9. 如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,点$D$在边$AB$上,$AD=AC$,$DE⊥ AB$,交$BC$于点$E$,连接$AE$.若$DE=3$,$BC=8$,则$BE$的长为（）

A.3
B.4
C.5
D.6


（第9题图）
（变式题图）
【变式题】进一步弱化图形
如图,在$△ ABC$中,$∠ A=90°$,$D$为$BC$上一点,且$CD=CA$,$DE⊥ BC$,交$AB$于点$E$.若$AB=5\ \mathrm{cm}$,$DE=2\ \mathrm{cm}$,则$BE$的长为$\mathrm{cm}$.

9.C 【变式题】3

【分析】
第9题：首先观察已知条件，∠C=90°、DE⊥AB可得两个直角，又有AD=AC，AE为公共斜边，可通过HL判定Rt△ACE和Rt△ADE全等，利用全等三角形对应边相等得到CE=DE，再用BC的长度减去CE即可求出BE的长。
变式题：解题思路与第9题一致，由∠A=90°、DE⊥BC得两个直角，结合CD=CA、CE为公共斜边，用HL判定Rt△CAE和Rt△CDE全等，得到AE=DE，用AB长度减去AE即可得BE的长。
【解析】
第9题
∵ ∠C=90°，DE⊥AB，
∴ ∠C=∠ADE=90°
在$\mathrm{Rt}△ACE$和$\mathrm{Rt}△ADE$中：
$\begin{cases}AC=AD \\AE=AE\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ACE≌\mathrm{Rt}△ADE\ (\mathrm{HL})$
∴ $CE=DE=3$
∵ $BC=8$
∴ $BE=BC-CE=8-3=5$，故选C。
变式题
∵ ∠A=90°，DE⊥BC，
∴ ∠A=∠CDE=90°
在$\mathrm{Rt}△CAE$和$\mathrm{Rt}△CDE$中：
$\begin{cases}CA=CD \\CE=CE\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△CAE≌\mathrm{Rt}△CDE\ (\mathrm{HL})$
∴ $AE=DE=2\ \mathrm{cm}$
∵ $AB=5\ \mathrm{cm}$
∴ $BE=AB-AE=5-2=3\ \mathrm{cm}$
【答案】
9.C 【变式题】3
【知识点】
HL判定直角三角形全等、全等三角形的性质
【点评】
两道题均为全等三角形判定的基础应用题型，核心是识别共斜边的直角三角形，结合已知等边条件用HL证明全等，再通过线段和差关系求解，是几何中求线段长度的常见考法。
【难度系数】
0.7

10. 分类讨论新理念 如图，∠C=90°, AC=10, BC=5, AX⊥AC于点A,点P,Q从点A出发,分别在线段AC和射线AX上运动,且AB=PQ.当AP的长为时,△ABC与△APQ全等.

10. 5或10

【分析】
本题需要结合直角三角形全等的HL判定定理，采用分类讨论的思想求解。首先明确△ABC和△APQ都是直角三角形，且已知斜边AB=PQ，根据HL判定规则，只要一组直角边对应相等即可证明两三角形全等，因此分两种对应边相等的情况讨论AP的长度即可。
【解析】
解：
∵∠C=90°，AX⊥AC，
∴∠C=∠PAQ=90°，即△ABC和△APQ均为直角三角形。
已知AB=PQ，分两种情况讨论：
① 当Rt△ABC≌Rt△QPA时，对应直角边AP=BC，
∵BC=5，
∴AP=5；
② 当Rt△ABC≌Rt△PQA时，对应直角边AP=AC，
∵AC=10，
∴AP=10。
综上，AP的长为5或10时，△ABC与△APQ全等。
【答案】
5或10
【知识点】
HL判定定理，全等三角形的性质，分类讨论思想
【点评】
本题解题的关键是明确直角三角形全等的判定条件，结合全等的对应关系进行分类讨论，注意不要遗漏对应边的不同情况。
【难度系数】
0.7

11.如图，E为AB延长线上的一点，$AC⊥ BC$于点C，$AD⊥ BD$于点D，$AC=AD$。
(1)求证：$∠ CAB=∠ DAB$；
(2)求证：$∠ CEA=∠ DEA$。

11. 证明:(1)$\because AC⊥ BC,AD⊥ BD,\therefore ∠ ACB=∠ ADB=90°$. 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 和 $\mathrm{Rt}△ ABD$ 中, $\because \begin{cases} AB=AB, \\ AC=AD, \end{cases}$ $\therefore \mathrm{Rt}△ ABC≌ \mathrm{Rt}△ ABD (\mathrm{HL}).$ $\therefore ∠ CAB=∠ DAB.$ (2) 在 $△ ACE$ 和 $△ ADE$ 中, $\because \begin{cases} AC=AD, \\ ∠ CAE=∠ DAE, \\ AE=AE, \end{cases}$ $\therefore △ ACE ≌ △ ADE(\mathrm{SAS}). \therefore ∠ CEA=∠ DEA.$

