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7. [2025宿迁中考]一块梯形木板ABCD，AD//BC，∠BCD=90°，AD=4，BC=10，CD=6，按如图方式设计一个矩形桌面EFCG(点E在边AB上).当EF=
5
时，矩形桌面面积最大.答案
如图,作 AH ⊥ BC 于点 H.
∵ AD // BC,∠BCD = 90°,
∴ ∠D = 180° - ∠BCD = 90°.
∵ ∠D = ∠BCD = ∠AHC = 90°,
∴ 四边形 AHCD 是矩形,
∴ AH = CD = 6,HC = AD = 4,
∴ BH = BC - CH = 10 - 4 = 6,
∴ BH = AH,
∴ ∠B = 45°. 又
∵ EF ⊥ CF,
∴ △BFE 是等腰直角三角形. 设 EF = BF = x(0 ＜ x ≤ 6),则 CF = BC - BF = 10 - x,
∴ 矩形桌面的面积$ S = EF · CF = x · (10 - x) = -(x - 5)^2 + 25,$
∴ 当 x = 5 时,S取得最大值.
8.［2024自贡中考］九(1)班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地，地上两段围墙AB⊥CD于点O(如图)，其中AB上的EO段围墙空缺。同学们测得AE=6.6 m，OE=1.4 m，OB=6 m，OC=5 m，OD=3 m，班长买来可切断的围栏16 m，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积是
46.4
m²。答案
解题思路:要利用围墙和围栏围成一个面积最大的封闭的矩形菜地,那就必须尽量利用原来的围墙,由题图可知,应尽量利用围墙的 AO 段和 CO 段,即矩形的两个边,一边在射线 OA 上,一边在射线 OC 上. 设射线 OA 上的这一段边长为 x m,矩形菜地的面积为 S m²,列出 S 与 x 之间的函数关系式,并对 x 的取值范围分两种情况讨论即可得解.
设矩形在 OA 上的一段长为 x m,矩形菜地的面积为 S m². 当 x ≤ 8 时,$S = x · \frac{16 - x - 1.4 + 5}{2} = -0.5x^2 + 9.8x = -0.5(x - 9.8)^2 + 48.02$,当 x = 8 时,S取得最大值,为46.4. 当 x ＞ 8 时,$S = x · (\frac{16 + 6.6 + 5}{2} - x) = -x^2 + 13.8x = -(x - 6.9)^2 + 47.61$,易知当 x ＞ 8 时,S随x的增大而减小,即当 x ＞ 8 时,S均小于46.4. 综上,可知该菜地最大面积是 46.4 m².
设矩形在 OA 上的一段长为 x m,矩形菜地的面积为 S m². 当 x ≤ 8 时,$S = x · \frac{16 - x - 1.4 + 5}{2} = -0.5x^2 + 9.8x = -0.5(x - 9.8)^2 + 48.02$,当 x = 8 时,S取得最大值,为46.4. 当 x ＞ 8 时,$S = x · (\frac{16 + 6.6 + 5}{2} - x) = -x^2 + 13.8x = -(x - 6.9)^2 + 47.61$,易知当 x ＞ 8 时,S随x的增大而减小,即当 x ＞ 8 时,S均小于46.4. 综上,可知该菜地最大面积是 46.4 m².
9. [2026安庆期中] 如图,在矩形ABCD中,AB=6厘米,BC=12厘米,点P从点A出发,沿边AB向点B以1厘米/秒的速度移动,同时,点Q从点B出发沿边BC向点C以2厘米/秒的速度移动,如果P,Q两点分别到达B,C两点后就停止移动.据此解答下列问题:
(1)运动开始第几秒时,△PBQ的面积等于8平方厘米?
(2)设运动开始后第t秒时,五边形APQCD的面积为S平方厘米.
①写出S关于t的函数表达式,并指出自变量的取值范围.
②求出当S≥68时,t的取值范围.
(1)运动开始第几秒时,△PBQ的面积等于8平方厘米?
(2)设运动开始后第t秒时,五边形APQCD的面积为S平方厘米.
①写出S关于t的函数表达式,并指出自变量的取值范围.
②求出当S≥68时,t的取值范围.
