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1[2026安徽六安质检,中]在同一平面直角坐标系中,一次函数$y_1=mx-n$和$y_2=nx-m$的图象可能是（
C
）答案
C 【解析】A选项,根据y₁=mx-n的图象可知m＜0,-n＞0,即m＜0,n＜0,根据y₂=nx-m的图象可知-m＞0,n＞0,即m＜0,n＞0,矛盾,不符合题意;B选项,根据y₁=mx-n的图象可知m＞0,-n＜0,即m＞0,n＞0,根据y₂=nx-m的图象可知-m＞0,n＜0,即m＜0,n＜0,矛盾,不符合题意;C选项,根据y₁=mx-n的图象可知m＞0,-n＞0,即m＞0,n＜0,根据y₂=nx-m的图象可知-m＜0,n＜0,即m＞0,n＜0,符合题意;D选项,根据y₁=mx-n的图象可知m＞0,-n＜0,即m＞0,n＞0,根据y₂=nx-m的图象可知-m＜0,n＜0,即m＞0,n＜0,矛盾,不符合题意. 故选C.
解析
【分析】
解决本题需要先掌握一次函数$y=kx+b$的图象与系数$k$、$b$的对应关系：$k$的符号决定直线的倾斜方向，$k＞0$时直线从左下向右上倾斜，$k＜0$时直线从左上向右下倾斜；$b$的符号决定直线与$y$轴的交点位置，$b＞0$时交点在$y$轴正半轴，$b＜0$时交点在$y$轴负半轴。解题时逐个分析选项：先从$y_1=mx-n$的图象推出$m$、$n$的符号，再从$y_2=nx-m$的图象推出$m$、$n$的符号，若两次推出的符号一致，则该选项正确，反之则错误。
【解析】
根据一次函数图象与系数的关系逐个判断选项：
选项A：由$y_1=mx-n$的图象得，直线下降故$m＜0$，与$y$轴交于正半轴故$-n＞0$，即$m＜0$，$n＜0$；由$y_2=nx-m$的图象得，直线上升故$n＞0$，与$y$轴交于正半轴故$-m＞0$，即$m＜0$，$n＞0$，两次得到的$n$的符号矛盾，不符合题意。
选项B：由$y_1=mx-n$的图象得，直线上升故$m＞0$，与$y$轴交于负半轴故$-n＜0$，即$m＞0$，$n＞0$；由$y_2=nx-m$的图象得，直线下降故$n＜0$，与$y$轴交于正半轴故$-m＞0$，即$m＜0$，$n＜0$，$m$、$n$的符号均矛盾，不符合题意。
选项C：由$y_1=mx-n$的图象得，直线上升故$m＞0$，与$y$轴交于正半轴故$-n＞0$，即$m＞0$，$n＜0$；由$y_2=nx-m$的图象得，直线下降故$n＜0$，与$y$轴交于负半轴故$-m＜0$，即$m＞0$，$n＜0$，两次得到的符号完全一致，符合题意。
选项D：由$y_1=mx-n$的图象得，直线上升故$m＞0$，与$y$轴交于负半轴故$-n＜0$，即$m＞0$，$n＞0$；由$y_2=nx-m$的图象得，直线下降故$n＜0$，与$y$轴交于负半轴故$-m＜0$，即$m＞0$，$n＜0$，$n$的符号矛盾，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
一次函数图象与系数的关系，一次函数图象判断
【点评】
本题是一次函数图象的典型题型，核心考查一次函数系数符号与图象位置的对应规律，解题时需要分别对两个函数的系数符号进行推导验证，既要求学生熟练掌握一次函数的图象性质，也能锻炼逻辑验证能力。
【难度系数】
0.6
解决本题需要先掌握一次函数$y=kx+b$的图象与系数$k$、$b$的对应关系：$k$的符号决定直线的倾斜方向，$k＞0$时直线从左下向右上倾斜，$k＜0$时直线从左上向右下倾斜；$b$的符号决定直线与$y$轴的交点位置，$b＞0$时交点在$y$轴正半轴，$b＜0$时交点在$y$轴负半轴。解题时逐个分析选项：先从$y_1=mx-n$的图象推出$m$、$n$的符号，再从$y_2=nx-m$的图象推出$m$、$n$的符号，若两次推出的符号一致，则该选项正确，反之则错误。
【解析】
根据一次函数图象与系数的关系逐个判断选项：
选项A：由$y_1=mx-n$的图象得，直线下降故$m＜0$，与$y$轴交于正半轴故$-n＞0$，即$m＜0$，$n＜0$；由$y_2=nx-m$的图象得，直线上升故$n＞0$，与$y$轴交于正半轴故$-m＞0$，即$m＜0$，$n＞0$，两次得到的$n$的符号矛盾，不符合题意。
