2. (2024 郑州二模)下面的三个问题中都有两个变量:
①某水池有水 $ 15\ m^3 $,现打开进水管进水,进水速度为 $ 5\ m^3/h $,$ x $ 小时后,这个水池有水 $ y\ m^3 $.
②某通信公司手机的 A 类收费标准为:每部手机每月必须交月租费 12 元,另外,通话费按 0.2 元/min 计.若一个月的通话时间为 $ x\ min $,应交费用为 $ y $ 元.
③用长度为 1 的铁丝围成一个矩形,设矩形的面积为 $ y $,其中一边长为 $ x $.
其中,变量 $ y $ 与变量 $ x $ 之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是(
A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③
①某水池有水 $ 15\ m^3 $,现打开进水管进水,进水速度为 $ 5\ m^3/h $,$ x $ 小时后,这个水池有水 $ y\ m^3 $.
②某通信公司手机的 A 类收费标准为:每部手机每月必须交月租费 12 元,另外,通话费按 0.2 元/min 计.若一个月的通话时间为 $ x\ min $,应交费用为 $ y $ 元.
③用长度为 1 的铁丝围成一个矩形,设矩形的面积为 $ y $,其中一边长为 $ x $.
其中,变量 $ y $ 与变量 $ x $ 之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是(
A
)A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③
答案
A
解析
① 水池初始有水 $15\ m^3$，进水速度为 $5\ m^3/h$，因此 $x$ 小时后水池的水量 $y$ 可以表示为：
$y = 15 + 5x$，
这是一个一次函数，且 $y$ 随 $x$ 的增加而增加，图象是一条从 $y$ 轴上 $15$ 点出发的斜线，与题目中的图象相符。
② A 类收费标准包括每月固定月租费 $12$ 元，加上通话费 $0.2$ 元/min，因此 $x$ 分钟通话时间的费用 $y$ 可以表示为：
$y = 12 + 0.2x$，
这也是一个一次函数，且 $y$ 随 $x$ 的增加而增加，图象是一条从 $y$ 轴上 $12$ 点出发的斜线，与题目中的图象相符。
③ 用长度为 $1$ 的铁丝围成一个矩形，设一边长为 $x$，则另一边长为 $\frac{1}{2} - x$（因为周长为 $1$，两边之和为 $\frac{1}{2}$）。矩形的面积 $y$ 可以表示为：
$y = x \left( \frac{1}{2} - x \right) = \frac{1}{2}x - x^2$，
这是一个二次函数，图象是一个抛物线，与题目中的图象不符。
综上所述，只有①和②的函数关系与题目中的图象相符。
$y = 15 + 5x$，
这是一个一次函数，且 $y$ 随 $x$ 的增加而增加，图象是一条从 $y$ 轴上 $15$ 点出发的斜线，与题目中的图象相符。
② A 类收费标准包括每月固定月租费 $12$ 元，加上通话费 $0.2$ 元/min，因此 $x$ 分钟通话时间的费用 $y$ 可以表示为：
$y = 12 + 0.2x$，
这也是一个一次函数，且 $y$ 随 $x$ 的增加而增加，图象是一条从 $y$ 轴上 $12$ 点出发的斜线，与题目中的图象相符。
③ 用长度为 $1$ 的铁丝围成一个矩形，设一边长为 $x$，则另一边长为 $\frac{1}{2} - x$（因为周长为 $1$，两边之和为 $\frac{1}{2}$）。矩形的面积 $y$ 可以表示为：
$y = x \left( \frac{1}{2} - x \right) = \frac{1}{2}x - x^2$，
这是一个二次函数，图象是一个抛物线，与题目中的图象不符。
综上所述，只有①和②的函数关系与题目中的图象相符。
3. 郑州新郑国际机场每天都有来自欧美、东南亚等地区的 10 多架飞机满载货物抵达,又有近 1 000 吨来自全国各地的货物从这里飞往全球.目前它的货运量已跻身全国第六、全球前四十,成为“空中丝绸之路”的重要节点.飞机在飞行过程中,所在位置的温度 $ T(^{\circ}C) $ 与距离地面的高度 $ h(km) $ 之间存在着一种关系,下表给出了部分统计数据,请根据下表,回答问题.
