登录
【拓展母题】如图，在$△ ABC$中，$∠ A = α$.如果$BD$是$△ ABC$的内角$∠ ABC$的平分线，$CD$是$△ ABC$的外角$∠ ACE$的平分线，且$BD$与$CD$相交于点$D$，试用含$α$的式子表示$∠ D$的度数.
答案
解:
∵BD 是∠ABC 的平分线,CD 是∠ACE 的平分线,
∴∠DBC=1/2∠ABC,∠DCE=1/2∠ACE.
∵∠ACE=∠ABC+∠A,∠DCE=∠DBC+∠D,
即 2∠DCE=∠ABC+∠A,
∴2(∠DBC+∠D)=∠ABC+∠A,
∴∠ABC+2∠D=∠ABC+∠A,
∴∠D=1/2∠A=1/2α.
∵BD 是∠ABC 的平分线,CD 是∠ACE 的平分线,
∴∠DBC=1/2∠ABC,∠DCE=1/2∠ACE.
∵∠ACE=∠ABC+∠A,∠DCE=∠DBC+∠D,
即 2∠DCE=∠ABC+∠A,
∴2(∠DBC+∠D)=∠ABC+∠A,
∴∠ABC+2∠D=∠ABC+∠A,
∴∠D=1/2∠A=1/2α.
解析
【分析】
要推导∠D和∠A的关系，首先从已知的两条角平分线入手，根据角平分线的定义可得∠DBC与∠ABC、∠DCE与∠ACE的倍分关系；再结合三角形外角的性质，分别得到∠ACE与△ABC内角的关系、∠DCE与△BCD内角的关系，将两组关系联立，消去∠ABC相关的公共量，即可得到∠D和∠A的数量关系。
【解析】
∵BD是∠ABC的平分线，CD是∠ACE的平分线，
∴∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠DCE=$\frac{1}{2}$∠ACE（角平分线的定义）。
∵∠ACE是△ABC的外角，∠DCE是△BCD的外角，
∴∠ACE=∠ABC+∠A，∠DCE=∠DBC+∠D（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）。
将∠ACE=2∠DCE代入∠ACE=∠ABC+∠A，得：
2∠DCE=∠ABC+∠A，
再把∠DCE=∠DBC+∠D代入上式，得：
2(∠DBC+∠D)=∠ABC+∠A，
又
∵2∠DBC=∠ABC，代入得：
∠ABC + 2∠D = ∠ABC + ∠A，
化简得2∠D=∠A，
∴∠D=$\frac{1}{2}$∠A=$\frac{1}{2}$α。
【答案】
$\boldsymbol{∠D=\frac{1}{2}α}$
【知识点】
1. 角平分线的定义
2. 三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形内、外角平分线夹角的经典模型题，解题核心是利用角平分线得到角的倍分关系，结合三角形外角性质建立角度等式，通过等量代换消去未知角即可得到结论，熟记该模型结论可以提升同类型角度计算题的解题效率。
【难度系数】
0.7
要推导∠D和∠A的关系，首先从已知的两条角平分线入手，根据角平分线的定义可得∠DBC与∠ABC、∠DCE与∠ACE的倍分关系；再结合三角形外角的性质，分别得到∠ACE与△ABC内角的关系、∠DCE与△BCD内角的关系，将两组关系联立，消去∠ABC相关的公共量，即可得到∠D和∠A的数量关系。
【解析】
∵BD是∠ABC的平分线，CD是∠ACE的平分线，
∴∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠DCE=$\frac{1}{2}$∠ACE（角平分线的定义）。
∵∠ACE是△ABC的外角，∠DCE是△BCD的外角，
∴∠ACE=∠ABC+∠A，∠DCE=∠DBC+∠D（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）。
将∠ACE=2∠DCE代入∠ACE=∠ABC+∠A，得：
2∠DCE=∠ABC+∠A，
再把∠DCE=∠DBC+∠D代入上式，得：
2(∠DBC+∠D)=∠ABC+∠A，
又
∵2∠DBC=∠ABC，代入得：
∠ABC + 2∠D = ∠ABC + ∠A，