选项B：由$y_1=mx-n$的图象得，直线上升故$m＞0$，与$y$轴交于负半轴故$-n＜0$，即$m＞0$，$n＞0$；由$y_2=nx-m$的图象得，直线下降故$n＜0$，与$y$轴交于正半轴故$-m＞0$，即$m＜0$，$n＜0$，$m$、$n$的符号均矛盾，不符合题意。
选项C：由$y_1=mx-n$的图象得，直线上升故$m＞0$，与$y$轴交于正半轴故$-n＞0$，即$m＞0$，$n＜0$；由$y_2=nx-m$的图象得，直线下降故$n＜0$，与$y$轴交于负半轴故$-m＜0$，即$m＞0$，$n＜0$，两次得到的符号完全一致，符合题意。
选项D：由$y_1=mx-n$的图象得，直线上升故$m＞0$，与$y$轴交于负半轴故$-n＜0$，即$m＞0$，$n＞0$；由$y_2=nx-m$的图象得，直线下降故$n＜0$，与$y$轴交于负半轴故$-m＜0$，即$m＞0$，$n＜0$，$n$的符号矛盾，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
一次函数图象与系数的关系，一次函数图象判断
【点评】
本题是一次函数图象的典型题型，核心考查一次函数系数符号与图象位置的对应规律，解题时需要分别对两个函数的系数符号进行推导验证，既要求学生熟练掌握一次函数的图象性质，也能锻炼逻辑验证能力。
【难度系数】
0.6
2[2025福建福州期中,中]如图,在平面直角坐标系中,长方形ABCD在第一象限,且AB//x轴.将直线$y=-x$从原点O开始沿x轴正方向匀速平移,直线被长方形ABCD截得的线段的长度L与平移的距离a之间的函数关系的大致图象可能是 (
B
)答案
B 【解析】由题意得,直线y=-x从原点开始沿x轴正方向匀速平移到过点A之前,此过程中L=0;当直线y=-x从过点A继续沿x轴正方向匀速平移到过点D时,此过程中L长度逐渐增大;当直线y=-x从过点D继续沿x轴正方向匀速平移到过点B时,此过程中L长度保持不变;当直线y=-x从过点B继续沿x轴正方向匀速平移到过点C时,此过程中L长度逐渐减小;直线y=-x继续沿x轴正方向平移时,L=0. 由长方形ABCD得AD=BC,结合选项可知,只有B选项符合题意. 故选B.
解析
【分析】
解题时可按以下步骤思考：①先明确一次函数平移规律：直线$y=-x$沿x轴正方向平移a个单位后，解析式为$y=-(x-a)=-x+a$，a越大直线位置越靠右；②结合长方形$ABCD$（$AB// x$轴）的特征，分阶段分析平移过程中直线与长方形的交点变化，判断截得线段长度L随平移距离a的变化趋势；③再利用长方形对边相等的性质，判断L增大和减小阶段对应的a的变化范围大小一致，最终结合选项筛选正确答案。
【解析】
设直线$y=-x$沿x轴正方向平移a个单位后的解析式为$y=-x+a$，结合长方形$ABCD$的位置分阶段分析：
1. 当直线未与长方形相交时，截得线段长度$L=0$，对应函数图象为与x轴重合的水平线段；
2. 当直线过点A后、到过点D前，直线与长方形的两条边相交，截得的线段长度L随a的增大逐渐变大；
3. 当直线过点D后、到过点B前，直线与长方形的一组对边相交，截得的线段长度L保持不变，对应函数图象为水平线段；
4. 当直线过点B后、到过点C前，截得的线段长度L随a的增大逐渐减小到0；
5. 直线过点C后，不再与长方形相交，$L=0$。
由长方形对边相等可知，L增大阶段和L减小阶段对应的a的变化范围相等，即函数图象的上升段和下降段水平长度一致，结合选项只有B符合规律。
【答案】
B
【知识点】
一次函数图象平移；一次函数的图象与性质；长方形的性质
【点评】
本题属于动态函数图象问题，将一次函数平移与几何图形结合，核心是按直线与长方形的交点变化划分阶段，分析每个阶段L的变化趋势，再结合长方形的性质排除错误选项，能很好地考查动态分析能力和数形结合思想。
【难度系数】
0.6
解题时可按以下步骤思考：①先明确一次函数平移规律：直线$y=-x$沿x轴正方向平移a个单位后，解析式为$y=-(x-a)=-x+a$，a越大直线位置越靠右；②结合长方形$ABCD$（$AB// x$轴）的特征，分阶段分析平移过程中直线与长方形的交点变化，判断截得线段长度L随平移距离a的变化趋势；③再利用长方形对边相等的性质，判断L增大和减小阶段对应的a的变化范围大小一致，最终结合选项筛选正确答案。
