例1 如图，A,B,C是圆周上不同的三点，连接OA,OB,AC,BC。分别测量下图中弧AB所对的圆心角∠AOB与圆周角∠ACB的度数，它们之间有什么关系？提出自己的猜想。

80 40 $\dfrac{1}{2}$ 100 50 $\dfrac{1}{2}$ 150 75 $\dfrac{1}{2}$

我的猜想
通过测量，我发现圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的（）。

一半

例2 任意一条弧AB所对的圆心角∠AOB和圆周角∠ACB都满足上述猜想吗？
我的思考
点C的位置会影响圆心角∠AOB和圆周角∠ACB的位置关系，圆心O可能在∠ACB的一条边上，也可能在∠ACB的内部，还可能在∠ACB的外部。我们可以分情况讨论。

解：
分三种情况推导：
1. 圆心O在∠ACB的一条边上
∵ OA、OB、OC都是圆的半径，
∴ OC = OB，
∴ ∠OCB = ∠OBC，
∵ ∠AOB是△OCB的外角，
∴ ∠AOB = ∠OCB + ∠OBC = 2∠ACB，
即 $∠ ACB = \frac{1}{2}∠ AOB$。
2. 圆心O在∠ACB的内部
过点C作直径CD，
由第一种情况的结论可得：
$∠ ACD = \frac{1}{2}∠ AOD$，$∠ BCD = \frac{1}{2}∠ BOD$，
∴ $∠ ACB = ∠ ACD + ∠ BCD = \frac{1}{2}(∠ AOD + ∠ BOD) = \frac{1}{2}∠ AOB$。
3. 圆心O在∠ACB的外部
过点C作直径CD，
由第一种情况的结论可得：
$∠ ACD = \frac{1}{2}∠ AOD$，$∠ BCD = \frac{1}{2}∠ BOD$，
∴ $∠ ACB = ∠ ACD - ∠ BCD = \frac{1}{2}(∠ AOD - ∠ BOD) = \frac{1}{2}∠ AOB$。
综上，任意一条弧AB所对的圆心角∠AOB和圆周角∠ACB都满足圆周角等于对应圆心角一半的猜想。