化简得2∠D=∠A，
∴∠D=$\frac{1}{2}$∠A=$\frac{1}{2}$α。
【答案】
$\boldsymbol{∠D=\frac{1}{2}α}$
【知识点】
1. 角平分线的定义
2. 三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形内、外角平分线夹角的经典模型题，解题核心是利用角平分线得到角的倍分关系，结合三角形外角性质建立角度等式，通过等量代换消去未知角即可得到结论，熟记该模型结论可以提升同类型角度计算题的解题效率。
【难度系数】
0.7
变式题组
(1)[条件变式]如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AE$是$△ ABC$的外角$∠ BAD$的平分线，$BF$平分$∠ ABC$，且与$AE$的反向延长线相交于点$F$，则$∠ BFE$的度数为
变式题(1)图
(2)[逆向变式]如图，$∠ ACD$是$△ ABC$的外角，$∠ ABC$的平分线与$∠ ACD$的平分线交于点$A_1$，$∠ A_1BD$的平分线与$∠ A_1CD$的平分线交于点$A_2$.若$∠ A_2=15°$，则$∠ A=$
变式题(2)图
(1)[条件变式]如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AE$是$△ ABC$的外角$∠ BAD$的平分线，$BF$平分$∠ ABC$，且与$AE$的反向延长线相交于点$F$，则$∠ BFE$的度数为
45°
.变式题(1)图
(2)[逆向变式]如图，$∠ ACD$是$△ ABC$的外角，$∠ ABC$的平分线与$∠ ACD$的平分线交于点$A_1$，$∠ A_1BD$的平分线与$∠ A_1CD$的平分线交于点$A_2$.若$∠ A_2=15°$，则$∠ A=$
60
°.变式题(2)图
答案
(1)45° (2)60
解析
【分析】
(1)解题思路：首先利用三角形外角的性质，写出△ABC的外角∠BAD与∠C、∠ABC的关系；再结合角平分线的定义，分别表示出AE平分∠BAD后的角、BF平分∠ABC后的角；最后观察到∠DAE是△ABF的外角，再次利用外角性质建立等式，消去公共的角分量即可求出∠BFE的度数。
(2)解题思路：先根据三角形外角性质，得出∠ACD与∠A、∠ABC的关系；再结合角平分线定义，推导得出∠A₁与∠A的数量关系；同理推出∠A₂与∠A的数量关系，最后代入已知的∠A₂的度数，逆推计算即可得到∠A的度数。
【解析】
(1)
∵∠BAD是△ABC的外角，∠C=90°
∴∠BAD=∠C+∠ABC=90°+∠ABC
∵AE平分∠BAD
∴∠DAE=½∠BAD=½(90°+∠ABC)=45°+½∠ABC
∵BF平分∠ABC
∴∠ABF=½∠ABC
又
∵∠DAE是△ABF的外角
∴∠DAE=∠BFE+∠ABF
代入得：45°+½∠ABC = ∠BFE + ½∠ABC
化简得∠BFE=45°
(2)
∵∠ACD是△ABC的外角
∴∠ACD=∠A+∠ABC
∵BA₁平分∠ABC，CA₁平分∠ACD
∴∠A₁BC=½∠ABC，∠A₁CD=½∠ACD
∵∠A₁CD是△A₁BC的外角
∴∠A₁=∠A₁CD - ∠A₁BC = ½∠ACD - ½∠ABC = ½(∠ACD - ∠ABC)=½∠A
同理可得：∠A₂=½∠A₁=¼∠A
已知∠A₂=15°
∴∠A=4×∠A₂=4×15°=60°
【答案】
(1)45°；(2)60
【知识点】
三角形外角性质、角平分线的定义、角的和差计算
【点评】
这两道题是三角形角平分线相关的经典变式题，重点考查外角性质与角平分线定义的结合应用，第(2)题的递推规律是常见的规律类考法，掌握对应模型后可快速求解。
【难度系数】
0.7
(1)解题思路：首先利用三角形外角的性质，写出△ABC的外角∠BAD与∠C、∠ABC的关系；再结合角平分线的定义，分别表示出AE平分∠BAD后的角、BF平分∠ABC后的角；最后观察到∠DAE是△ABF的外角，再次利用外角性质建立等式，消去公共的角分量即可求出∠BFE的度数。
