8. 在平面直角坐标系中，将点$A(m+1,n-2)$先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点$A'$.若点$A'$位于第二象限，则$m,n$的取值范围分别是（）

A.$m＞1,n＜-2$
B.$m＞1,n＞-2$
C.$m＜1,n＜-2$
D.$m＜1,n＞-2$

8.D

【分析】
解题思路分为三步：第一步，根据平面直角坐标系中点的平移规律“左减右加横坐标，上加下减纵坐标”，求出平移后点$A'$的坐标；第二步，回忆第二象限内点的坐标特征：横坐标为负，纵坐标为正；第三步，根据坐标特征列出关于m、n的不等式，解不等式即可得到m、n的取值范围，对应选出正确选项。
【解析】
根据点的平移规律：
点$A(m+1,n-2)$向左平移2个单位长度，横坐标减2，得到：$m+1-2=m-1$；
再向上平移4个单位长度，纵坐标加4，得到：$n-2+4=n+2$；
因此平移后点$A'$的坐标为$(m-1, n+2)$。
已知点$A'$位于第二象限，第二象限内点的横坐标小于0，纵坐标大于0，可得：
$\begin{cases}m-1 ＜ 0 \\n+2 ＞ 0\end{cases}$
解不等式$m-1＜0$，得$m＜1$；
解不等式$n+2＞0$，得$n＞-2$。
因此m、n的取值范围是$m＜1$，$n＞-2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 点的平移规律
2. 象限内点的坐标特征
3. 解一元一次不等式
【点评】
本题是基础题型，综合考察了点的平移运算和象限坐标符号的应用，解题关键是牢记平移规律和各象限内点的坐标符号特点，计算难度低，掌握相关知识点即可快速得分。
【难度系数】
0.8

9. 如图,在平面直角坐标系中,三角形ABO的三个顶点坐标分别为A(6,3),B(6,0),O(0,0),若将三角形ABO向左平移3个单位长度得到三角形CDE,则点A的对应点C的坐标是.

9.(3,3)

【分析】
首先明确平面直角坐标系中点的平移坐标变化规律：左右平移时，横坐标遵循“左减右加”原则，纵坐标保持不变；上下平移时，纵坐标遵循“上加下减”原则，横坐标保持不变。本题中三角形向左平移3个单位，图形上所有点都同步向左平移3个单位，因此只需将点A的横坐标减去3，纵坐标不变，就能得到对应点C的坐标。
【解析】
根据点平移的坐标变化规则：点向左平移n个单位长度时，横坐标减去n，纵坐标不变。
已知点A的坐标为(6,3)，向左平移3个单位长度，
则对应点C的横坐标为$ 6-3=3 $，纵坐标保持3不变，
因此点C的坐标为$(3,3)$。
【答案】
$(3,3)$
【知识点】
点平移的坐标变换；平面直角坐标系
【点评】
本题是基础题型，主要考查图形平移时点的坐标变化规律，熟记“左减右加、上加下减”的平移规则即可快速解题。
【难度系数】
0.9

10.若点P是第二象限内的点，且点P到x轴的距离是4，到y轴的距离是5，则点P的坐标是.

10. (-5,4)

【分析】
解题思路：要确定点P的坐标，需结合两个核心条件推导：①先回忆第二象限内点的坐标符号特征：横坐标为负，纵坐标为正；②明确点到坐标轴的距离与坐标的对应关系：点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值。先根据距离求出横、纵坐标的绝对值，再结合象限的符号特征确定具体坐标即可。
【解析】
设点P的坐标为$(x,y)$，
∵ 点P在第二象限，
∴ $x＜0$，$y＞0$，
∵ 点P到x轴的距离是4，点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，
∴ $|y|=4$，结合$y＞0$得$y=4$，
∵ 点P到y轴的距离是5，点到y轴的距离为横坐标的绝对值，
∴ $|x|=5$，结合$x＜0$得$x=-5$，
∴ 点P的坐标为$(-5,4)$。
【答案】
$(-5,4)$
【知识点】
1. 象限内点的坐标特征
2. 点到坐标轴的距离的含义
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础题型，解题的关键是区分点到x轴、y轴的距离分别对应纵坐标、横坐标的绝对值，同时要结合点所在的象限判断坐标的符号，避免出现横纵坐标混淆、符号错误的问题。
【难度系数】
0.7

11.已知点$P(2a-6,a+1)$,若点$P$在坐标轴上,则点$P$的坐标为.

