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综合实践活动
选择实惠的手机套餐
【挑战性情境】
智能手机已成为人们生活中必不可少的工具。不同用户对手机功能的需求不同，通信公司一般会推出一些套餐，将一定数量的通话、短信、上网流量等服务打包提供给用户。我们可以通过分析个人或家庭通信行为数据，建立数学模型来选择最优方案，设计手机套餐方案。
【相关资料】
通过查阅资料、实地问询、线下访谈等方式，了解并解决手机套餐中与数学相关的问题。
【项目要求】
你可以从自己掌握的资料中选择一项进行研究，也可以从以下项目主题中选择一个进行实践研究。小组合作，以手写、手绘或者电子稿的形式将成果整理为研究报告。
项目一、确定用户个人套餐
面对不同种类的手机套餐，消费者常常陷入决策困境。请你根据用户的通信成本构成（如短信、通话、上网流量等）、手机套餐基础月费等，从一次函数的视角出发建立数学模型，分析各套餐的优劣，为用户的决策提供合理的建议。
项目二、定制家庭共享套餐
家庭通信需要考虑的因素不同于个人套餐，当多人共享套餐时实际情况可能涉及更多变量和约束条件，因此需要更复杂的模型来精准解决问题。请利用函数知识设计家庭共享套餐，并从最小化成本或最优人数配置等角度优化模型，分析模型可行性。
项目三、设计个性化套餐
通信公司会遇到一些特殊用户，如高流量依赖性用户（视频创作者等）、高境外通话时长需求用户（跨境电商等）。他们的通信成本受用量波动影响较大，以视频创作者为例，可将素材上传量、播放时长等数据建模为流量消耗函数，由此建立年度通信成本预测模型。请运用函数知识与方法，帮助通信公司设计兼顾
双方利益的手机套餐。
项目四、套餐体验满意度调查
用户满意度是优化通信服务的关键依据。请帮助通信公司设计一份用户满意度调查表，从资费合理性、用户体验等角度探究不同套餐用户使用体验和满意度的差异。可以尝试使用折线统计图、扇形统计图等进行可视化分析呈现多维对比结果，为公司后续优化套餐等提供宝贵的建议。
【项目评价】
活动结束后，撰写你在整个活动中的收获、困惑和建议，以便帮助你更好地自我反思，或者在小组中分享感受。
你在项目活动中运用到了哪些数学知识和方法？请详细列举。
【项目反思】
回顾研究过程中运用的数学知识和方法，反思并改进本小组的研究报告。此外，在手机套餐选择中用一次函数解决的问题有很多，如用户对套餐价格的敏感性分析等。通过建立相应模型找到满足各种约束条件的最佳解决方案。
选择实惠的手机套餐
【挑战性情境】
智能手机已成为人们生活中必不可少的工具。不同用户对手机功能的需求不同，通信公司一般会推出一些套餐，将一定数量的通话、短信、上网流量等服务打包提供给用户。我们可以通过分析个人或家庭通信行为数据，建立数学模型来选择最优方案，设计手机套餐方案。
【相关资料】
通过查阅资料、实地问询、线下访谈等方式，了解并解决手机套餐中与数学相关的问题。
【项目要求】
你可以从自己掌握的资料中选择一项进行研究，也可以从以下项目主题中选择一个进行实践研究。小组合作，以手写、手绘或者电子稿的形式将成果整理为研究报告。
项目一、确定用户个人套餐
面对不同种类的手机套餐，消费者常常陷入决策困境。请你根据用户的通信成本构成（如短信、通话、上网流量等）、手机套餐基础月费等，从一次函数的视角出发建立数学模型，分析各套餐的优劣，为用户的决策提供合理的建议。
项目二、定制家庭共享套餐
家庭通信需要考虑的因素不同于个人套餐，当多人共享套餐时实际情况可能涉及更多变量和约束条件，因此需要更复杂的模型来精准解决问题。请利用函数知识设计家庭共享套餐，并从最小化成本或最优人数配置等角度优化模型，分析模型可行性。
项目三、设计个性化套餐
通信公司会遇到一些特殊用户，如高流量依赖性用户（视频创作者等）、高境外通话时长需求用户（跨境电商等）。他们的通信成本受用量波动影响较大，以视频创作者为例，可将素材上传量、播放时长等数据建模为流量消耗函数，由此建立年度通信成本预测模型。请运用函数知识与方法，帮助通信公司设计兼顾
