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9.在解二元一次方程组$\begin{cases}6x+\oplus y=9,①\\2x+\otimes y=-6\ \ ②\end{cases}$时，若①－②可直接消去未知数$y$，则$\oplus$和$\otimes$的关系为（ ）
A.互为倒数
B.大小相等
C.都等于0
D.互为相反数
A.互为倒数
B.大小相等
C.都等于0
D.互为相反数
答案
B
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确加减消元法消去某个未知数的核心条件：两个方程中该未知数的系数经过加减运算后结果为0。本题要求用①-②直接消去y，因此只需计算①-②后y项的系数，令其等于0，就能推出⊕和⊗的关系。
【解析】
已知①－②可直接消去未知数y，说明两式相减后y的系数为0。
两式中y的系数分别为⊕（来自方程①）和⊗（来自方程②），①-②时y项的系数为$\oplus - \otimes$。
令该系数为0，可得：$\oplus - \otimes = 0$，即$\oplus = \otimes$，也就是二者大小相等，符合B选项的描述。
【答案】
B
【知识点】
1. 加减消元法 2. 二元一次方程组的解法
【点评】
本题考查加减消元法的基本应用，解题关键是理解消去某个未知数时，该未知数的对应系数需满足的运算条件，属于对基础概念的考查。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先要明确加减消元法消去某个未知数的核心条件：两个方程中该未知数的系数经过加减运算后结果为0。本题要求用①-②直接消去y，因此只需计算①-②后y项的系数，令其等于0，就能推出⊕和⊗的关系。
【解析】
已知①－②可直接消去未知数y，说明两式相减后y的系数为0。
两式中y的系数分别为⊕（来自方程①）和⊗（来自方程②），①-②时y项的系数为$\oplus - \otimes$。
令该系数为0，可得：$\oplus - \otimes = 0$，即$\oplus = \otimes$，也就是二者大小相等，符合B选项的描述。
【答案】
B
【知识点】
1. 加减消元法 2. 二元一次方程组的解法
【点评】
本题考查加减消元法的基本应用，解题关键是理解消去某个未知数时，该未知数的对应系数需满足的运算条件，属于对基础概念的考查。
【难度系数】
0.9
10.已知$|3a + b + 5| + |2a - 2b - 2| = 0$，则$2a^2 - 3ab$的值是
-4
。答案
-4
解析
【分析】
根据绝对值的非负性，两个非负数相加和为0时，每个非负数都等于0，据此可列出关于a、b的二元一次方程组，再用加减消元法求解得到a、b的值，最后代入代数式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵任意数的绝对值都是非负数，即$\left|3a + b + 5\right|≥0$，$\left|2a - 2b - 2\right|≥0$，且二者之和为0
∴可列方程组：
$\begin{cases}3a + b + 5 = 0&①\\2a - 2b - 2 = 0&②\end{cases}$
化简方程②：两边同时除以2得$a - b = 1$ ③
用①+③消去b：$3a + b + a - b = -5 + 1$
合并同类项得$4a = -4$，解得$a = -1$
将$a = -1$代入③得：$-1 - b = 1$，解得$b = -2$
把$a=-1$，$b=-2$代入$2a^2 - 3ab$：
$\begin{aligned}原式&=2×(-1)^2 - 3×(-1)×(-2)\\&=2×1 - 6\\&=2-6\\&=-4\end{aligned}$
【答案】
$-4$
【知识点】
绝对值的非负性；加减消元法解二元一次方程组；代数式求值
【点评】
本题属于基础综合题，解题关键是掌握非负数的性质，正确构建并求解二元一次方程组，计算时需注意符号规则，避免出现运算错误。
【难度系数】
0.7
根据绝对值的非负性，两个非负数相加和为0时，每个非负数都等于0，据此可列出关于a、b的二元一次方程组，再用加减消元法求解得到a、b的值，最后代入代数式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵任意数的绝对值都是非负数，即$\left|3a + b + 5\right|≥0$，$\left|2a - 2b - 2\right|≥0$，且二者之和为0
