5 [2025 陕西]某景区有一座美丽的彩虹桥，它的部分截面示意图如图所示，桥$L$，钢缆$L_1$，$L_2$均呈抛物线形，线段$BC$为桥面，线段$OA$为立柱，$OA⊥BC$，$OA＝2\ \mathrm{m}$，$L_1$，$L_2$关于$OA$所在直线对称.$L_1$的最低点到$BC$的距离为$\frac{1}{2}\ \mathrm{m}$，到$OA$的距离为$2\ \mathrm{m}$.以$O$为原点，$BC$所在直线为$x$轴，$OA$所在直线为$y$轴，建立平面直角坐标系.
（1）求$L_1$所在抛物线对应的函数表达式.
（2）现要悬挂两条灯带$M_1N_1$，$M_2N_2$来增加夜景效果，$M_1N_1$，$M_2N_2$均与$BC$垂直，点$M_1$，$M_2$分别在$L_1$，$L_2$上，点$N_1$，$N_2$在$L$上，点$M_1$，$M_2$到$OA$的距离均为$3\ \mathrm{m}$.已知$L$所在抛物线对应的函数表达式为$y=-\frac{1}{16}x^2$，求这两条灯带的总长.

（1）由题意知,$L_1$所在抛物线的顶点为$(2,\frac{1}{2})$,且过点$A(0,2)$,$\therefore$ 设其对应的函数表达式为$y=a(x-2)^2+\frac{1}{2}$.$\therefore 2=(0-2)^2a+\frac{1}{2}$,解得$a=\frac{3}{8}$.$\therefore L_1$所在抛物线对应的函数表达式为$y=\frac{3}{8}(x-2)^2+\frac{1}{2}$
（2）$\because$ 点$M_1,M_2$到$OA$的距离均为3 m,$\therefore$ 把$x=3$代入$y=\frac{3}{8}(x-2)^2+\frac{1}{2}$,得$y=\frac{7}{8}$.把$x=3$代入$y=-\frac{1}{16}x^2$,得$y=-\frac{1}{16}×3^2=-\frac{9}{16}$.$\therefore M_2N_2=M_1N_1=\frac{7}{8}-(-\frac{9}{16})=\frac{23}{16}(\mathrm{m})$.$\therefore$ 这两条灯带的总长为$\frac{23}{16}+\frac{23}{16}=\frac{23}{8}(\mathrm{m})$

【分析】
（1）求解$L_1$的抛物线函数表达式时，已知抛物线顶点坐标，选用顶点式计算最简便。首先根据题意确定$L_1$的顶点坐标：最低点到y轴（OA）距离为2m，故顶点横坐标为2；到x轴（BC）距离为$\frac{1}{2}\ \mathrm{m}$，故顶点纵坐标为$\frac{1}{2}$，即顶点为$(2,\frac{1}{2})$。再结合抛物线过点$A(0,2)$，将点A坐标代入顶点式即可求出参数$a$，得到解析式。
（2）灯带是垂直于x轴的竖直线段，长度等于上方点纵坐标减去下方点纵坐标。已知$M_1$到y轴距离为3m，即横坐标为3，分别将$x=3$代入$L_1$和$L$的解析式，求出对应纵坐标作差得到单条灯带长度；再结合$L_1$、$L_2$的对称性，两条灯带长度相等，乘2即可得到总长。
【解析】
（1）由题意可知，$L_1$所在抛物线的顶点坐标为$(2,\frac{1}{2})$，且经过点$A(0,2)$。
设$L_1$对应的函数表达式为$y=a(x-2)^2+\frac{1}{2}(a≠0)$，
将$A(0,2)$代入表达式得：$2=a(0-2)^2+\frac{1}{2}$，
解得$a=\frac{3}{8}$，
因此$L_1$所在抛物线对应的函数表达式为$y=\frac{3}{8}(x-2)^2+\frac{1}{2}$。
（2）$\because$点$M_1$、$M_2$到OA的距离均为3 m，$\therefore$点$M_1$的横坐标为3。
把$x=3$代入$y=\frac{3}{8}(x-2)^2+\frac{1}{2}$，得$y=\frac{7}{8}$；
把$x=3$代入$y=-\frac{1}{16}x^2$，得$y=-\frac{9}{16}$。
$\therefore$单条灯带长度$M_1N_1=\frac{7}{8}-(-\frac{9}{16})=\frac{23}{16}\ \mathrm{m}$，
由$L_1$、$L_2$关于y轴对称，可得$M_2N_2=M_1N_1=\frac{23}{16}\ \mathrm{m}$，
$\therefore$两条灯带的总长为$\frac{23}{16}+\frac{23}{16}=\frac{23}{8}\ \mathrm{m}$。
【答案】
（1）$y=\frac{3}{8}(x-2)^2+\frac{1}{2}$
（2）$\frac{23}{8}\ \mathrm{m}$
【知识点】
二次函数解析式求解，二次函数实际应用，二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的应用，解题关键是准确提取题干信息确定抛物线的关键点坐标，灵活选用二次函数解析式形式，结合对称性和竖直线段长度计算方法求解，能锻炼学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7

6 [2025盐城]小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如图①②所示的两种路线。小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线。羽毛球运动轨迹的剖面如图③所示，从点A处击球，击球点是抛物线的最高点，点A到地面的距离AO=2.4 m，球网上端点B到地面的距离BC=1.55 m，人与球网之间的距离OC=1.6 m，假设两种击球路线都经过点B正上方0.05 m处的点D，网前吊球和扣杀球的落点分别为点E，F。

(1) 请在图③中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线对应的函数表达式。
(2) 网前吊球的落点到球网的距离CE的长是 m。
(3) 甲在点A处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为36 m/s，网前吊球时，羽毛球下降的高度h(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数表达式为h＝5t²。乙在看到甲击球的同时尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要0.5 s。请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球。

