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1.(素材来源:教材P108数学活动)综合与实践.
【主题】利用图形变化设计方案.
【材料阅读】我们可以利用平移、轴对称和旋转中的一种进行图案设计,还可以利用它们的组合进行图案设计.例如,图1中的图案就是由一个基本图形经过旋转、轴对称和平移得到的.你能指出这个基本图形吗?
如图2,以点O为旋转中心,将图形逆时针旋转$90°$三次作出图3,然后以l为对称轴作出图4,平移图4就可以得到图1中的图案.
【问题解决】(1)请你运用旋转的方法,将图5中的三角形绕原点O顺时针依次旋转$90°,180°,270°$,形成美丽的图案,并画出图形.
【活动拓展】(2)利用如图6所示的图案,通过下列变换设计图案,使所设计的图案中包含4个这样的基本图案.
①通过平移设计图案;
②通过旋转设计图案.
2.(素材来源:教材P106阅读与思考)综合与实践.
【主题】旋转对称图形.
规定:在平面内,如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度$α(0°＜α＜360°)$后能与自身重合,那么就称这个图形是旋转对称图形,转动的这个角度$α$称为这个图形的一个旋转角.例如:正方形绕着两条对角线的交点O旋转$90°$或$180°$后,能与自身重合,所以正方形是旋转对称图形,且有两个旋转角.
问题探索:(1)下列图形是旋转对称图形,但不是中心对称图形的是
A.矩形 B.正五边形
C.菱形 D.正六边形
(2)下列图形中,是旋转对称图形,且有一个旋转角是$60°$的是
(3)下列三个命题:①中心对称图形是旋转对称图形;②等腰三角形是旋转对称图形;③圆是旋转对称图形.其中为真命题的是
实践拓展:图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图,它是由四个全等的直角三角形围成的面积为74的正方形.在$Rt△ ABC$中,若直角边$BC=5$,将四个直角三角形中边长为5的直角边分别向外延长一倍,得到图2所示的“数学风车”.
(4)这个风车至少需要绕着中心旋转
(5)求这个风车的外围周长(图2中的实线).
【主题】利用图形变化设计方案.
【材料阅读】我们可以利用平移、轴对称和旋转中的一种进行图案设计,还可以利用它们的组合进行图案设计.例如,图1中的图案就是由一个基本图形经过旋转、轴对称和平移得到的.你能指出这个基本图形吗?
如图2,以点O为旋转中心,将图形逆时针旋转$90°$三次作出图3,然后以l为对称轴作出图4,平移图4就可以得到图1中的图案.
【问题解决】(1)请你运用旋转的方法,将图5中的三角形绕原点O顺时针依次旋转$90°,180°,270°$,形成美丽的图案,并画出图形.
【活动拓展】(2)利用如图6所示的图案,通过下列变换设计图案,使所设计的图案中包含4个这样的基本图案.
①通过平移设计图案;
②通过旋转设计图案.
2.(素材来源:教材P106阅读与思考)综合与实践.
【主题】旋转对称图形.
规定:在平面内,如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度$α(0°＜α＜360°)$后能与自身重合,那么就称这个图形是旋转对称图形,转动的这个角度$α$称为这个图形的一个旋转角.例如:正方形绕着两条对角线的交点O旋转$90°$或$180°$后,能与自身重合,所以正方形是旋转对称图形,且有两个旋转角.
问题探索:(1)下列图形是旋转对称图形,但不是中心对称图形的是
B
(填字母).A.矩形 B.正五边形
C.菱形 D.正六边形
(2)下列图形中,是旋转对称图形,且有一个旋转角是$60°$的是
①③⑤⑥
(填序号).(3)下列三个命题:①中心对称图形是旋转对称图形;②等腰三角形是旋转对称图形;③圆是旋转对称图形.其中为真命题的是
①③
(填序号).实践拓展:图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图,它是由四个全等的直角三角形围成的面积为74的正方形.在$Rt△ ABC$中,若直角边$BC=5$,将四个直角三角形中边长为5的直角边分别向外延长一倍,得到图2所示的“数学风车”.
(4)这个风车至少需要绕着中心旋转
90°
才能和本身重合.(5)求这个风车的外围周长(图2中的实线).