(2)解题思路：先根据三角形外角性质，得出∠ACD与∠A、∠ABC的关系；再结合角平分线定义，推导得出∠A₁与∠A的数量关系；同理推出∠A₂与∠A的数量关系，最后代入已知的∠A₂的度数，逆推计算即可得到∠A的度数。
【解析】
(1)
∵∠BAD是△ABC的外角，∠C=90°
∴∠BAD=∠C+∠ABC=90°+∠ABC
∵AE平分∠BAD
∴∠DAE=½∠BAD=½(90°+∠ABC)=45°+½∠ABC
∵BF平分∠ABC
∴∠ABF=½∠ABC
又
∵∠DAE是△ABF的外角
∴∠DAE=∠BFE+∠ABF
代入得：45°+½∠ABC = ∠BFE + ½∠ABC
化简得∠BFE=45°
(2)
∵∠ACD是△ABC的外角
∴∠ACD=∠A+∠ABC
∵BA₁平分∠ABC，CA₁平分∠ACD
∴∠A₁BC=½∠ABC，∠A₁CD=½∠ACD
∵∠A₁CD是△A₁BC的外角
∴∠A₁=∠A₁CD - ∠A₁BC = ½∠ACD - ½∠ABC = ½(∠ACD - ∠ABC)=½∠A
同理可得：∠A₂=½∠A₁=¼∠A
已知∠A₂=15°
∴∠A=4×∠A₂=4×15°=60°
【答案】
(1)45°；(2)60
【知识点】
三角形外角性质、角平分线的定义、角的和差计算
【点评】
这两道题是三角形角平分线相关的经典变式题，重点考查外角性质与角平分线定义的结合应用，第(2)题的递推规律是常见的规律类考法，掌握对应模型后可快速求解。
【难度系数】
0.7
模型总结 如图，∠ACD是△ABC的外角，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACD，则∠A与∠O之间的数量关系是
A
B
C
D
O
∠O=1/2∠A
。A
B
C
D
O
答案
∠O=1/2∠A
解析
【分析】
要推导∠A和∠O的数量关系，可结合三角形外角性质和角平分线的定义分析：首先回忆三角形外角等于不相邻两个内角的和，分别对△ABC的外角∠ACD、△OBC的外角∠OCD列外角关系，再结合角平分线的定义把两个外角关系关联起来，消去公共的角就能得到∠A和∠O的关系。
【解析】
解：
∵∠ACD是△ABC的外角
∴∠ACD = ∠A + ∠ABC ①
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACD
∴∠OBC = $\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCD = $\frac{1}{2}$∠ACD
又
∵∠OCD是△OBC的外角
∴∠OCD = ∠O + ∠OBC
将∠OCD、∠OBC代入上式得：
$\frac{1}{2}$∠ACD = ∠O + $\frac{1}{2}$∠ABC
两边同乘2得：∠ACD = 2∠O + ∠ABC ②
将①代入②得：∠A + ∠ABC = 2∠O + ∠ABC
两边同时减去∠ABC，可得：∠A = 2∠O，即∠O = $\frac{1}{2}$∠A
【答案】
$\boldsymbol{∠O=\frac{1}{2}∠A}$
【知识点】
三角形外角的性质；角平分线的定义
【点评】
本题是三角形外角平分线夹角的经典模型，推导过程核心是利用三角形外角性质建立角的等量关系，再结合角平分线定义转化消元即可得到结论，记住该结论可提升相关选择、填空题的解题速度。
【难度系数】
0.7
要推导∠A和∠O的数量关系，可结合三角形外角性质和角平分线的定义分析：首先回忆三角形外角等于不相邻两个内角的和，分别对△ABC的外角∠ACD、△OBC的外角∠OCD列外角关系，再结合角平分线的定义把两个外角关系关联起来，消去公共的角就能得到∠A和∠O的关系。
【解析】
解：
∵∠ACD是△ABC的外角
∴∠ACD = ∠A + ∠ABC ①
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACD
∴∠OBC = $\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCD = $\frac{1}{2}$∠ACD
又
∵∠OCD是△OBC的外角
∴∠OCD = ∠O + ∠OBC
将∠OCD、∠OBC代入上式得：
$\frac{1}{2}$∠ACD = ∠O + $\frac{1}{2}$∠ABC
两边同乘2得：∠ACD = 2∠O + ∠ABC ②
将①代入②得：∠A + ∠ABC = 2∠O + ∠ABC
两边同时减去∠ABC，可得：∠A = 2∠O，即∠O = $\frac{1}{2}$∠A
【答案】
$\boldsymbol{∠O=\frac{1}{2}∠A}$
【知识点】
三角形外角的性质；角平分线的定义
【点评】
本题是三角形外角平分线夹角的经典模型，推导过程核心是利用三角形外角性质建立角的等量关系，再结合角平分线定义转化消元即可得到结论，记住该结论可提升相关选择、填空题的解题速度。
【难度系数】
0.7
1. 图①②③中，$∠ A=42°,∠1=∠2,∠3=∠4$，则$∠ O_1+∠ O_2+∠ O_3$的度数为 （
A.$84°$
B.$111°$
C.$225°$
D.$201°$
D
）A.$84°$
B.$111°$
C.$225°$
D.$201°$
答案
1.D
解析
【分析】
首先明确三个图形对应的角平分线类型：图①是三角形两个内角平分线的交点，图②是三角形一个内角平分线与一个外角平分线的交点，图③是三角形两个外角平分线的交点。我们先利用三角形内角和求出∠ABC与∠ACB的和，再结合角平分线性质、三角形内角和与外角性质分别计算三个角的度数，最后求和即可得到结果。
【解析】
在$△ ABC$中，$∠ A=42°$，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=180°-42°=138°$
1. 计算$∠ O_1$：
图①中，$\because ∠1=∠2=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠3=∠4=\frac{1}{2}∠ ACB$
$\therefore ∠2+∠4=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}×138°=69°$
在$△ BO_1C$中，$∠ O_1=180°-(∠2+∠4)=180°-69°=111°$
2. 计算$∠ O_2$：
图②中，$∠ ACD$是$△ ABC$的外角，$\therefore ∠ ACD=∠ A+∠ ABC$
$\because ∠3=∠4=\frac{1}{2}∠ ACD$，$∠1=∠2=\frac{1}{2}∠ ABC$
又$\because ∠4$是$△ BO_2C$的外角，$\therefore ∠4=∠2+∠ O_2$
$\therefore ∠ O_2=∠4-∠2=\frac{1}{2}(∠ ACD-∠ ABC)=\frac{1}{2}∠ A=\frac{1}{2}×42°=21°$
3. 计算$∠ O_3$：
图③中，$∠2=\frac{1}{2}(180°-∠ ABC)=90°-\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠3=\frac{1}{2}(180°-∠ ACB)=90°-\frac{1}{2}∠ ACB$
$\therefore ∠2+∠3=180°-\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=180°-69°=111°$
在$△ BO_3C$中，$∠ O_3=180°-(∠2+∠3)=180°-111°=69°$
综上，$∠ O_1+∠ O_2+∠ O_3=111°+21°+69°=201°$
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理，三角形外角性质，角平分线的定义