11. (-8,0)或(0,4)

【分析】
要解决这道题，首先明确坐标轴包含x轴和y轴，需分两种情况讨论：①点P在x轴上，此时x轴上的点纵坐标为0；②点P在y轴上，此时y轴上的点横坐标为0。分别根据两种情况的坐标特征列方程求出a的值，再代入点P的坐标表达式即可得到结果。
【解析】
已知点P在坐标轴上，分两种情况讨论：
1. 当点P在x轴上时，x轴上的点纵坐标为0，可得：
$a+1=0$，解得$a=-1$
将$a=-1$代入横坐标$2a-6$，得$2×(-1)-6=-8$，此时点P坐标为$(-8,0)$
2. 当点P在y轴上时，y轴上的点横坐标为0，可得：
$2a-6=0$，解得$a=3$
将$a=3$代入纵坐标$a+1$，得$3+1=4$，此时点P坐标为$(0,4)$
综上，点P的坐标为$(-8,0)$或$(0,4)$。
【答案】
$(-8,0)$或$(0,4)$
【知识点】
坐标轴上点的坐标特征，解一元一次方程
【点评】
本题解题的关键是明确点在坐标轴上包含在x轴、y轴两种情况，需分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7

12.对于任意实数$x$,点$P(x,x^{2}-2x)$一定不在第象限.

12. 三

【分析】
要判断点$P(x,x^2-2x)$一定不在哪个象限，需结合平面直角坐标系各象限内点的横、纵坐标符号特征，对$x$的取值范围分情况讨论，分别判断不同情况下横、纵坐标的正负，排除可能存在的象限，剩下的就是一定不在的象限。
【解析】
先将点$P$的纵坐标因式分解得：$x^2-2x=x(x-2)$，分情况讨论：
1. 当$x＞0$时：
若$x＞2$，则$x-2＞0$，此时$x(x-2)＞0$，点$P$横、纵坐标均为正，在第一象限；
若$0＜x＜2$，则$x-2＜0$，此时$x(x-2)＜0$，点$P$横坐标为正、纵坐标为负，在第四象限；
2. 当$x＜0$时，$x-2＜0$，两个负数相乘得正，即$x(x-2)＞0$，此时点$P$横坐标为负、纵坐标为正，在第二象限；
3. 当$x=0$时，点$P$坐标为$(0,0)$是原点；当$x=2$时，点$P$坐标为$(2,0)$在$x$轴上，均不属于任何象限。
综上，点$P$不可能出现横坐标为负且纵坐标为负的情况，即一定不在第三象限。
【答案】
三
【知识点】
象限的坐标特征，代数式正负判断，分类讨论思想
【点评】
本题重点考查分类讨论的数学思想，解题时要对横坐标的所有可能取值范围分类，逐一判断纵坐标的符号确定点所在的象限，注意不要遗漏坐标轴上的特殊情况。
【难度系数】
0.7

13. 如图,在平面直角坐标系中,将线段AB平移使得一个端点与点C重合,已知点A(3,0),B(0,2),C(6,4),则线段AB平移后另一个端点的坐标为。

13. (3,6)或(9,2)

【分析】
本题考查平移的坐标变化相关知识，解题时首先要明确平移的核心性质：平移过程中所有点的横、纵坐标变化量完全相同。题目说明“一个端点与点C重合”，存在两种情况：①点A平移到点C；②点B平移到点C，需分类讨论避免漏解。解题时先计算对应点平移的横、纵坐标变化量，再将另一个端点按该变化量计算平移后的坐标即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 若端点A平移后与C重合：
已知点A坐标为(3,0)，点C坐标为(6,4)，则平移的横坐标变化量为$6-3=3$，纵坐标变化量为$4-0=4$。
将点B按该规律平移，平移后坐标为$(0+3,2+4)$，即$(3,6)$。
2. 若端点B平移后与C重合：
已知点B坐标为(0,2)，点C坐标为(6,4)，则平移的横坐标变化量为$6-0=6$，纵坐标变化量为$4-2=2$。
将点A按该规律平移，平移后坐标为$(3+6,0+2)$，即$(9,2)$。
【答案】
(3,6)或(9,2)
【知识点】
平移的坐标特征，分类讨论思想
【点评】
本题属于平移坐标变化的基础易错题型，核心考查平移前后点的坐标变化规律的应用，易错点是容易忽略平移对应点的两种可能情况，导致漏写其中一个答案，解题时需注意审清题意，全面考虑所有可能性。
【难度系数】
0.6