∴可列方程组：
$\begin{cases}3a + b + 5 = 0&①\\2a - 2b - 2 = 0&②\end{cases}$
化简方程②：两边同时除以2得$a - b = 1$ ③
用①+③消去b：$3a + b + a - b = -5 + 1$
合并同类项得$4a = -4$，解得$a = -1$
将$a = -1$代入③得：$-1 - b = 1$，解得$b = -2$
把$a=-1$，$b=-2$代入$2a^2 - 3ab$：
$\begin{aligned}原式&=2×(-1)^2 - 3×(-1)×(-2)\\&=2×1 - 6\\&=2-6\\&=-4\end{aligned}$
【答案】
$-4$
【知识点】
绝对值的非负性；加减消元法解二元一次方程组；代数式求值
【点评】
本题属于基础综合题，解题关键是掌握非负数的性质，正确构建并求解二元一次方程组，计算时需注意符号规则，避免出现运算错误。
【难度系数】
0.7
11.解下列方程组：
(1)(宣城期末)$\begin{cases}7x - 4y = 22, &① \\5x + 2y = 6; &②\end{cases}$
(2)
(1)(宣城期末)$\begin{cases}7x - 4y = 22, &① \\5x + 2y = 6; &②\end{cases}$
(2)
答案
(1)②×2,得10x+4y=12. ③ ③+①,得17x=34. x=2. 把x=2代入①,得14−4y=22. y=−2. 所以$\begin{cases} x=2,\\ y=-2; \end{cases}$
(2)把原方程组化简,得$\begin{cases}4x-3y=2,③\\3x-4y=-2.④\end{cases}$ ③×3,得12x−9y=6. ⑤ ④×4,得12x−16y=−8. ⑥ ⑤−⑥,得7y=14. y=2. 把y=2代入③,得4x−6=2. x=2. 所以$\begin{cases} x=2,\\ y=2. \end{cases}$
(2)把原方程组化简,得$\begin{cases}4x-3y=2,③\\3x-4y=-2.④\end{cases}$ ③×3,得12x−9y=6. ⑤ ④×4,得12x−16y=−8. ⑥ ⑤−⑥,得7y=14. y=2. 把y=2代入③,得4x−6=2. x=2. 所以$\begin{cases} x=2,\\ y=2. \end{cases}$
解析
【分析】
这两道题都是二元一次方程组的求解，优先使用加减消元法：
(1)观察方程组系数，方程②中y的系数是2，和方程①中y的系数-4是倍数关系，只需将方程②乘2，即可让两个方程y的系数互为相反数，相加消去y，先求出x的值，再代入求y的值即可。
(2)原方程组含分数系数，第一步先去分母将方程组化为整数系数的标准二元一次方程组，再观察x的系数分别为4和3，最小公倍数是12，将两个方程分别乘3和4，使x的系数相等，相减消去x，先求出y的值，再代入求x的值即可。
【解析】
(1) $\begin{cases}7x - 4y = 22, &① \\5x + 2y = 6; &②\end{cases}$
将②×2，得$10x+4y=12$ ③
③+①，得$17x=34$，解得$x=2$
把$x=2$代入①，得$14-4y=22$，解得$y=-2$
(2) $\begin{cases}\dfrac{x+1}{3}=\dfrac{y+2}{4}, &① \\\dfrac{x-3}{4}-\dfrac{y-3}{3}=\dfrac{1}{12}. &②\end{cases}$
先化简原方程组：
①两边同乘12去分母，得$4(x+1)=3(y+2)$，展开整理得$4x-3y=2$ ③
②两边同乘12去分母，得$3(x-3)-4(y-3)=1$，展开整理得$3x-4y=-2$ ④
③×3，得$12x-9y=6$ ⑤
④×4，得$12x-16y=-8$ ⑥
⑤-⑥，得$7y=14$，解得$y=2$
把$y=2$代入③，得$4x-6=2$，解得$x=2$
【答案】
(1)$\begin{cases} x=2 \\ y=-2 \end{cases}$
(2)$\begin{cases} x=2 \\ y=2 \end{cases}$
【知识点】
加减消元法，去分母运算，二元一次方程组的解
【点评】
这是解二元一次方程组的常规基础题，考查学生对消元法的掌握和含分母方程的化简能力，解题时注意去分母不要漏乘常数项，移项、计算时注意符号，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.7