双方利益的手机套餐。
项目四、套餐体验满意度调查
用户满意度是优化通信服务的关键依据。请帮助通信公司设计一份用户满意度调查表，从资费合理性、用户体验等角度探究不同套餐用户使用体验和满意度的差异。可以尝试使用折线统计图、扇形统计图等进行可视化分析呈现多维对比结果，为公司后续优化套餐等提供宝贵的建议。
【项目评价】
活动结束后，撰写你在整个活动中的收获、困惑和建议，以便帮助你更好地自我反思，或者在小组中分享感受。
你在项目活动中运用到了哪些数学知识和方法？请详细列举。
【项目反思】
回顾研究过程中运用的数学知识和方法，反思并改进本小组的研究报告。此外，在手机套餐选择中用一次函数解决的问题有很多，如用户对套餐价格的敏感性分析等。通过建立相应模型找到满足各种约束条件的最佳解决方案。
答案
解：我们选取两款主流个人手机套餐作为研究对象，从一次函数视角建模分析：
已知套餐1：基础月费29元，含20GB通用流量，流量超出后单价为5元/GB，通话免费；
套餐2：基础月费49元，含50GB通用流量，流量超出后单价为3元/GB，通话免费。
设用户月通用流量使用量为$x$ GB，月通信总费用为$y$元。
1. 建立两个套餐的费用函数：
套餐1的费用函数：
当$0 ≤ x ≤ 20$时，$y_1 = 29$；
当$x ＞ 20$时，$y_1 = 29 + 5(x-20) = 5x -71$。
套餐2的费用函数：
当$0 ≤ x ≤ 50$时，$y_2 = 49$；
当$x ＞ 50$时，$y_2 = 49 + 3(x-50) = 3x -101$。
2. 比较费用大小，分析优劣：
① 当$0 ≤ x ≤ 20$时，$y_1=29 ＜ y_2=49$，套餐1更实惠；
② 当$20 ＜ x ≤ 50$时，令$5x-71=49$，解得$x=24$。
因此：
当$20 ＜ x ＜ 24$时，$y_1 ＜ y_2$，套餐1更实惠；
当$x=24$时，$y_1=y_2=49$，两款套餐费用相同；
当$24 ＜ x ≤ 50$时，$y_1 ＞ y_2$，套餐2更实惠；
③ 当$x ＞ 50$时，令$5x-71=3x-101$，解得$x=-15$，不符合$x＞50$的实际取值范围，此时$y_2 ＜ y_1$恒成立，套餐2更实惠。
3. 最终决策建议：
若用户月流量使用量小于24GB，选择套餐1更划算；
若用户月流量使用量等于24GB，两款套餐花费一致，可按需选择；
若用户月流量使用量大于24GB，选择套餐2更划算。
---
项目活动运用的数学知识和方法：
1. 分段一次函数的解析式构建：结合分段计费规则，写出不同自变量取值区间对应的一次函数表达式；
2. 一元一次方程求解：通过令两个费用函数值相等，求解两款套餐费用相同的临界点流量值；
3. 一元一次不等式的应用：通过比较两个一次函数的函数值大小，划分出不同套餐更优惠的流量区间；
4. 数形结合法：可在平面直角坐标系中绘制两个分段一次函数的图像，通过图像的位置高低直观判断不同流量下的费用大小关系；
5. 实际问题的取值约束：结合流量使用的实际意义，限定自变量$x$为非负数，舍去不符合现实意义的解。
---
活动感受
你的收获：
我掌握了将生活中的消费计费问题转化为一次函数模型的方法，理解了分段计费规则可以用分段一次函数清晰量化，学会了通过求函数交点、比较函数值大小得到最优决策方案，切实感受到数学知识可以直接指导日常生活的消费选择，大幅提升了我用课本所学知识解决真实场景问题的能力。
你的困惑：
当套餐同时包含通话时长、短信、流量多个不同计费维度时，对应的多变量一次函数模型分析过程较为繁琐，暂时还没有掌握更简便的方法来处理多约束条件下的最优套餐选择问题。
你的建议：
可以多设计这类贴近日常的实践探究活动，让我们有更多机会走出课堂调研真实的生活数据，将一次函数的应用拓展到打车计费、水电梯度计费等更多常见消费场景中，加深我们对一次函数实际应用的理解。