【点评】
本题围绕三角形角平分线的三类常见模型命题，掌握不同角平分线组合下的角度推导方法，能快速解决这类角度计算问题。
【难度系数】
0.65
首先明确三个图形对应的角平分线类型：图①是三角形两个内角平分线的交点，图②是三角形一个内角平分线与一个外角平分线的交点，图③是三角形两个外角平分线的交点。我们先利用三角形内角和求出∠ABC与∠ACB的和，再结合角平分线性质、三角形内角和与外角性质分别计算三个角的度数，最后求和即可得到结果。
【解析】
在$△ ABC$中，$∠ A=42°$，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=180°-42°=138°$
1. 计算$∠ O_1$：
图①中，$\because ∠1=∠2=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠3=∠4=\frac{1}{2}∠ ACB$
$\therefore ∠2+∠4=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}×138°=69°$
在$△ BO_1C$中，$∠ O_1=180°-(∠2+∠4)=180°-69°=111°$
2. 计算$∠ O_2$：
图②中，$∠ ACD$是$△ ABC$的外角，$\therefore ∠ ACD=∠ A+∠ ABC$
$\because ∠3=∠4=\frac{1}{2}∠ ACD$，$∠1=∠2=\frac{1}{2}∠ ABC$
又$\because ∠4$是$△ BO_2C$的外角，$\therefore ∠4=∠2+∠ O_2$
$\therefore ∠ O_2=∠4-∠2=\frac{1}{2}(∠ ACD-∠ ABC)=\frac{1}{2}∠ A=\frac{1}{2}×42°=21°$
3. 计算$∠ O_3$：
图③中，$∠2=\frac{1}{2}(180°-∠ ABC)=90°-\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠3=\frac{1}{2}(180°-∠ ACB)=90°-\frac{1}{2}∠ ACB$
$\therefore ∠2+∠3=180°-\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=180°-69°=111°$
在$△ BO_3C$中，$∠ O_3=180°-(∠2+∠3)=180°-111°=69°$
综上，$∠ O_1+∠ O_2+∠ O_3=111°+21°+69°=201°$
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理，三角形外角性质，角平分线的定义
【点评】
本题围绕三角形角平分线的三类常见模型命题，掌握不同角平分线组合下的角度推导方法，能快速解决这类角度计算问题。
【难度系数】
0.65
2. 如图,在$△ AOB$中,$AO_1,BO_1$分别平分$∠ OAB$,$∠ OBA$,$AO_2,BO_2$分别平分$∠ OAO_1,∠ OBO_1$.若$∠ O=60°$,则$∠ O_2=$ (
A.$90°$
B.$100°$
C.$110°$
D.$120°$
A
)A.$90°$
B.$100°$
C.$110°$
D.$120°$
答案
2.A
解析
【分析】
解题时先利用三角形内角和定理求出△AOB中∠OAB与∠OBA的和，再结合角平分线的定义，逐步推导△AO₂B中两个底角∠O₂AB与∠O₂BA的和，最后再次利用三角形内角和定理即可求出∠O₂的度数。
【解析】
在△AOB中，根据三角形内角和为180°，得：
$∠ OAB + ∠ OBA = 180° - ∠ O = 180° - 60° = 120°$
∵$AO_1$平分$∠ OAB$，$BO_1$平分$∠ OBA$