答案
1. 略
2.(1) B
2.(2) ①③⑤⑥
2.(3) ①③
2.(4) 90°
2.(5) 72
2.(1) B
2.(2) ①③⑤⑥
2.(3) ①③
2.(4) 90°
2.(5) 72
解析
【分析】
本题分为图形变换设计、旋转对称图形应用两大模块，解题思路如下：
1. 作图类题目：需紧扣平移、旋转、轴对称的变换规则，旋转作图要明确旋转中心、方向和角度，平移作图要明确平移方向和距离，按要求逐次变换基本图形即可完成设计；
2. 概念辨析类题目：
（1）区分旋转对称图形与中心对称图形：中心对称图形是旋转角为180°的特殊旋转对称图形，要找“是旋转对称但非中心对称”的图形，只需验证图形旋转180°后是否与自身重合即可；
（2）判断旋转角含60°的图形：只要图形绕中心旋转60°后能与自身重合即符合要求；
（3）命题判断：结合各类图形的性质，逐一验证命题是否符合旋转对称图形的定义即可；
3. 实践应用类题目：
（1）求最小旋转角：观察图形由n个全等基本部分组成时，最小旋转角为$\frac{360°}{n}$；
（2）求风车外围周长：先利用勾股定理求出每条外围边的长度，再统计所有外围边的长度求和即可。
【解析】
第1题
为作图实操题，按要求操作即可：
(1) 先确定图5三角形各顶点绕原点O顺时针旋转90°、180°、270°的对应点，依次连接对应点，组合得到最终图案；
(2) ①平移设计：选定统一的平移方向和距离，将基本图案平移3次，即可得到含4个基本图案的组合图案；②旋转设计：选定旋转中心，将基本图案依次旋转90°、180°、270°，即可得到含4个基本图案的组合图案，作图过程略。
第2题
(1) 逐一分析选项：
A.矩形旋转180°可与自身重合，是中心对称图形，不符合要求；
B.正五边形最小旋转角为$360°÷5=72°$，是旋转对称图形，旋转180°无法与自身重合，不是中心对称图形，符合要求；
C.菱形旋转180°可与自身重合，是中心对称图形，不符合要求；
D.正六边形旋转180°可与自身重合，是中心对称图形，不符合要求。
(2) 绕中心旋转60°后能与自身重合的图形即为符合要求的图形，对应序号为①③⑤⑥。
(3) 逐一判断命题：
①中心对称图形旋转180°可与自身重合，属于旋转对称图形，为真命题；
②等腰三角形只有旋转360°才能与自身重合，不属于旋转对称图形，为假命题；
③圆绕圆心旋转任意小于360°的角度都能与自身重合，属于旋转对称图形，为真命题。
(4) 该风车由4个全等的基本部分组成，最小旋转角为$360°÷4=90°$。
(5) 已知大正方形面积为74，故大正方形边长为$\sqrt{74}$；在$Rt△ ABC$中，$BC=5$，由勾股定理得另一条直角边长为$\sqrt{(\sqrt{74})^2-5^2}=7$；将边长为5的直角边向外延长一倍后，可求得外围每个单元的斜边长为13，每个单元外围含长度为13和5的两条边，因此总周长为$4×(13+5)=72$。
【答案】
1. 略
2.(1) B
2.(2) ①③⑤⑥
2.(3) ①③
2.(4) $90°$
2.(5) 72
【知识点】
旋转对称图形，勾股定理，图形的变换
【点评】
本题结合教材素材设置题目，既考查了平移、旋转、轴对称的实操作图能力，又考查了旋转对称图形的概念辨析，还结合勾股定理考查了几何计算，知识点覆盖全面，注重对基础概念的理解和动手能力的考查。
【难度系数】
0.65
本题分为图形变换设计、旋转对称图形应用两大模块，解题思路如下：
1. 作图类题目：需紧扣平移、旋转、轴对称的变换规则，旋转作图要明确旋转中心、方向和角度，平移作图要明确平移方向和距离，按要求逐次变换基本图形即可完成设计；
2. 概念辨析类题目：
（1）区分旋转对称图形与中心对称图形：中心对称图形是旋转角为180°的特殊旋转对称图形，要找“是旋转对称但非中心对称”的图形，只需验证图形旋转180°后是否与自身重合即可；
（2）判断旋转角含60°的图形：只要图形绕中心旋转60°后能与自身重合即符合要求；
（3）命题判断：结合各类图形的性质，逐一验证命题是否符合旋转对称图形的定义即可；
3. 实践应用类题目：
（1）求最小旋转角：观察图形由n个全等基本部分组成时，最小旋转角为$\frac{360°}{n}$；
（2）求风车外围周长：先利用勾股定理求出每条外围边的长度，再统计所有外围边的长度求和即可。
【解析】
第1题
为作图实操题，按要求操作即可：
(1) 先确定图5三角形各顶点绕原点O顺时针旋转90°、180°、270°的对应点，依次连接对应点，组合得到最终图案；
(2) ①平移设计：选定统一的平移方向和距离，将基本图案平移3次，即可得到含4个基本图案的组合图案；②旋转设计：选定旋转中心，将基本图案依次旋转90°、180°、270°，即可得到含4个基本图案的组合图案，作图过程略。
第2题
(1) 逐一分析选项：
A.矩形旋转180°可与自身重合，是中心对称图形，不符合要求；
B.正五边形最小旋转角为$360°÷5=72°$，是旋转对称图形，旋转180°无法与自身重合，不是中心对称图形，符合要求；
C.菱形旋转180°可与自身重合，是中心对称图形，不符合要求；
D.正六边形旋转180°可与自身重合，是中心对称图形，不符合要求。
(2) 绕中心旋转60°后能与自身重合的图形即为符合要求的图形，对应序号为①③⑤⑥。
(3) 逐一判断命题：
①中心对称图形旋转180°可与自身重合，属于旋转对称图形，为真命题；
②等腰三角形只有旋转360°才能与自身重合，不属于旋转对称图形，为假命题；
③圆绕圆心旋转任意小于360°的角度都能与自身重合，属于旋转对称图形，为真命题。
(4) 该风车由4个全等的基本部分组成，最小旋转角为$360°÷4=90°$。
(5) 已知大正方形面积为74，故大正方形边长为$\sqrt{74}$；在$Rt△ ABC$中，$BC=5$，由勾股定理得另一条直角边长为$\sqrt{(\sqrt{74})^2-5^2}=7$；将边长为5的直角边向外延长一倍后，可求得外围每个单元的斜边长为13，每个单元外围含长度为13和5的两条边，因此总周长为$4×(13+5)=72$。
【答案】
1. 略
2.(1) B
2.(2) ①③⑤⑥
2.(3) ①③
2.(4) $90°$
2.(5) 72
【知识点】
旋转对称图形，勾股定理，图形的变换
【点评】
本题结合教材素材设置题目，既考查了平移、旋转、轴对称的实操作图能力，又考查了旋转对称图形的概念辨析，还结合勾股定理考查了几何计算，知识点覆盖全面，注重对基础概念的理解和动手能力的考查。
【难度系数】
0.65