【解析】
设直线$y=-x$沿x轴正方向平移a个单位后的解析式为$y=-x+a$，结合长方形$ABCD$的位置分阶段分析：
1. 当直线未与长方形相交时，截得线段长度$L=0$，对应函数图象为与x轴重合的水平线段；
2. 当直线过点A后、到过点D前，直线与长方形的两条边相交，截得的线段长度L随a的增大逐渐变大；
3. 当直线过点D后、到过点B前，直线与长方形的一组对边相交，截得的线段长度L保持不变，对应函数图象为水平线段；
4. 当直线过点B后、到过点C前，截得的线段长度L随a的增大逐渐减小到0；
5. 直线过点C后，不再与长方形相交，$L=0$。
由长方形对边相等可知，L增大阶段和L减小阶段对应的a的变化范围相等，即函数图象的上升段和下降段水平长度一致，结合选项只有B符合规律。
【答案】
B
【知识点】
一次函数图象平移；一次函数的图象与性质；长方形的性质
【点评】
本题属于动态函数图象问题，将一次函数平移与几何图形结合，核心是按直线与长方形的交点变化划分阶段，分析每个阶段L的变化趋势，再结合长方形的性质排除错误选项，能很好地考查动态分析能力和数形结合思想。
【难度系数】
0.6
3[2026福建漳州期中,中]如图,在平面直角坐标系中,直线AB的表达式为$y=x+1$,与x轴相交于点B,与y轴相交于点A,过点A的直线AC与x轴相交于点$C(3,0)$,以AC为斜边在AC下方作等腰$Rt△ACD$,连接BD,则BD的长为
√5
.答案
√5 【解析】如图,
过点D作EF//x轴,交y轴于E,交过C点与y轴平行的直线于F. 因为直线AB的表达式为y=x+1,与x轴相交于点B,与y轴相交于点A,所以B(-1,0),A(0,1). 因为△ACD是以AC为斜边的等腰直角三角形,所以AD=DC,∠ADC=90°,所以∠ADE+∠CDF=90°. 因为∠ADE+∠DAE=90°,所以∠DAE=∠CDF. 因为∠AED=∠DFC=90°,所以△ADE≌△DCF(AAS),所以DE=CF,所以设D(m,-m). 因为AD=DC,所以(0-m)²+(1+m)²=(3-m)²+(0+m)²,所以m=1,所以D(1,-1),所以BD=√((1+1)²+(-1-0)²)=√5. 故答案为√5.解析
【分析】
解题时首先从已知的直线AB解析式入手，先求出点A、B的坐标，结合已知的点C坐标，观察到△ACD是等腰直角三角形且直角为∠D，对于坐标系中斜放的等腰直角三角形，常用构造“K型全等”的方法推导点D的坐标关系：过D作平行于x轴的直线，与y轴、过C且平行于y轴的直线分别相交，得到两个全等的直角三角形，从而得到D点横、纵坐标的数量关系，设出D点坐标后利用AD=DC列方程求解D点坐标，最后用勾股定理推导的两点间距离公式计算BD的长度即可。
【解析】
第一步：求点A、B的坐标
已知直线AB的表达式为$y=x+1$，
当$x=0$时，$y=1$，得A点坐标为$(0,1)$；
当$y=0$时，$x+1=0$，解得$x=-1$，得B点坐标为$(-1,0)$。
第二步：构造辅助线证明全等
过点D作$EF// x$轴，交y轴于E，交过C点且与y轴平行的直线于F。
因为$△ ACD$是以AC为斜边的等腰直角三角形，所以$AD=DC$，$∠ ADC=90°$，
所以$∠ ADE + ∠ CDF = 180° - ∠ ADC = 90°$。
又因为$∠ ADE + ∠ DAE = 90°$，所以$∠ DAE = ∠ CDF$。
在$△ ADE$和$△ DCF$中：
$\begin{cases}∠ AED = ∠ DFC = 90° \\∠ DAE = ∠ CDF \\AD = DC\end{cases}$
所以$△ ADE ≌ △ DCF$（AAS），得$DE=CF$。
第三步：推导D点坐标关系并求解
设D点坐标为$(m,n)$，则$DE=m$，$CF=-n$（D在x轴下方，n为负数），
由$DE=CF$得$m=-n$，即$n=-m$，所以D点坐标可写为$(m,-m)$。
由$AD=DC$，结合两点间距离公式列方程：