∴$∠ OAO_1 = ∠ O_1AB = \frac{1}{2}∠ OAB$，$∠ OBO_1 = ∠ O_1BA = \frac{1}{2}∠ OBA$
又
∵$AO_2$平分$∠ OAO_1$，$BO_2$平分$∠ OBO_1$
∴$∠ O_2AO_1 = \frac{1}{2}∠ OAO_1 = \frac{1}{4}∠ OAB$，$∠ O_2BO_1 = \frac{1}{2}∠ OBO_1 = \frac{1}{4}∠ OBA$
∴$∠ O_2AB + ∠ O_2BA = (∠ O_1AB + ∠ O_2AO_1) + (∠ O_1BA + ∠ O_2BO_1) = \frac{3}{4}(∠ OAB + ∠ OBA)$
代入$∠ OAB + ∠ OBA=120°$，得：
$∠ O_2AB + ∠ O_2BA = \frac{3}{4} × 120° = 90°$
在△$AO_2B$中，$∠ O_2 = 180° - (∠ O_2AB + ∠ O_2BA) = 180° - 90° = 90°$
【答案】
A
【知识点】
1.三角形内角和定理 2.角平分线的定义
【点评】
本题是三角形角平分线模型的基础变式题，重点考查三角形内角和与角平分线定义的综合运用，解题核心是理清各个角之间的数量关系，熟练掌握相关性质就能快速得出结果。
【难度系数】
0.7
解题时先利用三角形内角和定理求出△AOB中∠OAB与∠OBA的和，再结合角平分线的定义，逐步推导△AO₂B中两个底角∠O₂AB与∠O₂BA的和，最后再次利用三角形内角和定理即可求出∠O₂的度数。
【解析】
在△AOB中，根据三角形内角和为180°，得：
$∠ OAB + ∠ OBA = 180° - ∠ O = 180° - 60° = 120°$
∵$AO_1$平分$∠ OAB$，$BO_1$平分$∠ OBA$
∴$∠ OAO_1 = ∠ O_1AB = \frac{1}{2}∠ OAB$，$∠ OBO_1 = ∠ O_1BA = \frac{1}{2}∠ OBA$
又
∵$AO_2$平分$∠ OAO_1$，$BO_2$平分$∠ OBO_1$
∴$∠ O_2AO_1 = \frac{1}{2}∠ OAO_1 = \frac{1}{4}∠ OAB$，$∠ O_2BO_1 = \frac{1}{2}∠ OBO_1 = \frac{1}{4}∠ OBA$
∴$∠ O_2AB + ∠ O_2BA = (∠ O_1AB + ∠ O_2AO_1) + (∠ O_1BA + ∠ O_2BO_1) = \frac{3}{4}(∠ OAB + ∠ OBA)$
代入$∠ OAB + ∠ OBA=120°$，得：
$∠ O_2AB + ∠ O_2BA = \frac{3}{4} × 120° = 90°$
在△$AO_2B$中，$∠ O_2 = 180° - (∠ O_2AB + ∠ O_2BA) = 180° - 90° = 90°$
【答案】
A
【知识点】
1.三角形内角和定理 2.角平分线的定义
【点评】
本题是三角形角平分线模型的基础变式题，重点考查三角形内角和与角平分线定义的综合运用，解题核心是理清各个角之间的数量关系，熟练掌握相关性质就能快速得出结果。
【难度系数】
0.7
3. 新考向 规律探索 如图，在$△ ABC$中，$∠ A = α$，点$D$在$BC$的延长线上，$BA_1$是$∠ ABD$的平分线，$CA_1$是$∠ ACD$的平分线，$BA_2$是$∠ A_1BD$的平分线，$CA_2$是$∠ A_1CD$的平分线，$BA_3$是$∠ A_2BD$的平分线，$CA_3$是$∠ A_2CD$的平分线……依此下去，$∠ A_{2050} =$（
A.$(\dfrac{1}{2})^{2048} α$
B.$(\dfrac{1}{2})^{2049} α$
C.$(\dfrac{1}{2})^{2050} α$
D.$(\dfrac{1}{2})^{2051} α$
C
）A.$(\dfrac{1}{2})^{2048} α$
B.$(\dfrac{1}{2})^{2049} α$
C.$(\dfrac{1}{2})^{2050} α$