(1) 上表反映的两个变量中,
(2) 用关系式表示上表两个变量之间的关系:
(3) 为了更直观地研究飞机所在位置的温度随距离地面的高度的变化规律,将它们之间的关系用如图所示的图象表示,图中点 $ A $ 表示的意义是
(1) 上表反映的两个变量中,
距离地面的高度$h$
是自变量,所在位置的温度$T$
是因变量.利用表格我们可以直接看出飞机所在位置的温度和距离地面的高度的对应值,如当飞机距离地面的高度为 $ 2\ km $ 时,所在位置的温度为8
$^{\circ}C$.(2) 用关系式表示上表两个变量之间的关系:
$T=-6h + 20$
;利用关系式,我们可以方便地求出表格中没有给出的任何数值,如当 $ h = 9\ km $ 时,所在位置的温度 $ T = $_________$^{\circ}C$.(3) 为了更直观地研究飞机所在位置的温度随距离地面的高度的变化规律,将它们之间的关系用如图所示的图象表示,图中点 $ A $ 表示的意义是
当距离地面的高度为$5\ \mathrm{km}$时，所在位置的温度为$-10^{\circ}C$
.答案
(1) 距离地面的高度$h$；所在位置的温度$T$；8
(2)$T=-6h + 20$；-34
(3) 当距离地面的高度为$5\ \mathrm{km}$时，所在位置的温度为$-10^{\circ}C$
(2)$T=-6h + 20$；-34
(3) 当距离地面的高度为$5\ \mathrm{km}$时，所在位置的温度为$-10^{\circ}C$
解析
(1) 自变量是主动变化的量，因变量是随自变量变化而变化的量，故距离地面的高度$h$是自变量，所在位置的温度$T$是因变量；由表格知，当$h = 2\ \mathrm{km}$时，$T = 8^{\circ}C$。
(2) 设$T = kh + b$，将$(0,20)$，$(1,14)$代入得$\begin{cases}b = 20\\k + b = 14\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-6\\b = 20\end{cases}$，所以$T=-6h + 20$；当$h = 9$时，$T=-6×9 + 20=-34$。
(3) 观察图象，点$A$的横纵坐标分别对应高度和温度，故表示当距离地面的高度为$5\ \mathrm{km}$时，所在位置的温度为$-10^{\circ}C$。
(2) 设$T = kh + b$，将$(0,20)$，$(1,14)$代入得$\begin{cases}b = 20\\k + b = 14\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-6\\b = 20\end{cases}$，所以$T=-6h + 20$；当$h = 9$时，$T=-6×9 + 20=-34$。
(3) 观察图象，点$A$的横纵坐标分别对应高度和温度，故表示当距离地面的高度为$5\ \mathrm{km}$时，所在位置的温度为$-10^{\circ}C$。
4. (2025 郑州一模)硫酸钠 $ (Na_2SO_4) $ 是一种无机化合物,在工业、农业、食品、医疗等多个领域发挥重要作用.硫酸钠在 $ 100\ g $ 水中的溶解度 $ y(g) $ 与温度 $ t(^{\circ}C) $ 之间的对应关系如图所示,则下列说法正确的是(
A.当温度为 $ 0\ ^{\circ}C $ 时,硫酸钠在水中不溶解
B.硫酸钠的溶解度随着温度的升高而增大
C.$ 0\ ^{\circ}C \sim 20\ ^{\circ}C $ 时,温度每升高 $ 1\ ^{\circ}C $,硫酸钠溶解度的增加量不相同
D.要使硫酸钠的溶解度不低于 $ 43.7\ g $,温度应控制在 $ 40\ ^{\circ}C \sim 80\ ^{\circ}C $
C