$(0 - m)^2 + (1 + m)^2 = (3 - m)^2 + (0 + m)^2$
展开化简得：$2m +1 = -6m +9$，解得$m=1$，所以D点坐标为$(1,-1)$。
第四步：计算BD的长度
已知B$(-1,0)$，D$(1,-1)$，由两点间距离公式：
$BD = \sqrt{(1 + 1)^2 + (-1 - 0)^2} = \sqrt{4 +1} = \sqrt{5}$
【答案】
$\sqrt{5}$
【知识点】
一次函数点坐标特征；全等三角形判定与性质；两点间距离公式
【点评】
本题是一次函数与几何的综合题型，将一次函数坐标求解、等腰直角三角形性质、全等三角形构造结合考查，解题核心是通过构造K型全等快速得到未知点的坐标关系，降低坐标求解难度，是平面直角坐标系中几何计算的典型考法。
【难度系数】
0.6
解题时首先从已知的直线AB解析式入手，先求出点A、B的坐标，结合已知的点C坐标，观察到△ACD是等腰直角三角形且直角为∠D，对于坐标系中斜放的等腰直角三角形，常用构造“K型全等”的方法推导点D的坐标关系：过D作平行于x轴的直线，与y轴、过C且平行于y轴的直线分别相交，得到两个全等的直角三角形，从而得到D点横、纵坐标的数量关系，设出D点坐标后利用AD=DC列方程求解D点坐标，最后用勾股定理推导的两点间距离公式计算BD的长度即可。
【解析】
第一步：求点A、B的坐标
已知直线AB的表达式为$y=x+1$，
当$x=0$时，$y=1$，得A点坐标为$(0,1)$；
当$y=0$时，$x+1=0$，解得$x=-1$，得B点坐标为$(-1,0)$。
第二步：构造辅助线证明全等
过点D作$EF// x$轴，交y轴于E，交过C点且与y轴平行的直线于F。
因为$△ ACD$是以AC为斜边的等腰直角三角形，所以$AD=DC$，$∠ ADC=90°$，
所以$∠ ADE + ∠ CDF = 180° - ∠ ADC = 90°$。
又因为$∠ ADE + ∠ DAE = 90°$，所以$∠ DAE = ∠ CDF$。
在$△ ADE$和$△ DCF$中：
$\begin{cases}∠ AED = ∠ DFC = 90° \\∠ DAE = ∠ CDF \\AD = DC\end{cases}$
所以$△ ADE ≌ △ DCF$（AAS），得$DE=CF$。
第三步：推导D点坐标关系并求解
设D点坐标为$(m,n)$，则$DE=m$，$CF=-n$（D在x轴下方，n为负数），
由$DE=CF$得$m=-n$，即$n=-m$，所以D点坐标可写为$(m,-m)$。
由$AD=DC$，结合两点间距离公式列方程：
$(0 - m)^2 + (1 + m)^2 = (3 - m)^2 + (0 + m)^2$
展开化简得：$2m +1 = -6m +9$，解得$m=1$，所以D点坐标为$(1,-1)$。
第四步：计算BD的长度
已知B$(-1,0)$，D$(1,-1)$，由两点间距离公式：
$BD = \sqrt{(1 + 1)^2 + (-1 - 0)^2} = \sqrt{4 +1} = \sqrt{5}$
【答案】
$\sqrt{5}$
【知识点】
一次函数点坐标特征；全等三角形判定与性质；两点间距离公式
【点评】
本题是一次函数与几何的综合题型，将一次函数坐标求解、等腰直角三角形性质、全等三角形构造结合考查，解题核心是通过构造K型全等快速得到未知点的坐标关系，降低坐标求解难度，是平面直角坐标系中几何计算的典型考法。
【难度系数】
0.6
4[较难]直线$y=kx-2k+3$恒过一定点，则该点的坐标是
(2,3)
；平面直角坐标系中有三点$A(-1,0)$，$B(2,3)$，$C(5,0)$，若直线$y=kx-2k+3$将$△ ABC$分成左、右面积之比为$1:2$的两部分，则$k$的值是3
。答案
(2,3) 3 【解析】因为y=kx-2k+3=k(x-2)+3,所以直线y=kx-2k+3必经过定点(2,3),所以该点的坐标是(2,3). 因为B(2,3),直线y=kx-2k+3将△ABC分成左、右面积之比为1:2的两部分,所以直线y=kx-2k+3过点(1,0),故0=k-2k+3,解得k=3. 故答案为(2,3),3.
