二、解直角三角形
1. 定义
一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角。由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形。
2. 直角三角形中的边、角关系
如图，在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle A$，$\angle B$，$\angle C$ 所对的边分别为 $a$，$b$，$c$。
(1)三边之间的关系：$a^2 + b^2 = c^2$ (勾股定理)。
(2)锐角之间的关系：$\angle A + \angle B = 90^{\circ}$ (直角三角形的两个锐角互余)。
(3)边角之间的关系(锐角三角函数)：
$\sin A = \frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{a}{c}$，$\cos A = $
$\sin B = \frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{b}{c}$，$\cos B = \frac{\mathrm{邻边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{a}{c}$，$\tan B = \frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}} = \frac{b}{a}$。
注：知道其中的两个元素(至少有一个是边)，就可以求出其余三个未知元素。(知二推三)
1. 定义
一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角。由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形。
2. 直角三角形中的边、角关系
如图，在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle A$，$\angle B$，$\angle C$ 所对的边分别为 $a$，$b$，$c$。
(1)三边之间的关系：$a^2 + b^2 = c^2$ (勾股定理)。
(2)锐角之间的关系：$\angle A + \angle B = 90^{\circ}$ (直角三角形的两个锐角互余)。
(3)边角之间的关系(锐角三角函数)：
$\sin A = \frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{a}{c}$，$\cos A = $
$\frac{\mathrm{邻边}}{\mathrm{斜边}}$
，$\tan A = $$\frac{a}{b}$
；$\sin B = \frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{b}{c}$，$\cos B = \frac{\mathrm{邻边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{a}{c}$，$\tan B = \frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}} = \frac{b}{a}$。
注：知道其中的两个元素(至少有一个是边)，就可以求出其余三个未知元素。(知二推三)
答案
$\frac{\mathrm{邻边}}{\mathrm{斜边}} $ $\frac{a}{b}$
解析
4. (北师九下 P17 改编) 在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle A$，$\angle B$，$\angle C$ 所对的边分别为 $a$，$b$，$c$，根据下列条件求出直角三角形的其他元素：
(1) $a = 19$，$c = 19\sqrt{2}$；
解：在 $Rt\triangle ABC$ 中，$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，$a = 19$，$c = 19\sqrt{2}$，
$\therefore b=\sqrt{c^{2}\underline{$
$\because\sin B=\frac{b}{(\underline{$
(2) $a = 36$，$\angle B = 30^{\circ}$。
解：在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle B = 30^{\circ}$，所以$\angle A=180^{\circ}-\angle C-\angle B=180^{\circ}-90^{\circ}-30^{\circ} = 60^{\circ}$。
因为$\sin B=\frac{b}{c}=\frac{1}{2}$，即$c = 2b$，又$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，$a = 36$，将$c = 2b$代入$a^{2}+b^{2}=c^{2}$得：
$36^{2}+b^{2}=(2b)^{2}$
$1296 + b^{2}=4b^{2}$
$3b^{2}=1296$
$b^{2}=432$
$b = 12\sqrt{3}$
$c = 2b = 24\sqrt{3}$。
(1) $a = 19$，$c = 19\sqrt{2}$；
解：在 $Rt\triangle ABC$ 中，$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，$a = 19$，$c = 19\sqrt{2}$，
$\therefore b=\sqrt{c^{2}\underline{$
-
$}a^{2}}=\sqrt{\underline{$19\sqrt{2}$
}^{2}-\underline{$19
$}^{2}}=\underline{$19
$}$.$\because\sin B=\frac{b}{(\underline{$
c
$})}=\frac{(\underline{$19
$})}{19\sqrt{2}}=\underline{$\frac{\sqrt{2}}{2}$
}$, $\therefore\angle B=\underline{$45
$}^{\circ}$. $\therefore\angle A=\underline{$45
$}^{\circ}$.(2) $a = 36$，$\angle B = 30^{\circ}$。
解：在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle B = 30^{\circ}$，所以$\angle A=180^{\circ}-\angle C-\angle B=180^{\circ}-90^{\circ}-30^{\circ} = 60^{\circ}$。
因为$\sin B=\frac{b}{c}=\frac{1}{2}$，即$c = 2b$，又$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，$a = 36$，将$c = 2b$代入$a^{2}+b^{2}=c^{2}$得：
$36^{2}+b^{2}=(2b)^{2}$
$1296 + b^{2}=4b^{2}$
$3b^{2}=1296$
$b^{2}=432$
$b = 12\sqrt{3}$
$c = 2b = 24\sqrt{3}$。
答案
$(1)$
在$Rt\triangle ABC$中，$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，$a = 19$，$c = 19\sqrt{2}$，
$\therefore b=\sqrt{c^{2}-a^{2}}=\sqrt{(19\sqrt{2})^{2}-19^{2}} = 19$。
$\because\sin B=\frac{b}{c}=\frac{19}{19\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\therefore\angle B = 45^{\circ}$。$\therefore\angle A=45^{\circ}$。
$(2)$
解：在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle B = 30^{\circ}$，所以$\angle A=180^{\circ}-\angle C-\angle B=180^{\circ}-90^{\circ}-30^{\circ} = 60^{\circ}$。
因为$\sin B=\frac{b}{c}=\frac{1}{2}$，即$c = 2b$，又$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，$a = 36$，将$c = 2b$代入$a^{2}+b^{2}=c^{2}$得：
$36^{2}+b^{2}=(2b)^{2}$
$1296 + b^{2}=4b^{2}$
$3b^{2}=1296$
$b^{2}=432$
$b = 12\sqrt{3}$
$c = 2b = 24\sqrt{3}$。
综上，$(1)$依次填$-$；$19\sqrt{2}$；$19$；$19$；$c$；$19$；$\frac{\sqrt{2}}{2}$；$45$；$45$；$(2)$$\boldsymbol{\angle A = 60^{\circ}}$，$\boldsymbol{b = 12\sqrt{3}}$，$\boldsymbol{c = 24\sqrt{3}}$。
在$Rt\triangle ABC$中，$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，$a = 19$，$c = 19\sqrt{2}$，
$\therefore b=\sqrt{c^{2}-a^{2}}=\sqrt{(19\sqrt{2})^{2}-19^{2}} = 19$。
$\because\sin B=\frac{b}{c}=\frac{19}{19\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\therefore\angle B = 45^{\circ}$。$\therefore\angle A=45^{\circ}$。
$(2)$
解：在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle B = 30^{\circ}$，所以$\angle A=180^{\circ}-\angle C-\angle B=180^{\circ}-90^{\circ}-30^{\circ} = 60^{\circ}$。
因为$\sin B=\frac{b}{c}=\frac{1}{2}$，即$c = 2b$，又$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，$a = 36$，将$c = 2b$代入$a^{2}+b^{2}=c^{2}$得：
$36^{2}+b^{2}=(2b)^{2}$
$1296 + b^{2}=4b^{2}$
$3b^{2}=1296$
$b^{2}=432$
$b = 12\sqrt{3}$
$c = 2b = 24\sqrt{3}$。
综上，$(1)$依次填$-$；$19\sqrt{2}$；$19$；$19$；$c$；$19$；$\frac{\sqrt{2}}{2}$；$45$；$45$；$(2)$$\boldsymbol{\angle A = 60^{\circ}}$，$\boldsymbol{b = 12\sqrt{3}}$，$\boldsymbol{c = 24\sqrt{3}}$。