这两道题都是二元一次方程组的求解，优先使用加减消元法：
(1)观察方程组系数，方程②中y的系数是2，和方程①中y的系数-4是倍数关系，只需将方程②乘2，即可让两个方程y的系数互为相反数，相加消去y，先求出x的值，再代入求y的值即可。
(2)原方程组含分数系数，第一步先去分母将方程组化为整数系数的标准二元一次方程组，再观察x的系数分别为4和3，最小公倍数是12，将两个方程分别乘3和4，使x的系数相等，相减消去x，先求出y的值，再代入求x的值即可。
【解析】
(1) $\begin{cases}7x - 4y = 22, &① \\5x + 2y = 6; &②\end{cases}$
将②×2，得$10x+4y=12$ ③
③+①，得$17x=34$，解得$x=2$
把$x=2$代入①，得$14-4y=22$，解得$y=-2$
(2) $\begin{cases}\dfrac{x+1}{3}=\dfrac{y+2}{4}, &① \\\dfrac{x-3}{4}-\dfrac{y-3}{3}=\dfrac{1}{12}. &②\end{cases}$
先化简原方程组：
①两边同乘12去分母，得$4(x+1)=3(y+2)$，展开整理得$4x-3y=2$ ③
②两边同乘12去分母，得$3(x-3)-4(y-3)=1$，展开整理得$3x-4y=-2$ ④
③×3，得$12x-9y=6$ ⑤
④×4，得$12x-16y=-8$ ⑥
⑤-⑥，得$7y=14$，解得$y=2$
把$y=2$代入③，得$4x-6=2$，解得$x=2$
【答案】
(1)$\begin{cases} x=2 \\ y=-2 \end{cases}$
(2)$\begin{cases} x=2 \\ y=2 \end{cases}$
【知识点】
加减消元法，去分母运算，二元一次方程组的解
【点评】
这是解二元一次方程组的常规基础题，考查学生对消元法的掌握和含分母方程的化简能力，解题时注意去分母不要漏乘常数项，移项、计算时注意符号，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.7
12. 兄弟俩同时解关于 $ x, y $ 的方程组
$\begin{cases}ax + by = 2, \\cx - 7y = 8,\end{cases}$
哥哥正确解得 $ \begin{cases} x = 3, \\ y = -2, \end{cases} $ 弟弟因把 $ c $ 抄错了，解得 $ \begin{cases} x = -2, \\ y = 2. \end{cases} $
(1) 求 $ a, b, c $ 的值；
(2) 请你说明弟弟把 $ c $ 抄成了什么数。
$\begin{cases}ax + by = 2, \\cx - 7y = 8,\end{cases}$
哥哥正确解得 $ \begin{cases} x = 3, \\ y = -2, \end{cases} $ 弟弟因把 $ c $ 抄错了，解得 $ \begin{cases} x = -2, \\ y = 2. \end{cases} $
(1) 求 $ a, b, c $ 的值；
(2) 请你说明弟弟把 $ c $ 抄成了什么数。
答案
(1)由题意,知cx−7y=8的一组解是$\begin{cases} x=3,\\ y=-2, \end{cases}$代入方程,得3c−7×(−2)=8,解得c=−2. 把$\begin{cases} x=3,\\ y=-2, \end{cases}$$\begin{cases} x=-2,\\ y=2 \end{cases}$代入方程ax+by=2,得$\begin{cases}3a-2b=2,\\-2a+2b=2,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=4,\\b=5.\end{cases}$ 所以$\begin{cases} a=4,\\ b=5,\\ c=-2; \end{cases}$
(2)把$\begin{cases} x=-2,\\ y=2 \end{cases}$代入cx−7y=8,得−2c−14=8,解得c=−11,即弟弟把c抄成了−11.
(2)把$\begin{cases} x=-2,\\ y=2 \end{cases}$代入cx−7y=8,得−2c−14=8,解得c=−11,即弟弟把c抄成了−11.