答：可根据用户实际月流量使用量，对照上述区间选择对应最实惠的套餐。
已知套餐1：基础月费29元，含20GB通用流量，流量超出后单价为5元/GB，通话免费；
套餐2：基础月费49元，含50GB通用流量，流量超出后单价为3元/GB，通话免费。
设用户月通用流量使用量为$x$ GB，月通信总费用为$y$元。
1. 建立两个套餐的费用函数：
套餐1的费用函数：
当$0 ≤ x ≤ 20$时，$y_1 = 29$；
当$x ＞ 20$时，$y_1 = 29 + 5(x-20) = 5x -71$。
套餐2的费用函数：
当$0 ≤ x ≤ 50$时，$y_2 = 49$；
当$x ＞ 50$时，$y_2 = 49 + 3(x-50) = 3x -101$。
2. 比较费用大小，分析优劣：
① 当$0 ≤ x ≤ 20$时，$y_1=29 ＜ y_2=49$，套餐1更实惠；
② 当$20 ＜ x ≤ 50$时，令$5x-71=49$，解得$x=24$。
因此：
当$20 ＜ x ＜ 24$时，$y_1 ＜ y_2$，套餐1更实惠；
当$x=24$时，$y_1=y_2=49$，两款套餐费用相同；
当$24 ＜ x ≤ 50$时，$y_1 ＞ y_2$，套餐2更实惠；
③ 当$x ＞ 50$时，令$5x-71=3x-101$，解得$x=-15$，不符合$x＞50$的实际取值范围，此时$y_2 ＜ y_1$恒成立，套餐2更实惠。
3. 最终决策建议：
若用户月流量使用量小于24GB，选择套餐1更划算；
若用户月流量使用量等于24GB，两款套餐花费一致，可按需选择；
若用户月流量使用量大于24GB，选择套餐2更划算。
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项目活动运用的数学知识和方法：
1. 分段一次函数的解析式构建：结合分段计费规则，写出不同自变量取值区间对应的一次函数表达式；
2. 一元一次方程求解：通过令两个费用函数值相等，求解两款套餐费用相同的临界点流量值；
3. 一元一次不等式的应用：通过比较两个一次函数的函数值大小，划分出不同套餐更优惠的流量区间；
4. 数形结合法：可在平面直角坐标系中绘制两个分段一次函数的图像，通过图像的位置高低直观判断不同流量下的费用大小关系；
5. 实际问题的取值约束：结合流量使用的实际意义，限定自变量$x$为非负数，舍去不符合现实意义的解。
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活动感受
你的收获：
我掌握了将生活中的消费计费问题转化为一次函数模型的方法，理解了分段计费规则可以用分段一次函数清晰量化，学会了通过求函数交点、比较函数值大小得到最优决策方案，切实感受到数学知识可以直接指导日常生活的消费选择，大幅提升了我用课本所学知识解决真实场景问题的能力。
你的困惑：
当套餐同时包含通话时长、短信、流量多个不同计费维度时，对应的多变量一次函数模型分析过程较为繁琐，暂时还没有掌握更简便的方法来处理多约束条件下的最优套餐选择问题。
你的建议：
可以多设计这类贴近日常的实践探究活动，让我们有更多机会走出课堂调研真实的生活数据，将一次函数的应用拓展到打车计费、水电梯度计费等更多常见消费场景中，加深我们对一次函数实际应用的理解。
答：可根据用户实际月流量使用量，对照上述区间选择对应最实惠的套餐。
解析
【分析】
本题是利用一次函数解决实际消费决策问题，核心是将套餐计费规则转化为分段一次函数模型。解题思路为：1.设定变量（月流量使用量为自变量，月通信总费用为因变量）；2.根据两款套餐的计费标准，分流量区间建立对应的分段一次函数；3.求解两个费用函数相等时的自变量值，找到两款套餐费用相同的临界点；4.比较不同流量区间内两个函数的大小，划分出各套餐更实惠的流量范围；5.结合用户实际流量使用量给出决策建议。