14.如图，已知$A(-2,0),B(4,0),C(2,4)$。
(1)求三角形$ABC$的面积；
(2)设$P$为$x$轴上一点，若$S_{\mathrm{三角形}APC}=\dfrac{1}{2}S_{\mathrm{三角形}PBC}$，求点$P$的坐标。

14. (1)解:过点C作CD⊥AB于点D，则CD=4.又易知AB=4-(-2)=6，
∴S三角形ABC=$\dfrac{1}{2}$AB·CD=$\dfrac{1}{2}$×6×4=12；
(2)设点P的坐标为(t,0).
∵S三角形APC=$\dfrac{1}{2}$S三角形PBC，
∴$\dfrac{1}{2}$×4×|t+2|=$\dfrac{1}{2}$×$\dfrac{1}{2}$×4×|t-4|.
∴t-4=±2(t+2)，解得t=-8或t=0.
∴点P的坐标为(-8,0)或(0,0)。

【分析】
(1) 求△ABC的面积时，观察到A、B都在x轴上，可先计算AB的长度作为三角形的底，点C到x轴的距离就是AB边上的高，直接代入三角形面积公式即可求解。
(2) 点P在x轴上，设其坐标为(t,0)，△APC和△PBC的高均为点C到x轴的距离4，底分别为AP、PB的长度，即|t+2|和|t-4|，根据给出的面积关系列方程，解绝对值方程时要分正负两种情况讨论，避免漏解。
【解析】
(1) 过点C作CD⊥AB于点D，
∵A(-2,0)，B(4,0)，
∴AB的长度为$4 - (-2) = 6$，
∵C(2,4)，CD垂直x轴，
∴CD = 4，
根据三角形面积公式可得：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AB × CD = \frac{1}{2} × 6 × 4 = 12$。
(2) 设点P的坐标为$(t, 0)$，
则$AP = |t - (-2)| = |t + 2|$，$PB = |4 - t| = |t - 4|$，
△APC和△PBC在AP、PB边上的高均为点C的纵坐标4，
∵$S_{△ APC}=\frac{1}{2}S_{△ PBC}$，
∴$\frac{1}{2} × 4 × |t+2| = \frac{1}{2} × (\frac{1}{2} × 4 × |t-4|)$，
化简得：$2|t+2| = |t-4|$，即$t - 4 = \pm 2(t + 2)$，
当$t - 4 = 2(t + 2)$时，解得$t = -8$；
当$t - 4 = -2(t + 2)$时，解得$t = 0$。
【答案】
(1) $\boxed{12}$
(2) $\boxed{(-8,0)}$或$\boxed{(0,0)}$
【知识点】
1. 三角形面积计算
2. 坐标与线段长度
3. 绝对值方程求解
【点评】
本题结合平面直角坐标系考察三角形面积的计算，解题关键是发现x轴上的三角形高为对应点的纵坐标，利用同高三角形面积比等于底边长的比建立方程，求解时注意绝对值的多解性，避免漏解。
【难度系数】
0.7

15.在平面直角坐标系$xOy$中,对于点$P(x,y)$,若点$Q$的坐标为$(ax+y,x+ay)$,则称点$Q$是点$P$的“$a$阶派生点”(其中$a$为常数,且$a≠0$).例如:点$P(1,4)$的“2阶派生点”为点$Q(2×1+4,1+2×4)$,即点$Q(6,9)$.
(1)若点$P$的坐标为$(-1,5)$,则它的“3阶派生点”的坐标为;
(2)若点$P$的“5阶派生点”的坐标为$(-9,3)$,求点$P$的坐标;
(3)若点$P(c+1,2c-1)$先向左平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度后得到了点$P_1$.点$P_1$的“$-4$阶派生点”$P_2$位于坐标轴上,求点$P_2$的坐标.

