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【学以致用3】(1)函数$y = x^{\frac{1}{3}}$的图象是()
答案
(1)B (2)A (1)由函数过定点$(1,1)$可排除选项AD。再根据$y = x^{\frac{1}{2}}$的图象在第一象限内上凸(抛物线型，开口向右)，排除选项C。
(2)若函数$f(x) = (m^{2} - m - 5)x^{m^{2} - 4m + 1}$为幂函数,且在区间$(0,+\infty)$上单调递增,则$m = $()
A. $-2$B. $3$C. $-2或3$D. $2或-3$
A. $-2$B. $3$C. $-2或3$D. $2或-3$
答案
(2)已知函数$f(x) = (m^2 - m - 5)x^{m^2 - 4m + 1}$为幂函数，且在区间$(0, +\infty)$上单调递增，所以$m^2 - m - 5 = 1$，且$m^2 - 4m + 1 ＞ 0$，解得$m = -2$或$m = 3$(舍去)。
【典例1】利用幂函数的性质,比较下列各题中值的大小：
(1)$2.3^{\frac{1}{2}}与2.4^{\frac{1}{2}}$；
(2)$0.6^{6}与0.35^{3}$；
(3)$4.1^{\frac{2}{5}},3.8^{-\frac{2}{3}},(-1.9)^{3}$.
(1)$2.3^{\frac{1}{2}}与2.4^{\frac{1}{2}}$；
(2)$0.6^{6}与0.35^{3}$；
(3)$4.1^{\frac{2}{5}},3.8^{-\frac{2}{3}},(-1.9)^{3}$.
答案
解题指导
(1)根据幂函数$y = x^{\frac{1}{2}}$的单调性进行判断.
(2)先将幂指数统一,再根据幂函数的单调性进行判断.
(3)判断各数与$0或1$的大小关系,通过比较得出答案.
答案
解：(1)$\because幂函数y = x^{\frac{1}{2}}在(0,+\infty)$上单调递增,且$2.3 \lt 2.4$,$\therefore 2.3^{\frac{1}{2}} \lt 2.4^{\frac{1}{2}}$.
(2)$\because 0.6^{6} = 0.36^{3}$,幂函数$y = x^{3}在(0,+\infty)$上单调递增,且$0.36 \gt 0.35$,
$\therefore 0.36^{3} \gt 0.35^{3}$,即$0.6^{6} \gt 0.35^{3}$.
(3)由题意,得$4.1^{\frac{2}{5}} \gt 1^{\frac{2}{5}} = 1$,$0 \lt 3.8^{-\frac{2}{3}} \lt 1^{-\frac{2}{3}} = 1$,$(-1.9)^{3} \lt 0$,
$\therefore (-1.9)^{3} \lt 3.8^{-\frac{2}{3}} \lt 4.1^{\frac{2}{5}}$.
(1)根据幂函数$y = x^{\frac{1}{2}}$的单调性进行判断.
(2)先将幂指数统一,再根据幂函数的单调性进行判断.
(3)判断各数与$0或1$的大小关系,通过比较得出答案.
答案
解：(1)$\because幂函数y = x^{\frac{1}{2}}在(0,+\infty)$上单调递增,且$2.3 \lt 2.4$,$\therefore 2.3^{\frac{1}{2}} \lt 2.4^{\frac{1}{2}}$.
(2)$\because 0.6^{6} = 0.36^{3}$,幂函数$y = x^{3}在(0,+\infty)$上单调递增,且$0.36 \gt 0.35$,
$\therefore 0.36^{3} \gt 0.35^{3}$,即$0.6^{6} \gt 0.35^{3}$.
(3)由题意,得$4.1^{\frac{2}{5}} \gt 1^{\frac{2}{5}} = 1$,$0 \lt 3.8^{-\frac{2}{3}} \lt 1^{-\frac{2}{3}} = 1$,$(-1.9)^{3} \lt 0$,
$\therefore (-1.9)^{3} \lt 3.8^{-\frac{2}{3}} \lt 4.1^{\frac{2}{5}}$.