)A.当温度为 $ 0\ ^{\circ}C $ 时,硫酸钠在水中不溶解
B.硫酸钠的溶解度随着温度的升高而增大
C.$ 0\ ^{\circ}C \sim 20\ ^{\circ}C $ 时,温度每升高 $ 1\ ^{\circ}C $,硫酸钠溶解度的增加量不相同
D.要使硫酸钠的溶解度不低于 $ 43.7\ g $,温度应控制在 $ 40\ ^{\circ}C \sim 80\ ^{\circ}C $
答案
C
解析
A.0℃时溶解度为19.5g，并非不溶解，A错误；B.溶解度先随温度升高增大（0-40℃），后减小（40℃后），B错误；C.0℃～20℃图像为曲线，溶解度增加量随温度变化非均匀，C正确；D.溶解度不低于43.7g时，温度范围应包括40℃左侧某区间及40℃～80℃，D错误。
5. (2025 郑州模拟)如图所示为某新款茶吧机,开机加热时每分钟上升 $ 20\ ^{\circ}C $,加热到 $ 100\ ^{\circ}C $,停止加热,水温开始下降,此时水温 $ y(^{\circ}C) $ 与通电时间 $ x(min) $ 成反比例关系.当水温降至 $ 20\ ^{\circ}C $ 时,饮水机再自动加热,若水温在 $ 20\ ^{\circ}C $ 时接通电源,水温 $ y $ 与通电时间 $ x $ 之间的关系如图所示,则下列说法中错误的是(
A.水温从 $ 20\ ^{\circ}C $ 加热到 $ 100\ ^{\circ}C $,需要 $ 4\ min $
B.刚开机时,水温上升过程中,$ y $ 与 $ x $ 的函数关系式是 $ y = 20x + 20 $
C.在一个加热周期内,水温不低于 $ 40\ ^{\circ}C $ 的时间为 $ 9\ min $
D.上午 10 点接通电源,可以保证当天 $ 11:30 $ 能喝到不低于 $ 45\ ^{\circ}C $ 的水
D
)A.水温从 $ 20\ ^{\circ}C $ 加热到 $ 100\ ^{\circ}C $,需要 $ 4\ min $
B.刚开机时,水温上升过程中,$ y $ 与 $ x $ 的函数关系式是 $ y = 20x + 20 $
C.在一个加热周期内,水温不低于 $ 40\ ^{\circ}C $ 的时间为 $ 9\ min $
D.上午 10 点接通电源,可以保证当天 $ 11:30 $ 能喝到不低于 $ 45\ ^{\circ}C $ 的水
答案
D
解析
选项A：加热温度变化量100-20=80°C，时间=80÷20=4min，A正确。
选项B：加热阶段为一次函数，初始y=20，斜率20，关系式y=20x+20（x∈[0,4]），B正确。
选项C：一个周期为0-20min（加热4min，降温16min）。加热阶段：20x+20≥40→x≥1，时间4-1=3min；降温阶段：y=400/x≥40→x≤10（x∈[4,20]），时间10-4=6min。总时间3+6=9min，C正确。
选项D：10点到11:30为90min，周期20min，90=4×20+10，第5周期前10min：20-24min加热，24-100min降温（y=2400/x），x=90时y=2400/90≈26.67°C＜45°C，D错误。
选项B：加热阶段为一次函数，初始y=20，斜率20，关系式y=20x+20（x∈[0,4]），B正确。
选项C：一个周期为0-20min（加热4min，降温16min）。加热阶段：20x+20≥40→x≥1，时间4-1=3min；降温阶段：y=400/x≥40→x≤10（x∈[4,20]），时间10-4=6min。总时间3+6=9min，C正确。
选项D：10点到11:30为90min，周期20min，90=4×20+10，第5周期前10min：20-24min加热，24-100min降温（y=2400/x），x=90时y=2400/90≈26.67°C＜45°C，D错误。
