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【例1】如图,在Rt△ABC中,若∠C= 90°,AC= 5,BC= 12,则AB的长为
(
A.6
B.8
C.10
D.13
(
D
)A.6
B.8
C.10
D.13
答案
D
【练1】(1)在Rt△ABC中,若∠C= 90°,AB= 10,AC= 6,求BC的长；
(2)在Rt△ABC中,若AC= 9,BC= 12,求$AB^{2}$的值。
8
(2)在Rt△ABC中,若AC= 9,BC= 12,求$AB^{2}$的值。
225或63
答案
练1解:(1)在Rt△ABC中,根据勾股定理,得 $BC^{2}=AB^{2}-AC^{2}=10^{2}-6^{2}=64$，
$\therefore BC = 8$。
(2)当$\angle C = 90^{\circ}$时,根据勾股定理,得 $AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}=9^{2}+12^{2}=225$；
当$\angle A = 90^{\circ}$时,根据勾股定理,得 $AB^{2}=BC^{2}-AC^{2}=12^{2}-9^{2}=63$。
综上所述，$AB^{2}$的值为225或63。
【易错警示】已知直角三角形的两边求第三边或第三边的平方时，如果题目中没有说明这两条边是两条直角边还是一条直角边和一条斜边，那么要分两种情况讨论。不要误认为都是直角边，这样容易漏解。
$\therefore BC = 8$。
(2)当$\angle C = 90^{\circ}$时,根据勾股定理,得 $AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}=9^{2}+12^{2}=225$；
当$\angle A = 90^{\circ}$时,根据勾股定理,得 $AB^{2}=BC^{2}-AC^{2}=12^{2}-9^{2}=63$。
综上所述，$AB^{2}$的值为225或63。
【易错警示】已知直角三角形的两边求第三边或第三边的平方时，如果题目中没有说明这两条边是两条直角边还是一条直角边和一条斜边，那么要分两种情况讨论。不要误认为都是直角边，这样容易漏解。
【例2】1876年,美国第20任总统伽菲尔德利用如图所示的图形给出了一种证明勾股定理的方法,你能利用它证明勾股定理吗？写出你的证明过程。(提示：三个三角形均是直角三角形)
能。证明：由题图可得，$\frac{1}{2}(a + b)(a + b)=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^{2}$，$\therefore a^{2}+2ab + b^{2}=c^{2}+2ab$，$\therefore a^{2}+b^{2}=c^{2}$，即直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
答案
【解析】：根据直角梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和列出等式，然后通过化简等式来证明勾股定理。
【答案】：能。证明：由题图可得，$\frac{1}{2}(a + b)(a + b)=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^{2}$，$\therefore a^{2}+2ab + b^{2}=c^{2}+2ab$，$\therefore a^{2}+b^{2}=c^{2}$，即直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
【答案】：能。证明：由题图可得，$\frac{1}{2}(a + b)(a + b)=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^{2}$，$\therefore a^{2}+2ab + b^{2}=c^{2}+2ab$，$\therefore a^{2}+b^{2}=c^{2}$，即直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
