验下的频率稳定值即为对应事件的概率，再结合概率公式建立方程求解即可。
【难度系数】
0.8
6.某玩具公司承接了一种吉祥物公仔的生产任务,现对一批公仔进行抽检,其结果统计如下.
(1)a=
(2)从这批公仔中任意抽取1只公仔是优等品的概率的估计值是
(3)若该公司这一批次生产了10 000只公仔,则这批公仔中优等品大约有多少只？
(1)a=
0.951
, b=0.95
;(2)从这批公仔中任意抽取1只公仔是优等品的概率的估计值是
0.95
;(精确到0.01)(3)若该公司这一批次生产了10 000只公仔,则这批公仔中优等品大约有多少只？
答案
6 解:(1)0.951 0.95
(2)0.95
(3)$10\ 000 × 0.95 =9\ 500$(只).
答:这批公仔中优等品大约有9 500只.
(2)0.95
(3)$10\ 000 × 0.95 =9\ 500$(只).
答:这批公仔中优等品大约有9 500只.
解析
【分析】
首先明确各小问的解题思路：
(1) 频率的计算公式为“频率=频数÷抽取总数”，直接代入表格中对应的数据计算a和b即可；
(2) 大量重复试验时，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就是该事件概率的估计值，观察表格中频率的变化趋势，找到稳定的数值，按要求精确到0.01即可；
(3) 用总生产公仔的数量乘以优等品的概率估计值，就能估算出这批公仔中优等品的总数量。
【解析】
(1) 根据频率公式$\frac{m}{n}$计算：
$a = 951÷1000 = 0.951$，
$b = 4750÷5000 = 0.95$；
(2) 观察表格中的频率数据：0.9、0.96、0.951、0.95、0.952、0.95，随着抽取公仔的数量增多，频率逐渐稳定在0.95附近，因此从这批公仔中任意抽取1只公仔是优等品的概率估计值为0.95（精确到0.01）；
(3) 优等品总数量=生产总数量×优等品的概率估计值，代入数据得：
$10000×0.95 = 9500$（只）。
【答案】
(1) 0.951，0.95；
(2) 0.95；
(3) 这批公仔中优等品大约有9500只。
【知识点】
频率计算，频率估计概率，概率实际应用
【点评】
本题是频率与概率相关的基础题型，核心是理解大量重复试验下频率与概率的关系，计算难度较低，掌握频率公式和频率估计概率的原理即可顺利解答。
【难度系数】
0.85
首先明确各小问的解题思路：
(1) 频率的计算公式为“频率=频数÷抽取总数”，直接代入表格中对应的数据计算a和b即可；
(2) 大量重复试验时，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就是该事件概率的估计值，观察表格中频率的变化趋势，找到稳定的数值，按要求精确到0.01即可；
(3) 用总生产公仔的数量乘以优等品的概率估计值，就能估算出这批公仔中优等品的总数量。
【解析】
(1) 根据频率公式$\frac{m}{n}$计算：
$a = 951÷1000 = 0.951$，
$b = 4750÷5000 = 0.95$；
(2) 观察表格中的频率数据：0.9、0.96、0.951、0.95、0.952、0.95，随着抽取公仔的数量增多，频率逐渐稳定在0.95附近，因此从这批公仔中任意抽取1只公仔是优等品的概率估计值为0.95（精确到0.01）；
(3) 优等品总数量=生产总数量×优等品的概率估计值，代入数据得：
$10000×0.95 = 9500$（只）。
【答案】
(1) 0.951，0.95；
(2) 0.95；
(3) 这批公仔中优等品大约有9500只。
【知识点】
频率计算，频率估计概率，概率实际应用
【点评】
本题是频率与概率相关的基础题型，核心是理解大量重复试验下频率与概率的关系，计算难度较低，掌握频率公式和频率估计概率的原理即可顺利解答。
【难度系数】
0.85
