6 核心素养 几何直观 [2026 浙江杭州期末,较难]
如图(1),把一张顶角为$36°$的等腰三角形纸片剪两刀,分成3张小纸片,使每张小纸片都是等腰三角形.定义:如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形,我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线.
(1)如图(2),请用两种不同的方法画出顶角为$45°$的等腰三角形的三分线,并标注每个等腰三角形顶角的度数(若两种方法分得的三角形成3对全等三角形,则视为同一种).
(2)如图(3),$△ ABC$中,$AC=2$,$BC=3$,$∠ C=2∠ B$,请画出$△ ABC$的三分线,并求出三分线的长.
的长.

解：
(1) 两种画法如下：
方法一：从顶角为45°的顶点出发作线段交底边，分出顶角为45°的等腰三角形，剩余部分再作线段，得到另外两个顶角分别为90°、135°的等腰三角形；
方法二：从底角顶点出发作线段，分出顶角为90°的等腰三角形，剩余部分再作线段，得到另外两个顶角分别为135°、135°的等腰三角形。
（在对应图中标注三个等腰三角形的顶角度数即可，两种方法不构成3对全等三角形，符合要求）
(2) 作图：在AB上取点D，在BC上取点E，线段CD、DE即为△ABC的三分线，△ACD、△CDE、△BDE均为等腰三角形。
设∠B=x，则∠ACB=2x，设CD=m，DE=n。
∵ ∠DCB=∠B=x，
∴ BD=CD=m，∠ADC=∠B+∠DCB=2x=∠ACB。
又∵ ∠A=∠A，
∴ △ACD∽△ABC。
∴ $\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}=\frac{CD}{BC}$。
由DE=BE，∠BDE=∠B=x，得DE=BE=n，∠CED=∠B+∠BDE=2x，△CDE为等腰三角形。
由AC=2，BC=3，得：
$\frac{AD}{2}=\frac{m}{3}$，即 $AD=\frac{2m}{3}$。
∵ $AB=AD+BD=\frac{2m}{3}+m=\frac{5m}{3}$，
结合相似性质 $AC^2=AD· AB$，代入得：
$2^2=\frac{2m}{3}·\frac{5m}{3}$，
解得 $m=\frac{3\sqrt{10}}{5}$（负值舍去）。
由△ABC正弦定理化简得 $\cos x=\frac{\sqrt{10}}{4}$，在△BDE中：
$n=\frac{m}{2\cos x}=\frac{\frac{3\sqrt{10}}{5}}{2×\frac{\sqrt{10}}{4}}=\frac{6}{5}$。
∴ 三分线的长分别为 $\frac{6}{5}$ 和 $\frac{3\sqrt{10}}{5}$。

1 三角形内接矩形 [2025浙江宁波调研,中]如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120 mm，高AD=80 mm，要把它加工成矩形零件，使矩形的两个顶点在BC上，其余两个顶点分别在边AB，AC上。当PQ的长为时，这个矩形面积最大，最大面积是。

$\boldsymbol{60 \, \mathrm{mm}}$；$\boldsymbol{2400 \, \mathrm{mm}^2}$

解：设AD交PQ于点E，设PQ的长为$ x \, \mathrm{mm} $，矩形的边$ PN = y \, \mathrm{mm} $。
因为四边形PQMN是矩形，所以$ PQ // BC $，
可得$ △ APQ ∽ △ ABC $。
又$ AD ⊥ BC $，$ PQ // BC $，因此$ AE ⊥ PQ $，根据相似三角形对应高的比等于相似比：
$\frac{PQ}{BC} = \frac{AE}{AD}$
其中$ AE = AD - ED = AD - PN = 80 - y $，代入$ BC=120 \, \mathrm{mm} $，$ AD=80 \, \mathrm{mm} $得：
$\frac{x}{120} = \frac{80 - y}{80}$
整理得：$ y = 80 - \frac{2}{3}x $。
设矩形面积为$ S $，则：
$S = x · y = x(80 - \frac{2}{3}x) = -\frac{2}{3}x^2 + 80x$
该二次函数开口向下，当$ x = -\frac{80}{2×(-\frac{2}{3})} = 60 $时，$ S $取得最大值：
$S_{\mathrm{max}} = -\frac{2}{3} × 60^2 + 80 × 60 = 2400 \, \mathrm{mm}^2$

2 三角形内接正方形 [难]小明和几位同学做手的影子游戏时,发现对于同一物体,影子的大小与光源到物体的距离有关.因此,他们认为可以借助物体的影子长度计算光源到物体的距离.于是,他们做了以下尝试.
(1)如图(1),垂直于地面放置的正方形框架ABCD,边长AB为30 cm,在其正上方有一灯泡,在灯泡的照射下,正方形框架的横向影子A'B,D'C的长度和为6 cm.那么灯泡到地面的高度为.
(2)不改变图(1)中灯泡的高度,将两个边长为30 cm的正方形框架按图(2)摆放,请计算此时横向影子A'B,D'C的长度和为.
(3)有n个边长为a cm的正方形按图(3)摆放,测得横向影子A'B,D'C的长度和为b cm,求灯泡到地面的高度.(写出解题过程,结果用含a,b,n的代数式表示)

解：
(1) 设灯泡到地面的高度为$ h \, \mathrm{cm} $。
由题意知$ AD // A'D' $，故$ △ NAD ∽ △ MA'D' $。
已知$ AD = 30 \, \mathrm{cm} $，$ A'D' = 30 + 6 = 36 \, \mathrm{cm} $，灯泡到$ AD $的距离为$ h - 30 $，
由相似三角形性质得：
$\frac{h - 30}{h} = \frac{AD}{A'D'} = \frac{30}{36}$
解得$ h = 180 $，即灯泡到地面的高度为$ 180 \, \mathrm{cm} $。
(2) 设此时横向影子$ A'B, D'C $的长度和为$ y \, \mathrm{cm} $。
同理可得$ AD = 30 × 2 = 60 \, \mathrm{cm} $，$ A'D' = 60 + y $，代入相似比例：
$\frac{180 - 30}{180} = \frac{60}{60 + y}$
解得$ y = 12 $，即横向影子长度和为$ 12 \, \mathrm{cm} $。
(3) 设灯泡到地面的高度为$ x \, \mathrm{cm} $。
由题意得$ AD = na \, \mathrm{cm} $，$ A'D' = na + b \, \mathrm{cm} $，灯泡到$ AD $的距离为$ x - a $。
因为$ AD // A'D' $，所以$ △ NAD ∽ △ MA'D' $，得：
$\frac{x - a}{x} = \frac{na}{na + b}$
交叉相乘展开：
$(x - a)(na + b) = na · x$
$nax + bx - na^2 - ab = nax$
消去$ nax $后整理得：
$bx = a(na + b)$
解得：
$x = \frac{a(na + b)}{b} = \frac{n a^2 + ab}{b}$
综上，答案为：
(1) $\boldsymbol{180 \, \mathrm{cm}}$
(2) $\boldsymbol{12 \, \mathrm{cm}}$
(3) 灯泡到地面的高度为$\boldsymbol{\dfrac{a(na + b)}{b} \, \mathrm{cm}}$。