解析
【分析】
第一问求一次函数恒过的定点，思路是将函数解析式中含参数k的项合并，令k的系数为0，此时y的值不受k影响，即可求出定点坐标；第二问先确定定点就是△ABC的顶点B，由于直线过B点，分三角形得到的两部分都是以B为顶点、底边在AC上的三角形，二者高相同，面积比等于底边长的比，结合面积比1:2算出左侧底边的长度，得到直线与AC的交点坐标，最后代入直线解析式即可求出k的值。
【解析】
1. 求定点坐标：
将直线解析式变形：$y=kx-2k+3=k(x-2)+3$，
当$x=2$时，无论k取何值，$y=3$恒成立，因此直线恒过定点$(2,3)$。
2. 求k的值：
由点$B(2,3)$可知，该定点就是△ABC的顶点B。
已知$A(-1,0)$，$C(5,0)$，则AC的长度为$5-(-1)=6$，且AC在x轴上。
直线将△ABC分成左右面积比1:2的两部分，由于两部分同高（高为点B到x轴的距离），因此底边长的比等于面积比1:2，
则左侧部分的底边长为$6×\frac{1}{1+2}=2$，即交点在A右侧2个单位处，坐标为$(-1+2,0)$也就是$(1,0)$。
将$(1,0)$代入直线解析式得：$0=k×1 - 2k +3$，
解得：$k=3$。
【答案】
$(2,3)$；$3$
【知识点】
一次函数过定点、三角形面积性质、一次函数求值
【点评】
本题将一次函数的性质与三角形面积计算结合考查，解题的关键是先确定直线恒过三角形的顶点B，再利用同高三角形的面积比等于底边长的比找到直线经过的另一个交点，代入计算即可，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
第一问求一次函数恒过的定点，思路是将函数解析式中含参数k的项合并，令k的系数为0，此时y的值不受k影响，即可求出定点坐标；第二问先确定定点就是△ABC的顶点B，由于直线过B点，分三角形得到的两部分都是以B为顶点、底边在AC上的三角形，二者高相同，面积比等于底边长的比，结合面积比1:2算出左侧底边的长度，得到直线与AC的交点坐标，最后代入直线解析式即可求出k的值。
【解析】
1. 求定点坐标：
将直线解析式变形：$y=kx-2k+3=k(x-2)+3$，
当$x=2$时，无论k取何值，$y=3$恒成立，因此直线恒过定点$(2,3)$。
2. 求k的值：
由点$B(2,3)$可知，该定点就是△ABC的顶点B。
已知$A(-1,0)$，$C(5,0)$，则AC的长度为$5-(-1)=6$，且AC在x轴上。
直线将△ABC分成左右面积比1:2的两部分，由于两部分同高（高为点B到x轴的距离），因此底边长的比等于面积比1:2，
则左侧部分的底边长为$6×\frac{1}{1+2}=2$，即交点在A右侧2个单位处，坐标为$(-1+2,0)$也就是$(1,0)$。
将$(1,0)$代入直线解析式得：$0=k×1 - 2k +3$，
解得：$k=3$。
【答案】
$(2,3)$；$3$
【知识点】
一次函数过定点、三角形面积性质、一次函数求值
【点评】
本题将一次函数的性质与三角形面积计算结合考查，解题的关键是先确定直线恒过三角形的顶点B，再利用同高三角形的面积比等于底边长的比找到直线经过的另一个交点，代入计算即可，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
5[中]如图,在平面直角坐标系$xOy$中,直线$y=-\dfrac{4}{3}x+4$与$x$轴、$y$轴分别交于点$A,B$,点$D$在$y$轴的负半轴上,将$△ DAB$沿直线$AD$折叠,点$B$恰好落在$x$轴正半轴上的点$C$处.(1)求$AB$的长.(2)求点$C$和点$D$的坐标.(3)$y$轴上是否存在一点$P$,使得$S_{△ PAB}=\dfrac{1}{2}S_{△ OCD}$?若存在,直接写出点$P$的坐标;若不存在,请说明理由. 
刷素养 走向重高
刷素养 走向重高
答案
【解】(1)在$y=-\dfrac{4}{3}x+4$中,令x=0得y=4,所以B(0,4),所以OB=4. 令y=0得$0=-\dfrac{4}{3}x+4$,解得x=3,所以A(3,0),所以OA=3. 在Rt△OAB中,$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=5$.
(2)由折叠得AC=AB=5,所以OC=OA+AC=3+5=8,所以C(8,0). 设OD=x,则CD=DB=x+4. 在Rt△OCD中,$DC^2=OD^2+OC^2$,即$(x+4)^2=x^2+8^2$,解得x=6,所以D(0,-6).
(3)存在,点P的坐标为(0,12)或(0,-4). 因为$S_{△PAB}=\dfrac{1}{2}S_{△OCD}$,所以$S_{△PAB}=\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{2}×6×8=12$. 因为点P在y轴上,$S_{△PAB}=12$,所以$\dfrac{1}{2}BP·OA=12$,即$\dfrac{1}{2}×3BP=12$,解得BP=8,所以P点的坐标为(0,12)或(0,-4).