答案
解题思路:(1)设运动的时间为t秒,则AP = t,BQ = 2t,BP = 6 - t,根据三角形的面积公式列方程求解即可;(2)①根据五边形APQCD的面积等于矩形ABCD的面积减去三角形BPQ的面积列出S与t之间的函数表达式,再根据边长不为负数确定t的取值范围即可;②根据①的函数表达式列不等式,然后根据二次函数与一元二次方程以及不等式的关系求解即可.
解:(1)设运动的时间为t秒,则AP = t厘米,BQ = 2t厘米,BP = (6 - t)厘米.
由题意可得 $\frac{1}{2} × 2t(6 - t) = 8$,解得 t = 2 或 4.
所以运动开始第2秒或4秒时,△PBQ的面积等于8平方厘米.
(2)①由题意可得五边形APQCD的面积 $S = S_{\mathrm{矩形}ABCD} - S_{△ BPQ} = 6 × 12 - \frac{1}{2} × 2t(6 - t) = t^2 - 6t + 72$,
由 t ＞ 0,6 - t ＞ 0,解得 0 ＜ t ＜ 6.
②由题意可得 $t^2 - 6t + 72 ≥ 68$,即 $t^2 - 6t + 4 ≥ 0$,
令 $t^2 - 6t + 4 = 0$,得 $t = 3 - \sqrt{5}$ 或 $3 + \sqrt{5}$,
画出抛物线 $y = t^2 - 6t + 4$ 的草图(略),可知 $t^2 - 6t + 4 ≥ 0$ 的解集为 $t ≥ 3 + \sqrt{5}$ 或 $t ≤ 3 - \sqrt{5}$.
又
∵ 0 ＜ t ＜ 6,
∴ $3 + \sqrt{5} ≤ t ＜ 6$ 或 $0 ＜ t ≤ 3 - \sqrt{5}$.
解:(1)设运动的时间为t秒,则AP = t厘米,BQ = 2t厘米,BP = (6 - t)厘米.
由题意可得 $\frac{1}{2} × 2t(6 - t) = 8$,解得 t = 2 或 4.
所以运动开始第2秒或4秒时,△PBQ的面积等于8平方厘米.
(2)①由题意可得五边形APQCD的面积 $S = S_{\mathrm{矩形}ABCD} - S_{△ BPQ} = 6 × 12 - \frac{1}{2} × 2t(6 - t) = t^2 - 6t + 72$,
由 t ＞ 0,6 - t ＞ 0,解得 0 ＜ t ＜ 6.
②由题意可得 $t^2 - 6t + 72 ≥ 68$,即 $t^2 - 6t + 4 ≥ 0$,
令 $t^2 - 6t + 4 = 0$,得 $t = 3 - \sqrt{5}$ 或 $3 + \sqrt{5}$,
画出抛物线 $y = t^2 - 6t + 4$ 的草图(略),可知 $t^2 - 6t + 4 ≥ 0$ 的解集为 $t ≥ 3 + \sqrt{5}$ 或 $t ≤ 3 - \sqrt{5}$.
又
∵ 0 ＜ t ＜ 6,
∴ $3 + \sqrt{5} ≤ t ＜ 6$ 或 $0 ＜ t ≤ 3 - \sqrt{5}$.
10. 教材P64T10变式 [2026抚州临川一中月考]如图,正方形纸片ABCD的边长为4,将它剪去4个全等的直角三角形,得到四边形EFGH.设AE的长为x,四边形EFGH的面积为y.
(1)求y关于x的函数表达式.
(2)当AE取何值时,四边形EFGH的面积为10?
(3)四边形EFGH的面积是否存在最小值?若存在,求出最小值;若不存在,请说明理由.
(1)求y关于x的函数表达式.
(2)当AE取何值时,四边形EFGH的面积为10?
(3)四边形EFGH的面积是否存在最小值?若存在,求出最小值;若不存在,请说明理由.
答案
解:(1)
∵ $△ AEH ≌ △ BFE ≌ △ CGF ≌ △ DHG$,
∴ $S_{△ AEH} = S_{△ BFE} = S_{△ CGF} = S_{△ DHG}$,$AH = BE = 4 - x$,
∴ $S_{\mathrm{阴影}} = 4 × \frac{1}{2} × AE × AH = 2x(4 - x)$,
∴ $y = S_{\mathrm{正方形}ABCD} - S_{\mathrm{阴影}} = 4 × 4 - 2x(4 - x) = 2x^2 - 8x + 16$.