【解析】
选取两款主流个人手机套餐建模分析：
已知套餐1：基础月费29元，含20GB通用流量，流量超出后单价5元/GB，通话免费；
套餐2：基础月费49元，含50GB通用流量，流量超出后单价3元/GB，通话免费。
设用户月通用流量使用量为$x$ GB，月通信总费用为$y$元。
1. 建立费用函数：
套餐1：当$0 ≤ x ≤ 20$时，$y_1 = 29$；当$x＞20$时，$y_1 = 29 + 5(x-20) = 5x -71$。
套餐2：当$0 ≤ x ≤50$时，$y_2 =49$；当$x＞50$时，$y_2 =49 +3(x-50)=3x -101$。
2. 比较费用大小：
①当$0 ≤x ≤20$时，$y_1=29＜y_2=49$，套餐1更实惠；
②当$20＜x ≤50$时，令$5x-71=49$，解得$x=24$。因此：$20＜x＜24$时套餐1实惠，$x=24$时费用相同，$24＜x ≤50$时套餐2实惠；
③当$x＞50$时，令$5x-71=3x-101$，解得$x=-15$（不符合实际），此时$y_2＜y_1$恒成立，套餐2实惠。
3. 决策建议：根据用户实际月流量使用量，对照上述区间选择对应最实惠的套餐。
【答案】
若用户月流量使用量小于24GB，选择套餐1更划算；若用户月流量使用量等于24GB，两款套餐花费一致，可按需选择；若用户月流量使用量大于24GB，选择套餐2更划算。
【知识点】
分段一次函数、一元一次方程、一元一次不等式
【点评】
本题将一次函数知识与日常生活中的手机套餐选择相结合，通过建立数学模型解决实际决策问题，体现了数学的实用性，能培养学生的建模能力和应用意识，是理论联系实际的典型题目。
【难度系数】
0.6
本题是利用一次函数解决实际消费决策问题，核心是将套餐计费规则转化为分段一次函数模型。解题思路为：1.设定变量（月流量使用量为自变量，月通信总费用为因变量）；2.根据两款套餐的计费标准，分流量区间建立对应的分段一次函数；3.求解两个费用函数相等时的自变量值，找到两款套餐费用相同的临界点；4.比较不同流量区间内两个函数的大小，划分出各套餐更实惠的流量范围；5.结合用户实际流量使用量给出决策建议。
【解析】
选取两款主流个人手机套餐建模分析：
已知套餐1：基础月费29元，含20GB通用流量，流量超出后单价5元/GB，通话免费；
套餐2：基础月费49元，含50GB通用流量，流量超出后单价3元/GB，通话免费。
设用户月通用流量使用量为$x$ GB，月通信总费用为$y$元。
1. 建立费用函数：
套餐1：当$0 ≤ x ≤ 20$时，$y_1 = 29$；当$x＞20$时，$y_1 = 29 + 5(x-20) = 5x -71$。
套餐2：当$0 ≤ x ≤50$时，$y_2 =49$；当$x＞50$时，$y_2 =49 +3(x-50)=3x -101$。
2. 比较费用大小：
①当$0 ≤x ≤20$时，$y_1=29＜y_2=49$，套餐1更实惠；
②当$20＜x ≤50$时，令$5x-71=49$，解得$x=24$。因此：$20＜x＜24$时套餐1实惠，$x=24$时费用相同，$24＜x ≤50$时套餐2实惠；
③当$x＞50$时，令$5x-71=3x-101$，解得$x=-15$（不符合实际），此时$y_2＜y_1$恒成立，套餐2实惠。
3. 决策建议：根据用户实际月流量使用量，对照上述区间选择对应最实惠的套餐。
【答案】
若用户月流量使用量小于24GB，选择套餐1更划算；若用户月流量使用量等于24GB，两款套餐花费一致，可按需选择；若用户月流量使用量大于24GB，选择套餐2更划算。
【知识点】
分段一次函数、一元一次方程、一元一次不等式
【点评】
本题将一次函数知识与日常生活中的手机套餐选择相结合，通过建立数学模型解决实际决策问题，体现了数学的实用性，能培养学生的建模能力和应用意识，是理论联系实际的典型题目。
【难度系数】
0.6