(2)由折叠得AC=AB=5,所以OC=OA+AC=3+5=8,所以C(8,0). 设OD=x,则CD=DB=x+4. 在Rt△OCD中,$DC^2=OD^2+OC^2$,即$(x+4)^2=x^2+8^2$,解得x=6,所以D(0,-6).
(3)存在,点P的坐标为(0,12)或(0,-4). 因为$S_{△PAB}=\dfrac{1}{2}S_{△OCD}$,所以$S_{△PAB}=\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{2}×6×8=12$. 因为点P在y轴上,$S_{△PAB}=12$,所以$\dfrac{1}{2}BP·OA=12$,即$\dfrac{1}{2}×3BP=12$,解得BP=8,所以P点的坐标为(0,12)或(0,-4).
解析
【分析】
(1)求AB的长，需先求出直线与x轴、y轴的交点A、B的坐标，得到OA、OB的长度，再在Rt△OAB中利用勾股定理计算即可。
(2)根据折叠前后对应边相等的性质，可得AC=AB，由此求出OC的长度得到点C坐标；设OD=x，利用CD=BD（折叠对应边相等），在Rt△OCD中用勾股定理列方程求解x，即可得到点D的坐标。
(3)先计算△OCD的面积，得到△PAB的面积；因为点P在y轴上，△PAB的高为OA的长度，底为BP的长度，据此列方程求出BP的长度，再分点P在点B的上方和下方两种情况讨论，即可得到P的坐标。
【解析】
(1)在$y=-\dfrac{4}{3}x+4$中，令$x=0$，得$y=4$，所以$B(0,4)$，$OB=4$；令$y=0$，得$0=-\dfrac{4}{3}x+4$，解得$x=3$，所以$A(3,0)$，$OA=3$。
在$Rt△ OAB$中，由勾股定理得：$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
(2)由折叠的性质得$AC=AB=5$，所以$OC=OA+AC=3+5=8$，即$C(8,0)$。
设$OD=x$，则$CD=BD=x+4$，在$Rt△ OCD$中，由勾股定理得：
$(x+4)^2=x^2+8^2$
展开化简得$8x=48$，解得$x=6$，所以$D(0,-6)$。
(3)存在。
先计算$S_{△ OCD}=\dfrac{1}{2}× OD× OC=\dfrac{1}{2}×6×8=24$，则$S_{△ PAB}=\dfrac{1}{2}S_{△ OCD}=12$。
设点P坐标为$(0,p)$，则$BP=\vert p-4\vert$，$△ PAB$的高为$OA=3$，因此：
$\dfrac{1}{2}×\vert p-4\vert×3=12$
解得$\vert p-4\vert=8$，即$p=12$或$p=-4$，所以点P坐标为$(0,12)$或$(0,-4)$。
【答案】
(1)$AB$的长为5；(2)$C(8,0)$，$D(0,-6)$；(3)存在，点P的坐标为$(0,12)$或$(0,-4)$
【知识点】
一次函数与坐标轴交点、折叠的性质、勾股定理的应用
【点评】
本题综合考查一次函数、几何变换和三角形面积计算，解题时要注意利用折叠的全等性质转化边的关系，第三问需分类讨论点P的位置，避免漏解。
【难度系数】
0.6
(1)求AB的长，需先求出直线与x轴、y轴的交点A、B的坐标，得到OA、OB的长度，再在Rt△OAB中利用勾股定理计算即可。
(2)根据折叠前后对应边相等的性质，可得AC=AB，由此求出OC的长度得到点C坐标；设OD=x，利用CD=BD（折叠对应边相等），在Rt△OCD中用勾股定理列方程求解x，即可得到点D的坐标。
(3)先计算△OCD的面积，得到△PAB的面积；因为点P在y轴上，△PAB的高为OA的长度，底为BP的长度，据此列方程求出BP的长度，再分点P在点B的上方和下方两种情况讨论，即可得到P的坐标。
【解析】
(1)在$y=-\dfrac{4}{3}x+4$中，令$x=0$，得$y=4$，所以$B(0,4)$，$OB=4$；令$y=0$，得$0=-\dfrac{4}{3}x+4$，解得$x=3$，所以$A(3,0)$，$OA=3$。
在$Rt△ OAB$中，由勾股定理得：$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
(2)由折叠的性质得$AC=AB=5$，所以$OC=OA+AC=3+5=8$，即$C(8,0)$。
设$OD=x$，则$CD=BD=x+4$，在$Rt△ OCD$中，由勾股定理得：
$(x+4)^2=x^2+8^2$
展开化简得$8x=48$，解得$x=6$，所以$D(0,-6)$。
(3)存在。
先计算$S_{△ OCD}=\dfrac{1}{2}× OD× OC=\dfrac{1}{2}×6×8=24$，则$S_{△ PAB}=\dfrac{1}{2}S_{△ OCD}=12$。
设点P坐标为$(0,p)$，则$BP=\vert p-4\vert$，$△ PAB$的高为$OA=3$，因此：
$\dfrac{1}{2}×\vert p-4\vert×3=12$
解得$\vert p-4\vert=8$，即$p=12$或$p=-4$，所以点P坐标为$(0,12)$或$(0,-4)$。
【答案】
(1)$AB$的长为5；(2)$C(8,0)$，$D(0,-6)$；(3)存在，点P的坐标为$(0,12)$或$(0,-4)$
【知识点】
一次函数与坐标轴交点、折叠的性质、勾股定理的应用
【点评】
本题综合考查一次函数、几何变换和三角形面积计算，解题时要注意利用折叠的全等性质转化边的关系，第三问需分类讨论点P的位置，避免漏解。
【难度系数】
0.6
6 核心素养模型观念[较难]定义:对于关于$x$的一次函数$y=kx+b(k≠0)$,我们称函数$y=\begin{cases} kx+b(x≤a), \\ -kx-b(x＞a) \end{cases}$为一次函数$y=kx+b(k≠0)$的“$a$变换函数”(其中$a$为常数).例如:对于关于$x$的一次函数$y=2x+1$的“5变换函数”为$y=\begin{cases} 2x+1(x≤5), \\ -2x-1(x＞5) \end{cases}$.