解析
【分析】
解题时要结合二元一次方程组解的含义思考：①哥哥的解是方程组的正确解，同时满足两个方程，将其代入含$c$的第二个方程即可求出正确的$c$值；②弟弟仅抄错了$c$，第一个方程$ax+by=2$不含$c$，因此弟弟的解仍然满足第一个方程，结合哥哥的解代入第一个方程就能得到关于$a$、$b$的二元一次方程组，求解即可得到$a$、$b$的值。第二问求弟弟抄错的$c$，只需将弟弟的解代入第二个方程，计算出的$c$就是他抄错的数值。
【解析】
(1) 把哥哥的正确解$\begin{cases} x=3 \\ y=-2 \end{cases}$代入$cx - 7y = 8$，得：
$3c - 7×(-2) = 8$
化简得$3c+14=8$，解得$c=-2$。
因为弟弟的解满足不含$c$的$ax+by=2$，将$\begin{cases} x=3 \\ y=-2 \end{cases}$和$\begin{cases} x=-2 \\ y=2 \end{cases}$分别代入$ax+by=2$，得到方程组：
$\begin{cases}3a-2b=2 \\ -2a+2b=2 \end{cases}$
将两个方程相加消去$b$，得$a=4$，把$a=4$代入$3a-2b=2$，得$12-2b=2$，解得$b=5$。
(2) 把弟弟的解$\begin{cases} x=-2 \\ y=2 \end{cases}$代入$cx -7y=8$，得：
$-2c - 7×2 =8$
化简得$-2c-14=8$，解得$c=-11$。
【答案】
(1) $\begin{cases} a=4 \\ b=5 \\ c=-2 \end{cases}$；
(2) 弟弟把$c$抄成了$-11$。
【知识点】
1. 二元一次方程组的解
2. 加减消元法解方程组
3. 代入法求参数
【点评】
本题侧重考查对二元一次方程组解的内涵的理解，解题关键是明确抄错某一个参数时，解仍然满足不含该参数的方程，整体难度不高，侧重基础计算和概念的灵活应用。
【难度系数】
0.7
解题时要结合二元一次方程组解的含义思考：①哥哥的解是方程组的正确解，同时满足两个方程，将其代入含$c$的第二个方程即可求出正确的$c$值；②弟弟仅抄错了$c$，第一个方程$ax+by=2$不含$c$，因此弟弟的解仍然满足第一个方程，结合哥哥的解代入第一个方程就能得到关于$a$、$b$的二元一次方程组，求解即可得到$a$、$b$的值。第二问求弟弟抄错的$c$，只需将弟弟的解代入第二个方程，计算出的$c$就是他抄错的数值。
【解析】
(1) 把哥哥的正确解$\begin{cases} x=3 \\ y=-2 \end{cases}$代入$cx - 7y = 8$，得：
$3c - 7×(-2) = 8$
化简得$3c+14=8$，解得$c=-2$。
因为弟弟的解满足不含$c$的$ax+by=2$，将$\begin{cases} x=3 \\ y=-2 \end{cases}$和$\begin{cases} x=-2 \\ y=2 \end{cases}$分别代入$ax+by=2$，得到方程组：
$\begin{cases}3a-2b=2 \\ -2a+2b=2 \end{cases}$
将两个方程相加消去$b$，得$a=4$，把$a=4$代入$3a-2b=2$，得$12-2b=2$，解得$b=5$。
(2) 把弟弟的解$\begin{cases} x=-2 \\ y=2 \end{cases}$代入$cx -7y=8$，得：
$-2c - 7×2 =8$
化简得$-2c-14=8$，解得$c=-11$。
【答案】
(1) $\begin{cases} a=4 \\ b=5 \\ c=-2 \end{cases}$；
(2) 弟弟把$c$抄成了$-11$。
【知识点】
1. 二元一次方程组的解
2. 加减消元法解方程组
3. 代入法求参数
【点评】
本题侧重考查对二元一次方程组解的内涵的理解，解题关键是明确抄错某一个参数时，解仍然满足不含该参数的方程，整体难度不高，侧重基础计算和概念的灵活应用。
【难度系数】
0.7
13.已知方程组$\begin{cases}2x +5y=-6,\\ax -by=-4\end{cases}$和方程组$\begin{cases}3x -5y=16,\\bx +ay=8\end{cases}$的解相同，求$(a + 2b)^{2024}$的值。
答案
解：因为方程组$\begin{cases}2x+5y=-6,\\ax-by=-4\end{cases}$和方程组$\begin{cases}3x-5y=16,\\bx+ay=8\end{cases}$的解相同,所以$\begin{cases}2x+5y=-6,\\3x-5y=16,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=2,\\y=-2.\end{cases}$ 把$\begin{cases}x=2,\\y=-2\end{cases}$代入$\begin{cases}ax-by=-4,\\bx+ay=8,\end{cases}$ 得$\begin{cases}2a+2b=-4,\\2b-2a=8,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=-3,\\b=1.\end{cases}$ 则$(a+2b)^{2024}=(-3+2×1)^{2024}=(-1)^{2024}=1$.