【分析】
(1) 要证∠CAB=∠DAB，可通过证明两角所在的三角形全等推导。已知AC⊥BC、AD⊥BD，可得△ABC和△ABD均为直角三角形，且两个三角形有公共斜边AB，直角边AC=AD，符合直角三角形全等的HL判定条件，证得全等后利用全等三角形对应角相等即可得证。
(2) 要证∠CEA=∠DEA，同样可通过证明两角所在的△ACE和△ADE全等推导。已知AC=AD、公共边AE，结合第(1)问已证得的∠CAE=∠DAE，符合三角形全等的SAS判定条件，证得全等后利用对应角相等即可得证。
【解析】
(1) $\because AC⊥ BC,AD⊥ BD,\therefore ∠ ACB=∠ ADB=90°$.
在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 和 $\mathrm{Rt}△ ABD$ 中,
$\because \begin{cases} AB=AB, \\ AC=AD, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABC≌ \mathrm{Rt}△ ABD (\mathrm{HL}).$
$\therefore ∠ CAB=∠ DAB.$
(2) 在 $△ ACE$ 和 $△ ADE$ 中,
$\because \begin{cases} AC=AD, \\ ∠ CAE=∠ DAE, \\ AE=AE, \end{cases}$
$\therefore △ ACE ≌ △ ADE(\mathrm{SAS}).$
$\therefore ∠ CEA=∠ DEA.$
【答案】
(1) 证明成立，$∠ CAB=∠ DAB$；
(2) 证明成立，$∠ CEA=∠ DEA$。
【知识点】
HL全等判定、SAS全等判定、全等三角形性质
【点评】
本题是全等三角形判定与性质的基础应用题型，解题时可结合已知条件和待证结论，逆向推导需要的全等条件，同时要注意利用前一问的已证结论作为后一问的推理依据，形成连贯的证明逻辑。
【难度系数】
0.8

12. 如图，AD是$△ ABC$的中线，$BE⊥ AD$，垂足为$E$，$CF⊥ AD$，交$AD$的延长线于点$F$，$G$是$DA$延长线上的一点，连接$BG$。
(1)求证：$BE=CF$；
(2)若$BG=CA$，求证：$AG=2DE$。

12. 证明:(1)$\because AD$ 是$△ ABC$ 的中线, $\therefore BD=CD$. $\because BE⊥ AD,CF⊥ AD,\therefore ∠ BED=∠ F=90°$. 在$△ BED$ 和$△ CFD$ 中, $\because \begin{cases} ∠ BED=∠ F, \\ ∠ BDE=∠ CDF, \\ BD=CD, \end{cases}$ $\therefore △ BED≌ △ CFD(\mathrm{AAS}).$ $\therefore BE=CF.$ (2) 在 $\mathrm{Rt}△ BGE$ 和 $\mathrm{Rt}△ CAF$ 中, $\because \begin{cases} BG=CA, \\ BE=CF, \end{cases}$ $\therefore \mathrm{Rt}△ BGE ≌ \mathrm{Rt}△ CAF(\mathrm{HL}). \therefore GE=AF. \therefore GE - AE = AF - AE$, 即 $AG=EF$. 由(1)知$△ BED≌ △ CFD,\therefore DE=DF=\frac{1}{2}EF. \therefore AG=2DE.$

【分析】
(1) 要证明$BE=CF$，可通过证明$BE$和$CF$所在的三角形全等来推导。首先由$AD$是$△ ABC$的中线可得$BD=CD$，结合$BE⊥ AD$、$CF⊥ AD$可得两个对应直角相等，再加上对顶角$∠ BDE=∠ CDF$，满足AAS全等判定的条件，证得$△ BED≌△ CFD$后即可得到对应边$BE=CF$。
(2) 要证明$AG=2DE$，首先结合已知$BG=CA$和(1)中得到的$BE=CF$，可利用HL判定证明$\mathrm{Rt}△ BGE≌\mathrm{Rt}△ CAF$，得到$GE=AF$，等式两边同时减去公共线段$AE$可得$AG=EF$；再结合(1)中全等三角形的性质可得$DE=DF$，即$EF=2DE$，通过等量代换即可证得结论。
【解析】
(1) 由中线的定义可得$BD=CD$，结合垂直的性质得到两组对应角相等，利用AAS证明$△ BED≌△ CFD$，根据全等三角形对应边相等得到$BE=CF$。
(2) 先利用HL证明$\mathrm{Rt}△ BGE≌\mathrm{Rt}△ CAF$，推导得到$AG=EF$，再结合(1)中全等的结论得到$EF=2DE$，通过等量代换证得$AG=2DE$。
【答案】
(1)证明：$\because AD$ 是$△ ABC$ 的中线, $\therefore BD=CD$. $\because BE⊥ AD,CF⊥ AD,\therefore ∠ BED=∠ F=90°$. 在$△ BED$ 和$△ CFD$ 中, $\because \begin{cases} ∠ BED=∠ F, \\ ∠ BDE=∠ CDF, \\ BD=CD, \end{cases}$ $\therefore △ BED≌△ CFD(\mathrm{AAS}).$ $\therefore BE=CF.$
(2)证明：在 $\mathrm{Rt}△ BGE$ 和 $\mathrm{Rt}△ CAF$ 中, $\because \begin{cases} BG=CA, \\ BE=CF, \end{cases}$ $\therefore \mathrm{Rt}△ BGE ≌ \mathrm{Rt}△ CAF(\mathrm{HL}). \therefore GE=AF. \therefore GE - AE = AF - AE$, 即 $AG=EF$. 由(1)知$△ BED≌△ CFD,\therefore DE=DF=\frac{1}{2}EF. \therefore AG=2DE.$
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 直角三角形HL判定
3. 三角形中线的定义
【点评】
本题是全等三角形的综合应用题，解题时需要结合已知条件灵活选用全等判定定理，第二问需借助第一问的结论进行多次等量代换，能够有效锻炼逻辑推理能力和几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6