(1)一次函数$y=-x+1$的“0变换函数”为$y=$.
(2)画出一次函数$y=-x+1$的“2变换函数”图象,并完成下列问题:
①对于一次函数$y=-x+1$的“2变换函数”,当$x=3$时,求$y$的值;当$y=2$时,求$x$的值.
②对于一次函数$y=-x+1$的“2变换函数”,当$-3≤x≤3$时,$y$的取值范围是.
(3)当一次函数$y=-x+1$的“$a$变换函数”的图象与直线$y=2$有一个交点时,直接写出$a$的取值范围.
(1)一次函数$y=-x+1$的“0变换函数”为$y=$.
(2)画出一次函数$y=-x+1$的“2变换函数”图象,并完成下列问题:
①对于一次函数$y=-x+1$的“2变换函数”,当$x=3$时,求$y$的值;当$y=2$时,求$x$的值.
②对于一次函数$y=-x+1$的“2变换函数”,当$-3≤x≤3$时,$y$的取值范围是.
(3)当一次函数$y=-x+1$的“$a$变换函数”的图象与直线$y=2$有一个交点时,直接写出$a$的取值范围.
答案
【解】(1)由题意可得,函数y=-x+1的“0变换函数”为$y=\begin{cases} -x+1(x≤0), \\ x-1(x＞0) \end{cases}$,故答案为$\begin{cases} -x+1(x≤0), \\ x-1(x＞0) \end{cases}$.
(2)y=-x+1的“2变换函数”为$y=\begin{cases} -x+1(x≤2), \\ x-1(x＞2) \end{cases}$,图象如图所示.
①当x=3时,y=3-1=2. 当y=2时,-x+1=2或x-1=2,解得x=-1或x=3.
②当-3≤x≤2时,y=-x+1,y随x的增大而减小,所以-1≤y≤4;当2＜x≤3时,y=x-1,y随x的增大而增大,所以1＜y≤2. 综上所述,-1≤y≤4. 故答案为-1≤y≤4.
(3)a＜-1或a≥3. 由(2)可知,在函数y=-x+1的“2变换函数”中,y=2时,x=-1或x=3,所以当一次函数y=-x+1的“a变换函数”的图象与直线y=2有一个交点时,a＜-1或a≥3.