D.$(\dfrac{1}{2})^{2051} α$
答案
3.C
解析
【分析】
本题先利用三角形外角的性质结合角平分线的定义，推导∠A₁与∠A的数量关系，再同理推导∠A₂、∠A₃与∠A的关系，总结出∠Aₙ的通用规律，最后代入n=2050即可得到结果。
【解析】
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得：
在$△ ABC$中，$∠ ACD = ∠ A + ∠ ABC$ ①
∵ $BA_1$平分$∠ ABC$，$CA_1$平分$∠ ACD$
∴ $∠ A_1BC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ A_1CD = \frac{1}{2}∠ ACD$
在$△ A_1BC$中，$∠ A_1CD$是它的外角，故$∠ A_1CD = ∠ A_1 + ∠ A_1BC$ ②
将①代入②，得：
$\frac{1}{2}(∠ A + ∠ ABC) = ∠ A_1 + \frac{1}{2}∠ ABC$
化简后可得：$∠ A_1 = \frac{1}{2}∠ A = \frac{1}{2}α$
同理可推导：
$∠ A_2 = \frac{1}{2}∠ A_1 = (\frac{1}{2})^2α$
$∠ A_3 = \frac{1}{2}∠ A_2 = (\frac{1}{2})^3α$
……
总结规律得：$∠ A_n = (\frac{1}{2})^nα$
当$n=2050$时，$∠ A_{2050} = (\frac{1}{2})^{2050}α$
【答案】
C
【知识点】
三角形外角性质，角平分线的定义，规律探索
【点评】
本题是三角形角平分线与规律探索结合的典型题，解题关键是熟练运用三角形外角性质和角平分线定义推导前几个角的关系，进而总结通用规律求解。
【难度系数】
0.6
本题先利用三角形外角的性质结合角平分线的定义，推导∠A₁与∠A的数量关系，再同理推导∠A₂、∠A₃与∠A的关系，总结出∠Aₙ的通用规律，最后代入n=2050即可得到结果。
【解析】
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得：
在$△ ABC$中，$∠ ACD = ∠ A + ∠ ABC$ ①
∵ $BA_1$平分$∠ ABC$，$CA_1$平分$∠ ACD$
∴ $∠ A_1BC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ A_1CD = \frac{1}{2}∠ ACD$
在$△ A_1BC$中，$∠ A_1CD$是它的外角，故$∠ A_1CD = ∠ A_1 + ∠ A_1BC$ ②
将①代入②，得：
$\frac{1}{2}(∠ A + ∠ ABC) = ∠ A_1 + \frac{1}{2}∠ ABC$
化简后可得：$∠ A_1 = \frac{1}{2}∠ A = \frac{1}{2}α$
同理可推导：
$∠ A_2 = \frac{1}{2}∠ A_1 = (\frac{1}{2})^2α$
$∠ A_3 = \frac{1}{2}∠ A_2 = (\frac{1}{2})^3α$
……
总结规律得：$∠ A_n = (\frac{1}{2})^nα$
当$n=2050$时，$∠ A_{2050} = (\frac{1}{2})^{2050}α$
【答案】
C
【知识点】
三角形外角性质，角平分线的定义，规律探索
【点评】
本题是三角形角平分线与规律探索结合的典型题，解题关键是熟练运用三角形外角性质和角平分线定义推导前几个角的关系，进而总结通用规律求解。
【难度系数】
0.6
4. 如图，在$△ ABC$中，$∠ B = 68°$，$△ ABC$的高线$AD$，$CE$相交于点$F$，点$M$，$N$分别在$DA$和$EC$的延长线上，$AG$，$CG$分别平分$∠ CAM$和$∠ ACN$，$AH$，$CH$分别平分$∠ CAG$和$∠ ACG$，则$∠ H$的度数为________。