（1）以O为坐标原点,OF所在直线为x轴,OA所在直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,2.4),D(1.6,1.6),设直线AD对应的函数表达式为$y=kx+n$,则$\begin{cases}n=2.4,\\1.6k+n=1.6,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-\frac{1}{2},\\n=2.4.\end{cases}$
∴扣杀球击球路线对应的函数表达式为$y=-\frac{1}{2}x+2.4$.设网前吊球击球路线对应的函数表达式为$y=ax^2+2.4$,将$D(1.6,1.6)$代入,得$1.6=a×1.6^2+2.4$,解得$a=-\frac{5}{16}$.$\therefore$ 网前吊球击球路线对应的函数表达式为$y=-\frac{5}{16}x^2+2.4$
（2）$(\frac{8\sqrt{3}}{5}-1.6)$
（3）对于$y=-\frac{1}{2}x+2.4$,令$y=0$,则$-\frac{1}{2}x+2.4=0$,解得$x=4.8$.$\therefore F(4.8,0)$.$\therefore OF=4.8\ \mathrm{m}$.$\therefore AF=\sqrt{OF^2+OA^2}=\sqrt{4.8^2+2.4^2}\approx5.37(\mathrm{m})$.$\because$ 扣杀球时,羽毛球的平均速度约为36 m/s,$\therefore \frac{5.37}{36}\approx0.15(\mathrm{s})$.$\because 0.15＜0.5$,$\therefore$ 乙不能接到扣杀球的击球.$\because$ 从点A处击球,击球点是抛物线的最高点,$\therefore$ 在$h=5t^2$中,令$h=2.4$,得$2.4=5t^2$.$\because t＞0$,$\therefore t\approx0.69$.$\because 0.69＞0.5$,$\therefore$ 乙能接到网前吊球的击球

【分析】
解决本题首先要结合题意建立合适的平面直角坐标系，确定已知点坐标后分步骤求解：
1. 第一问求两类击球路线的函数表达式：扣杀路线是直线，属于一次函数，已知过A、D两点，用待定系数法代入两点坐标即可求出解析式；网前吊球路线是抛物线，顶点为A(0,2.4)，设顶点式代入D点坐标即可求出二次函数解析式。
2. 第二问求CE长度，先令二次函数的y=0，解出的正x值为OE的长度，减去OC的长度1.6m即可得到CE。
3. 第三问判断接球情况，分别计算两种击球的落地时间：扣杀球先求落点F坐标，用勾股定理算AF长度，除以速度得飞行时间，和0.5s比较；网前吊球利用给出的h与t的关系式，令h=2.4求出落地时间，再和0.5s比较，时间大于0.5s即可被接到。
【解析】
(1) 以O为坐标原点，OF所在直线为x轴，OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，由题意得A(0,2.4)，D点坐标为(1.6,1.55+0.05)即(1.6,1.6)。
①求扣杀球路线的函数表达式：
设直线AD的函数表达式为$y=kx+n$，将A(0,2.4)、D(1.6,1.6)代入得：
$\begin{cases}n=2.4\\1.6k + n = 1.6\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-\frac{1}{2}\\n=2.4\end{cases}$
因此扣杀球击球路线对应的函数表达式为$y=-\frac{1}{2}x + 2.4$。
②求网前吊球路线的函数表达式：
已知A是抛物线顶点，设抛物线表达式为$y=ax^2 + 2.4$，将D(1.6,1.6)代入得：
$1.6 = a×1.6^2 + 2.4$
解得$a=-\frac{5}{16}$
因此网前吊球击球路线对应的函数表达式为$y=-\frac{5}{16}x^2 + 2.4$。
(2) 求CE的长度：
对于网前吊球的函数$y=-\frac{5}{16}x^2 + 2.4$，令y=0得：
$0 = -\frac{5}{16}x^2 + 2.4$
解得$x=\frac{8\sqrt{3}}{5}$（x取正值），即$OE=\frac{8\sqrt{3}}{5}\ \mathrm{m}$，因此$CE=OE-OC=\frac{8\sqrt{3}}{5}-1.6\ \mathrm{m}$。
(3) 判断乙能接到的击球：
①计算扣杀球落地时间：
令扣杀球函数$y=-\frac{1}{2}x + 2.4$中y=0，解得x=4.8，即F(4.8,0)，OF=4.8m。
由勾股定理得$AF=\sqrt{4.8^2 + 2.4^2}\approx5.37\ \mathrm{m}$，飞行时间$t_1=\frac{5.37}{36}\approx0.15\ \mathrm{s}$，因为0.15＜0.5，故乙不能接到扣杀球。
②计算网前吊球落地时间：
已知吊球下降高度$h=5t^2$，落地时下降高度h=2.4m，代入得$2.4=5t^2$，t＞0时解得$t\approx0.69\ \mathrm{s}$，因为0.69＞0.5，故乙能接到网前吊球。
【答案】
(1) 扣杀球路线函数表达式为$\boldsymbol{y=-\frac{1}{2}x + 2.4}$，网前吊球路线函数表达式为$\boldsymbol{y=-\frac{5}{16}x^2 + 2.4}$；
(2) $\boldsymbol{(\frac{8\sqrt{3}}{5}-1.6)}$；
(3) 乙能接到网前吊球的击球。

【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数实际应用；一次函数实际应用
【点评】
本题结合羽毛球运动的生活场景，考查一次函数、二次函数的实际应用，需要熟练掌握待定系数法求函数表达式的方法，结合函数性质求解落点，同时结合几何计算和给定函数关系解决实际判断问题，注重考查知识的应用能力和计算能力。
【难度系数】
0.7