解析
【分析】
两个方程组的解相同，说明这个解同时满足四个方程，因此可以先将不含参数a、b的两个方程联立，求出x、y的公共解；再将求出的x、y代入含参数a、b的两个方程，得到关于a、b的二元一次方程组，求解得到a、b的值；最后将a、b代入待求代数式计算结果即可。
【解析】
解：
∵两个方程组的解相同，
∴x、y同时满足方程$2x +5y=-6$和$3x -5y=16$，联立得：
$\begin{cases}2x+5y=-6\\3x-5y=16\end{cases}$
将两个方程左右两边分别相加，得$5x=10$，解得$x=2$。
把$x=2$代入$2x+5y=-6$，得$4 + 5y = -6$，解得$y=-2$。
把$\begin{cases}x=2\\y=-2\end{cases}$代入含a、b的方程，联立得：
$\begin{cases}2a + 2b = -4\\2b - 2a = 8\end{cases}$
将两个方程左右两边分别相加，得$4b=4$，解得$b=1$。
把$b=1$代入$2a + 2b = -4$，得$2a + 2 = -4$，解得$a=-3$。
将$a=-3$，$b=1$代入$(a + 2b)^{2024}$，得：
原式$=(-3 + 2×1)^{2024}=(-1)^{2024}=1$
【答案】
1
【知识点】
二元一次方程组的解，加减消元法，乘方运算
【点评】
本题核心是利用“解相同”的条件先求公共解，再求解参数，解题时需理清方程之间的关系，按照先求公共解、再求参数、最后代值计算的步骤逐步求解，计算时注意符号问题即可。
【难度系数】
0.7
两个方程组的解相同，说明这个解同时满足四个方程，因此可以先将不含参数a、b的两个方程联立，求出x、y的公共解；再将求出的x、y代入含参数a、b的两个方程，得到关于a、b的二元一次方程组，求解得到a、b的值；最后将a、b代入待求代数式计算结果即可。
【解析】
解：
∵两个方程组的解相同，
∴x、y同时满足方程$2x +5y=-6$和$3x -5y=16$，联立得：
$\begin{cases}2x+5y=-6\\3x-5y=16\end{cases}$
将两个方程左右两边分别相加，得$5x=10$，解得$x=2$。
把$x=2$代入$2x+5y=-6$，得$4 + 5y = -6$，解得$y=-2$。
把$\begin{cases}x=2\\y=-2\end{cases}$代入含a、b的方程，联立得：
$\begin{cases}2a + 2b = -4\\2b - 2a = 8\end{cases}$
将两个方程左右两边分别相加，得$4b=4$，解得$b=1$。
把$b=1$代入$2a + 2b = -4$，得$2a + 2 = -4$，解得$a=-3$。
将$a=-3$，$b=1$代入$(a + 2b)^{2024}$，得：
原式$=(-3 + 2×1)^{2024}=(-1)^{2024}=1$
【答案】
1
【知识点】
二元一次方程组的解，加减消元法，乘方运算
【点评】
本题核心是利用“解相同”的条件先求公共解，再求解参数，解题时需理清方程之间的关系，按照先求公共解、再求参数、最后代值计算的步骤逐步求解，计算时注意符号问题即可。
【难度系数】
0.7
