1. (2025 鹤壁模拟) 如图，在等腰三角形 $ ABC $ 中，$ AB = AC $，$ BD $ 为 $ AC $ 边上的高，$ AE // BD $，交 $ CB $ 的延长线于点 $ E $。若 $ \angle BAC = 70° $，则 $ \angle AEC $ 的度数为()

A.$ 30° $
B.$ 20° $
C.$ 35° $
D.$ 25° $

C

1. 首先求$\angle ACB$的度数：
因为$AB = AC$，$\angle BAC = 70^{\circ}$，根据等腰三角形内角和公式$\angle B=\angle ACB=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle BAC)$。
所以$\angle ACB=\frac{1}{2}(180 - 70)^{\circ}=55^{\circ}$。
2. 然后求$\angle CBD$的度数：
因为$BD⊥ AC$，所以$\angle BDC = 90^{\circ}$。
在$\triangle BCD$中，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，$\angle CBD=180^{\circ}-\angle BDC-\angle ACB$。
把$\angle BDC = 90^{\circ}$，$\angle ACB = 55^{\circ}$代入得$\angle CBD=180 - 90 - 55=35^{\circ}$。
3. 最后求$\angle AEC$的度数：
因为$AE// BD$，根据两直线平行，内错角相等，所以$\angle AEC=\angle CBD$。
所以$\angle AEC = 35^{\circ}$。
综上，答案是C。

2. (2025 长沙改编) 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ AB = AC $，$ \angle B = 72° $，$ CD $ 平分 $ \angle ACB $，交 $ AB $ 于点 $ D $。若 $ BC = 2.5 $，则 $ AD $ 的长为。

2.5

∵AB=AC，∠B=72°，∴∠ACB=∠B=72°，∠A=180°-2×72°=36°。
∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD=36°。
在△BCD中，∠BDC=180°-∠B-∠BCD=180°-72°-36°=72°，∴∠BDC=∠B，故BC=CD=2.5。
在△ACD中，∠A=∠ACD=36°，∴AD=CD=2.5。

3. (2025 平顶山三模) 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ AB = AC $，$ AD ⊥ BC $ 于点 $ D $，$ AD $ 与中线 $ BE $ 相交于点 $ G $，$ AD = 18 $，$ GE = 5 $，则 $ BC $ 的长为()

A.$ 16 $

B.$ 14 $
C.$ 18 $
D.$ 20 $

A

在等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，故AD为中线（三线合一），BE为中线，交点G为重心。重心性质：BG:GE=2:1，AG:GD=2:1。
已知GE=5，则BG=2×5=10，BE=15。AD=18，故AG=12，GD=6。
设D为原点，BC在x轴，B(-x,0)，C(x,0)，A(0,18)。E为AC中点，坐标为(x/2,9)。
G为重心，坐标(0,6)。GE距离为5，由坐标得：√[(x/2 - 0)² + (9 - 6)²]=5，即√(x²/4 + 9)=5。
平方得x²/4=16，x=8，BC=2x=16。

4. (2025 周口二模) 如图，$ B $，$ E $，$ C $，$ F $ 是直线 $ l $ 上的四点，$ AC $，$ DE $ 相交于点 $ G $，$ AB = DF $，$ AC = DE $，$ BC = EF $。
(1) 求证：$ \triangle GEC $ 是等腰三角形；
(2) 连接 $ AD $，则 $ AD $ 与 $ l $ 的位置关系是。

(1)证明见解析；(2)平行

(1)在△ABC和△DFE中，∵AB=DF，AC=DE，BC=EF，∴△ABC≌△DFE(SSS)。∴∠ACB=∠DEF。∵∠ACB=∠GCE，∠DEF=∠GEC，∴∠GCE=∠GEC。∴GE=GC，即△GEC是等腰三角形。
(2)由△ABC≌△DFE得∠ABC=∠DFE，AB=DF，∴AB//DF。又AB=DF，∴四边形ABFD是平行四边形，∴AD//BF。∵B、F在直线l上，∴AD//l。