(1)(2,14)
(2)解:设点 P 的坐标为 (a, b), 由题意可知
$\begin{cases}5a+b=-9,\\a+5b=3,\end{cases}$解得$: \begin{cases}a=-2,\\b=1.\end{cases} \therefore$点P 的坐标为(-2,1);(3)由题意$,P_1(c-1,2c),\therefore P_1 $的“-4阶派生点$”P_2 $为:(-4(c-1)+2c,c-1-8c),即$(-2c+4,-7c-1),\because P_2$在坐标轴上$,\therefore -2c+4=0 $或$ -7c-1=0. \therefore c=2 $或$ c=-\dfrac{1}{7},\therefore P_2$为(0,-15)或$(\dfrac{30}{7},0).$

【分析】
(1) 直接根据“a阶派生点”的定义求解，将点P的坐标和a=3代入派生点坐标公式$(ax+y,x+ay)$计算即可得到结果。
(2) 已知派生点坐标反求原点点P，可先设出点P的坐标，再根据“5阶派生点”的坐标列出二元一次方程组，解方程组即可得到点P的坐标。
(3) 首先根据坐标平移规则（横坐标左减右加，纵坐标上加下减）求出平移后点$P_1$的坐标，再根据派生点定义写出$P_2$的坐标表达式；由于$P_2$在坐标轴上，需分两种情况讨论：①$P_2$在y轴上时横坐标为0，②$P_2$在x轴上时纵坐标为0，分别列方程求出c的值，再代入$P_2$的坐标表达式即可得到结果。
【解析】
(1) 已知点$P(-1,5)$，$a=3$，根据“a阶派生点”定义：
横坐标为$3×(-1)+5=2$，纵坐标为$-1+3×5=14$，因此3阶派生点坐标为$(2,14)$。
(2) 设点P的坐标为$(x,y)$，由“5阶派生点”坐标为$(-9,3)$，可得方程组：
$\begin{cases}5x + y = -9 \\x + 5y = 3 \end{cases}$
解方程组：将第一个方程乘5得$25x+5y=-45$，减去第二个方程得$24x=-48$，解得$x=-2$；将$x=-2$代入$x+5y=3$，得$-2+5y=3$，解得$y=1$，因此点P的坐标为$(-2,1)$。
(3) 点$P(c+1,2c-1)$向左平移2个单位长度，横坐标变为$(c+1)-2=c-1$；向上平移1个单位长度，纵坐标变为$(2c-1)+1=2c$，因此$P_1$的坐标为$(c-1, 2c)$。
根据“-4阶派生点”的定义，$P_2$的横坐标为$-4(c-1)+2c=-2c+4$，纵坐标为$(c-1)+(-4)×2c=-7c-1$，即$P_2(-2c+4, -7c-1)$。
由于$P_2$在坐标轴上，分两种情况讨论：
① 当$P_2$在y轴上时，横坐标为0，即$-2c+4=0$，解得$c=2$，代入得纵坐标为$-7×2-1=-15$，此时$P_2(0,-15)$；
② 当$P_2$在x轴上时，纵坐标为0，即$-7c-1=0$，解得$c=-\dfrac{1}{7}$，代入得横坐标为$-2×(-\dfrac{1}{7})+4=\dfrac{30}{7}$，此时$P_2(\dfrac{30}{7},0)$。
【答案】
(1) $\boxed{(2,14)}$
(2) $\boxed{(-2,1)}$
(3) $\boxed{(0,-15)}$或$\boxed{(\dfrac{30}{7},0)}$
【知识点】
1. 新定义运算
2. 二元一次方程组的应用
3. 坐标平移变换
【点评】
本题以“a阶派生点”的新定义为载体，综合考查了坐标平移规则、二元一次方程组的解法以及坐标轴上点的坐标特征，解题核心是准确理解新定义的坐标变换规则，解答第三问时要注意分情况讨论$P_2$在x轴、y轴的两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.65