【变式1】(多选)若 $ a,b,c \in \mathbf{R} $,则下列命题为真命题的是 ()
A.若 $ a ＞ b,c ＞ d $,则 $ ac ＞ bd $
B.若 $ |a| ＞ |b| $,则 $ a^{2} ＞ b^{2} $
C.若 $ (a - b)c^{2} ＞ 0 $,则 $ a ＞ b $
D.若 $ \frac{1}{b} ＞ \frac{1}{|a|} $,则 $ a ＞ b $

BC 对于A，若$a＞b$，$c＞d$，取$a=0$，$b=-1$，$c=1$，$d=0$，则$ac=bd=0$，故A错误；对于B，若$|a|＞|b|$，不等式两边同时平方，则$a^{2}＞b^{2}$，故B正确；对于C，若$(a-b)c^{2}＞0$，则$a-b＞0$，所以$a＞b$，故C正确；对于D，若$\frac{1}{b}＞\frac{1}{|a|}$，取$b=1$，$a=-2$，则$a＜b$，故D错误。

【典例2】若 $ a ＞ b ＞ 0,c ＜ d ＜ 0,e ＜ 0 $,求证： $ \frac{e}{(a - c)^{2}} ＞ \frac{e}{(b - d)^{2}} $.

解题指导 第1步：判断 $ a - c $ 和 $ b - d $ 的大小,进而得出 $ (a - c)^{2} $ 和 $ (b - d)^{2} $ 的大小关系.
第2步：判断 $ \frac{1}{(a - c)^{2}} $ 和 $ \frac{1}{(b - d)^{2}} $ 的大小关系.
第3步：两边同时乘 $ e $,即可判断 $ \frac{e}{(a - c)^{2}} $ 和 $ \frac{e}{(b - d)^{2}} $ 的大小关系.
答案 证明：因为 $ c ＜ d ＜ 0 $,
所以 $ -c ＞ -d ＞ 0 $.
因为 $ a ＞ b ＞ 0 $,所以 $ a - c ＞ b - d ＞ 0 $,
所以 $ (a - c)^{2} ＞ (b - d)^{2} ＞ 0 $,
所以 $ 0 ＜ \frac{1}{(a - c)^{2}} ＜ \frac{1}{(b - d)^{2}} $.
因为 $ e ＜ 0 $,
所以 $ \frac{e}{(a - c)^{2}} ＞ \frac{e}{(b - d)^{2}} $.

【变式2】(1)已知 $ a ＞ b ＞ 0,c ＜ d ＜ 0 $,求证： $ \frac{b}{a - c} ＜ \frac{a}{b - d} $；

证明：(1)因为$c＜d＜0$，所以$-c＞-d＞0$。
因为$a＞b＞0$，所以$a-c＞b-d＞0$，所以$\frac{1}{b-d}＞\frac{1}{a-c}＞0$。
因为$a＞b＞0$，根据不等式的性质，得$\frac{a}{b-d}＞\frac{b}{a-c}$，即$\frac{b}{a-c}＜\frac{a}{b-d}$。

(2)(一题多解)已知 $ bc - ad \geqslant 0,bd ＞ 0 $,求证： $ \frac{a + b}{b} \leqslant \frac{c + d}{d} $.

(2)(一题多解)方法1(逆向推理)：因为$bd＞0$，要证$\frac{a+b}{b}≤\frac{c+d}{d}$，只需证明$d(a+b)≤b(c+d)$，即$ad+bd≤bc+bd$，即$ad≤bc$，即$bc-ad≥0$。
又因为$bc-ad≥0$，所以$\frac{a+b}{b}≤\frac{c+d}{d}$。
方法2(正向推理)：因为$bc-ad≥0$，$bd＞0$，所以$bc≥ad$，$\frac{1}{bd}＞0$，所以$\frac{c}{d}≥\frac{a}{b}$，所以$\frac{c}{d}+1≥\frac{a}{b}+1$，所以$\frac{c+d}{d}≥\frac{a+b}{b}$，即$\frac{a+b}{b}≤\frac{c+d}{d}$。

【典例3】(1)已知 $ -2 ＜ a \leqslant 3,1 \leqslant b ＜ 2 $,求 $ 2a - 3b $ 的取值范围；

(1) $ -10 \lt 2a - 3b \leq 3$；

(2)(一题多解)已知 $ 1 \leqslant a - b \leqslant 2,2 \leqslant a + b \leqslant 4 $,求 $ 4a - 2b $ 的取值范围.

(2) $ 5 \leq 4a - 2b \leq 10$。