1. 请写出一个图象经过原点的函数的解析式：.

$y = x$（答案不唯一）

设函数解析式为$y = kx + b$（一次函数形式，也可设为其他函数形式），因为图象过原点$(0,0)$，将$x = 0$，$y = 0$代入$y = kx + b$中，可得$0 = k×0 + b$，解得$b = 0$，$k$可以为非零实数，不妨取$k = 1$，此时函数解析式为$y = x$（答案不唯一）。

2. 请写出一个y随x的增大而减小的一次函数的表达式：.

$y=-x$（答案不唯一，只要$k＜0$即可）

一次函数的一般式为$y = kx + b$（$k$，$b$为常数，$k≠0$），当$k ＜ 0$时，$y$随$x$的增大而减小。取$k=-1$，$b=0$，可得函数表达式$y=-x$。

3. 一个函数的图象经过点$(1,3)$，且y随x的增大而减小，请写出一个符合上述条件的函数表达式：.

$y=-x+4$（答案不唯一）

设函数表达式为一次函数$y=kx+b$（$k\neq0$），因为$y$随$x$的增大而减小，所以$k\lt0$，取$k=-1$，则$y=-x+b$。将点$(1,3)$代入得$3=-1+b$，解得$b=4$，所以函数表达式可以是$y=-x+4$。

4. (2025郑州模拟)植物研究者在研究某种植物1~5年内的植株高度时，将得到的数据用如图直观表示.现要根据这些数据选用函数模型来描述这种植物在1~5年内的生长规律.若选择$y=ax^{2}+bx+c$，则a0，b0；若选择函数$y=\frac{a}{x}+b$，则a0，b0.依次填入的不等号为()


A.＜，＞，＜，＞
B.＜，＞，＞，＜
C.＞，＜，＜，＞
D.＞，＞，＜，＜

A

对于二次函数$y = ax^2 + bx + c$，植物高度随生长阶段$x$增大而增长，且增长速度逐渐变慢，说明函数图像下凸（二阶导数为负），故$a ＜ 0$；又因在$1 - 5$年内$y$随$x$递增，对称轴$x=-\frac{b}{2a}$需在$x=5$右侧，且$a ＜ 0$，则$b ＞ 0$。
对于函数$y = \frac{a}{x} + b$，$y$随$x$增大而增大，反比例部分$\frac{a}{x}$需为增函数，故$a ＜ 0$；当$x$趋近于正无穷时，$y$趋近于$b$，植物高度最终趋于稳定，故$b ＞ 0$。
综上，依次填入＜，＞，＜，＞。

5. 为研究某种化学试剂的挥发情况，某研究团队在两种不同的场景下做对比实验，收集了该试剂挥发过程中剩余质量y(克)随时间x(分钟)变化的数据$(0\leqslant x\leqslant 20)$，并分别绘制在直角坐标系中，如图所示.

(1)从$y=ax+21(a\neq 0)$，$y=-0.04x^{2}+bx+c$中，选择适当的函数模型分别模拟两种场景下y随x变化的函数关系，并求出相应的函数表达式.
(2)查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为3克.在上述实验中，该化学试剂在哪种场景下发挥作用的时间更长?

(1)场景A：$y=-0.04x^2 -0.1x +21$；场景B：$y=-x +21$；(2)场景A

(1)场景B中，x每增加5，y减少5，变化率恒定，适合一次函数$y=ax+21$。将$(5,16)$代入得$16=5a+21$，解得$a=-1$，故场景B函数为$y=-x+21$。
场景A数据非线性，适合二次函数$y=-0.04x^2+bx+c$。将$(5,19.5)$、$(10,16)$代入：
$\begin{cases}19.5=-0.04×25+5b+c \\ 16=-0.04×100+10b+c\end{cases}$，即$\begin{cases}5b+c=20.5 \\ 10b+c=20\end{cases}$，解得$b=-0.1$，$c=21$，故场景A函数为$y=-0.04x^2 -0.1x +21$。
(2)场景B：令$y=3$，则$3=-x+21$，解得$x=18$。
场景A：令$y=3$，则$-0.04x^2 -0.1x +21=3$，整理得$2x^2 +5x -900=0$，解得$x=20$（负根舍去）。
因为$20＞18$，所以场景A发挥作用时间更长。