(2)令 $2x^2 - 8x + 16 = 10$,
解得 $x_1 = 1$,$x_2 = 3$,
∴ 当 AE = 1 或 3 时,四边形 EFGH 的面积为 10.
(3)存在最小值.
∵ $y = 2x^2 - 8x + 16 = 2(x - 2)^2 + 8$,$2 ＞ 0$,
∴ 当 x = 2 时,y取最小值,为8,
∴ 四边形 EFGH 的面积的最小值为 8.
∵ $△ AEH ≌ △ BFE ≌ △ CGF ≌ △ DHG$,
∴ $S_{△ AEH} = S_{△ BFE} = S_{△ CGF} = S_{△ DHG}$,$AH = BE = 4 - x$,
∴ $S_{\mathrm{阴影}} = 4 × \frac{1}{2} × AE × AH = 2x(4 - x)$,
∴ $y = S_{\mathrm{正方形}ABCD} - S_{\mathrm{阴影}} = 4 × 4 - 2x(4 - x) = 2x^2 - 8x + 16$.
(2)令 $2x^2 - 8x + 16 = 10$,
解得 $x_1 = 1$,$x_2 = 3$,
∴ 当 AE = 1 或 3 时,四边形 EFGH 的面积为 10.
(3)存在最小值.
∵ $y = 2x^2 - 8x + 16 = 2(x - 2)^2 + 8$,$2 ＞ 0$,
∴ 当 x = 2 时,y取最小值,为8,
∴ 四边形 EFGH 的面积的最小值为 8.
11. 应用意识 [2025北京西城区期中] 某农场用篱笆围成饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），现有四种方案供选择（如图）：
A方案为一个封闭的矩形；
B方案为一个等边三角形，并留一处1 m宽的门；
C方案为一个矩形，中间用一道垂直于墙的篱笆隔开，并在如图所示的三处各留1 m宽的门；
D方案为一个矩形，中间用一道平行于墙的篱笆隔开，并在如图所示的四处各留1 m宽的门。
已知计划中的篱笆（不包括门）总长为12 m，则能建成的饲养室中面积最大的方案为（
A方案为一个封闭的矩形；
B方案为一个等边三角形，并留一处1 m宽的门；
C方案为一个矩形，中间用一道垂直于墙的篱笆隔开，并在如图所示的三处各留1 m宽的门；
D方案为一个矩形，中间用一道平行于墙的篱笆隔开，并在如图所示的四处各留1 m宽的门。
已知计划中的篱笆（不包括门）总长为12 m，则能建成的饲养室中面积最大的方案为（
C
）答案
设建成的饲养室面积为 S m². 如图1,设 AB = x m,则 BC = (12 - 2x) m,所以 $S = x(12 - 2x) = -2(x - 3)^2 + 18$,当 x = 3 时,$S_{\mathrm{最大}} = 18$. 如图2,设 AB = BC = x m,则 2x - 1 = 12,解得 $x = \frac{13}{2}$,所以 $S = \frac{1}{2} × \frac{13}{2} × \sqrt{(\frac{13}{2})^2 - (\frac{13}{4})^2} = \frac{169\sqrt{3}}{16}$. 如图3,设 AB = CD = x m,则 EF = (x - 1) m,所以 BC = 12 - x - x - (x - 1) + 2 = (15 - 3x)(m),所以 $S = x(15 - 3x) = -3(x - \frac{5}{2})^2 + \frac{75}{4}$,当 $x = \frac{5}{2}$ 时,$S_{\mathrm{最大}} = \frac{75}{4}$. 如图4,设 EC = FD = x m,则 $AB = CD = \frac{12 - 2(x - 2)}{2} = (8 - x)(m)$,所以 $S = x(8 - x) = -(x - 4)^2 + 16$,当 x = 4 时,$S_{\mathrm{最大}} = 16$. 因为 $\frac{75}{4} ＞ \frac{169\sqrt{3}}{16} ＞ 18 ＞ 16$,所以建成的饲养室中面积最大的是方案C.