5. (2025 信阳二模) 如图，直线 $ l // m // n $，等边三角形 $ ABC $ 的顶点 $ B $，$ C $ 分别在直线 $ n $ 和 $ m $ 上，边 $ BC $ 与直线 $ n $ 所夹的角为 $ \angle 1 = 29° $，则 $ \angle 2 $ 的度数为()

A.$ 29° $
B.$ 41° $
C.$ 31° $
D.$ 30° $

C

∵直线$m // n$，$BC$与$n$的夹角$\angle 1 = 29^{\circ}$，
∴$BC$与$m$的夹角为$29^{\circ}$（两直线平行，内错角相等）。
∵$\triangle ABC$是等边三角形，$\angle ACB = 60^{\circ}$，
∴$AC$与$m$的夹角为$60^{\circ}-29^{\circ}=31^{\circ}$。
∵直线$l // m$，
∴$\angle 2$（$AC$与$l$的夹角）等于$AC$与$m$的夹角（两直线平行，内错角相等），即$\angle 2 = 31^{\circ}$。

6. (2025 广西) 如图，点 $ A $，$ D $ 在 $ BC $ 同侧，$ AB = BC = CA = 2 $，$ BD = CD = \sqrt{2} $，则 $ AD = $。

√3 - 1

以BC中点为原点，BC所在直线为x轴建立坐标系。B(-1,0)，C(1,0)，BC中点O(0,0)。
ABC为等边三角形，高AO=√(2²-1²)=√3，故A(0,√3)。
D在BC垂直平分线上，设D(0,k)，BD=√2，由距离公式得√[(-1-0)²+(0-k)²]=√2，解得k=1（同侧取正），即D(0,1)。
AD=|√3 - 1|=√3 - 1。

7. (2025 甘肃) 如图，把平行四边形纸片 $ ABCD $ 沿对角线 $ AC $ 折叠，点 $ B $ 落在点 $ B' $ 处，$ B'C $ 与 $ AD $ 相交于点 $ E $，此时 $ \triangle CDE $ 恰为等边三角形。若 $ AB = 6 \mathrm{ cm} $，则 $ AD = $$ \mathrm{cm} $。

12

在平行四边形$ABCD$中，$AB=CD=6\mathrm{cm}$，$AD// BC$，$\angle B=\angle D$。
沿$AC$折叠后，$\triangle ABC\cong\triangle AB'C$，则$\angle ACB=\angle ACB'$，$BC=B'C$。
$\because\triangle CDE$是等边三角形，$\therefore CD=DE=CE=6\mathrm{cm}$，$\angle D=60°$，$\angle DEC=60°$。
$\because AD// BC$，$\therefore\angle DAC=\angle ACB$，又$\angle ACB=\angle ACB'$，$\therefore\angle DAC=\angle ACB'$，故$AE=CE=6\mathrm{cm}$。
$\angle AEB'=\angle DEC=60°$，$\angle B'=\angle B=\angle D=60°$，$\therefore\triangle AB'E$是等边三角形，$AE=AB'=AB=6\mathrm{cm}$。
$\therefore AD=AE+ED=6+6=12\mathrm{cm}$。

8. (北师八下 P34 改编) 如图，$ \triangle ABC $ 是等边三角形，$ BD ⊥ AC $，$ CE ⊥ AB $，垂足分别为 $ D $，$ E $，$ BD $，$ CE $ 相交于点 $ O $，连接 $ DE $。
(1) 试判断 $ \triangle ADE $ 的形状，并说明理由；
(2) 若 $ OC = 12 $，求 $ OE $ 的长。

(1)等边三角形；(2)6

(1)△ADE是等边三角形。理由：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠A=60°。∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴D，E分别为AC，AB中点（等边三角形高平分对边），∴AD=1/2AC，AE=1/2AB，∴AD=AE。又∠A=60°，∴△ADE是等边三角形。
(2)∵△ABC是等边三角形，CE⊥AB，∴∠BCE=30°（直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半）。在Rt△OEC中，∠OEC=90°，∠OCE=30°，∴OE=1/2OC。∵OC=12，∴OE=6。