答案
4.107°
解析
【分析】
解题时首先从已知的高线入手，求出交点F处∠AFC的度数；再结合邻补角的性质，求出∠CAM与∠ACN的和；接着利用角平分线的定义，得到△AGC中两个底角的和，算出∠G的度数；最后再次利用角平分线定义和三角形内角和定理，即可求出∠H的度数。
【解析】
1. 已知AD、CE是△ABC的高线，因此∠AEF=∠ADB=90°。在四边形BDFE中，内角和为360°，可得：
$∠ EFD=360°-∠ B-∠ AEF-∠ ADB=360°-68°-90°-90°=112°$，
由对顶角相等得$∠ AFC=∠ EFD=112°$。
2. 在$△ AFC$中，根据三角形内角和定理：
$∠ FAC+∠ FCA=180°-∠ AFC=180°-112°=68°$。
3. 由邻补角的性质，$∠ CAM+∠ FAC=180°$，$∠ ACN+∠ FCA=180°$，因此：
$∠ CAM+∠ ACN=360°-(∠ FAC+∠ FCA)=360°-68°=292°$。
4. 因为AG平分$∠ CAM$，CG平分$∠ ACN$，所以：
$∠ CAG+∠ ACG=\frac{1}{2}(∠ CAM+∠ ACN)=\frac{1}{2}×292°=146°$，
在$△ AGC$中，$∠ G=180°-146°=34°$。
5. 因为AH平分$∠ CAG$，CH平分$∠ ACG$，所以：
$∠ HAC+∠ HCA=\frac{1}{2}(∠ CAG+∠ ACG)=\frac{1}{2}×146°=73°$，
在$△ AHC$中，$∠ H=180°-73°=107°$。
【答案】
$107°$
【知识点】
三角形高线性质，角平分线定义，三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形角平分线模型的典型变式题，需要逐步推导角与角之间的关系，熟练掌握三角形相关性质和角平分线模型可以快速理清解题思路，减少计算步骤。
【难度系数】
0.6
解题时首先从已知的高线入手，求出交点F处∠AFC的度数；再结合邻补角的性质，求出∠CAM与∠ACN的和；接着利用角平分线的定义，得到△AGC中两个底角的和，算出∠G的度数；最后再次利用角平分线定义和三角形内角和定理，即可求出∠H的度数。
【解析】
1. 已知AD、CE是△ABC的高线，因此∠AEF=∠ADB=90°。在四边形BDFE中，内角和为360°，可得：
$∠ EFD=360°-∠ B-∠ AEF-∠ ADB=360°-68°-90°-90°=112°$，
由对顶角相等得$∠ AFC=∠ EFD=112°$。
2. 在$△ AFC$中，根据三角形内角和定理：
$∠ FAC+∠ FCA=180°-∠ AFC=180°-112°=68°$。
3. 由邻补角的性质，$∠ CAM+∠ FAC=180°$，$∠ ACN+∠ FCA=180°$，因此：
$∠ CAM+∠ ACN=360°-(∠ FAC+∠ FCA)=360°-68°=292°$。
4. 因为AG平分$∠ CAM$，CG平分$∠ ACN$，所以：
$∠ CAG+∠ ACG=\frac{1}{2}(∠ CAM+∠ ACN)=\frac{1}{2}×292°=146°$，
在$△ AGC$中，$∠ G=180°-146°=34°$。
5. 因为AH平分$∠ CAG$，CH平分$∠ ACG$，所以：
$∠ HAC+∠ HCA=\frac{1}{2}(∠ CAG+∠ ACG)=\frac{1}{2}×146°=73°$，
在$△ AHC$中，$∠ H=180°-73°=107°$。
【答案】
$107°$
【知识点】
三角形高线性质，角平分线定义，三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形角平分线模型的典型变式题，需要逐步推导角与角之间的关系，熟练掌握三角形相关性质和角平分线模型可以快速理清解题思路，减少计算步骤。
【难度系数】
0.6