解析
【分析】
本题是新定义类题型，解题核心是先准确理解“a变换函数”的定义：即把原一次函数在$x≤a$的部分保留原解析式，$x＞a$的部分变为原解析式的相反数，再结合分段函数的性质分别求解各问。
(1)直接将$a=0$代入定义，分两段写解析式即可；
(2)先写出“2变换函数”的分段解析式，①计算$x=3$时的函数值先判断3属于哪个分段区间，代入对应解析式求解；求$y=2$时的$x$值，需分别代入两个分段解析式求解，再验证解是否符合对应区间的取值范围；②求$x$在$[-3,3]$区间内的$y$取值范围，需分$[-3,2]$和$(2,3]$两个区间，分别根据对应一次函数的增减性计算最值，再合并取值范围；
(3)先求出直线$y=2$和变换函数的两个交点横坐标，再根据“只有1个交点”的要求，判断分界点$a$的取值范围。
【解析】
(1)根据“a变换函数”的定义，$a=0$时，$x≤0$时保留原解析式$y=-x+1$，$x＞0$时解析式为$-(-x+1)=x-1$，即可得到对应的“0变换函数”。
(2)一次函数$y=-x+1$的“2变换函数”为$y=\begin{cases} -x+1(x≤2) \\ x-1(x＞2) \end{cases}$，图象如下：
①当$x=3$时，$3＞2$，代入$y=x-1$计算即可；
当$y=2$时，分两种情况：若$x≤2$，代入$y=-x+1$求解；若$x＞2$，代入$y=x-1$求解，得到的解需验证是否符合对应区间的取值要求。
②当$-3≤x≤2$时，解析式为$y=-x+1$，$k=-1＜0$，$y$随$x$的增大而减小，代入端点值得到该区间$y$的范围；当$2＜x≤3$时，解析式为$y=x-1$，$k=1＞0$，$y$随$x$的增大而增大，代入端点值得到该区间$y$的范围，合并两个区间的范围即可得到总取值范围。
(3)由(2)可知$y=2$与变换函数的两个交点横坐标为$x=-1$和$x=3$：当分界点$a＜-1$时，仅$x＞a$的区间存在1个交点；当分界点$a≥3$时，仅$x≤a$的区间存在1个交点，即可得到$a$的取值范围。
【答案】
(1)$\begin{cases} -x+1(x≤0) \\ x-1(x＞0) \end{cases}$
(2)图象：
①$x=3$时$y=2$；$y=2$时$x$的值为$-1$或$3$
②$-1≤y≤4$
(3)$a＜-1$或$a≥3$
【知识点】
1.新定义阅读理解
2.分段函数
3.一次函数的图象与性质
【点评】
本题以新定义为载体，综合考查分段函数的相关知识，解题时要遵循分段函数分段处理的原则，计算函数值或自变量取值时要先判断所属区间，求解取值范围和交点问题时可结合图象分析，避免漏解或范围判断错误。
【难度系数】
0.6
本题是新定义类题型，解题核心是先准确理解“a变换函数”的定义：即把原一次函数在$x≤a$的部分保留原解析式，$x＞a$的部分变为原解析式的相反数，再结合分段函数的性质分别求解各问。
(1)直接将$a=0$代入定义，分两段写解析式即可；
(2)先写出“2变换函数”的分段解析式，①计算$x=3$时的函数值先判断3属于哪个分段区间，代入对应解析式求解；求$y=2$时的$x$值，需分别代入两个分段解析式求解，再验证解是否符合对应区间的取值范围；②求$x$在$[-3,3]$区间内的$y$取值范围，需分$[-3,2]$和$(2,3]$两个区间，分别根据对应一次函数的增减性计算最值，再合并取值范围；
(3)先求出直线$y=2$和变换函数的两个交点横坐标，再根据“只有1个交点”的要求，判断分界点$a$的取值范围。
【解析】
(1)根据“a变换函数”的定义，$a=0$时，$x≤0$时保留原解析式$y=-x+1$，$x＞0$时解析式为$-(-x+1)=x-1$，即可得到对应的“0变换函数”。
(2)一次函数$y=-x+1$的“2变换函数”为$y=\begin{cases} -x+1(x≤2) \\ x-1(x＞2) \end{cases}$，图象如下：
①当$x=3$时，$3＞2$，代入$y=x-1$计算即可；
当$y=2$时，分两种情况：若$x≤2$，代入$y=-x+1$求解；若$x＞2$，代入$y=x-1$求解，得到的解需验证是否符合对应区间的取值要求。
②当$-3≤x≤2$时，解析式为$y=-x+1$，$k=-1＜0$，$y$随$x$的增大而减小，代入端点值得到该区间$y$的范围；当$2＜x≤3$时，解析式为$y=x-1$，$k=1＞0$，$y$随$x$的增大而增大，代入端点值得到该区间$y$的范围，合并两个区间的范围即可得到总取值范围。
(3)由(2)可知$y=2$与变换函数的两个交点横坐标为$x=-1$和$x=3$：当分界点$a＜-1$时，仅$x＞a$的区间存在1个交点；当分界点$a≥3$时，仅$x≤a$的区间存在1个交点，即可得到$a$的取值范围。
【答案】
(1)$\begin{cases} -x+1(x≤0) \\ x-1(x＞0) \end{cases}$
(2)图象：
①$x=3$时$y=2$；$y=2$时$x$的值为$-1$或$3$
②$-1≤y≤4$
(3)$a＜-1$或$a≥3$
【知识点】
1.新定义阅读理解
2.分段函数
3.一次函数的图象与性质
【点评】
本题以新定义为载体，综合考查分段函数的相关知识，解题时要遵循分段函数分段处理的原则，计算函数值或自变量取值时要先判断所属区间，求解取值范围和交点问题时可结合图象分析，避免漏解或范围判断错误。
【难度系数】
0.6
