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9.(2025·南充)设$x_1,x_2$是关于$x$的方程$(x-1)(x-2)=m^2$的两根.
(1)当$x_1=-1$时,求$x_2$及$m$的值;
(2)求证:$(x_1-1)(x_2-1)≤0.$
(1)当$x_1=-1$时,求$x_2$及$m$的值;
(2)求证:$(x_1-1)(x_2-1)≤0.$
答案
9.(1)解:把$x_1=-1$代入方程$(x-1)(x-2)=m^2$,得$m^2=6$,
$\therefore m=\pm\sqrt{6},\therefore (x-1)(x-2)=6$,即$x^2-3x-4=0$,
$\therefore (x-4)(x+1)=0,\therefore x_1=-1,x_2=4$.
$\therefore x_2=4,m=\pm\sqrt{6}$.
(2)证明:方程$(x-1)(x-2)=m^2$可化为$x^2-3x+2-m^2=0$.
$\because \Delta=9-4(2-m^2)=4m^2+1＞0$,
$\therefore$方程有两个不相等的实数根.
$\because$方程$(x-1)(x-2)=m^2$即$x^2-3x+2-m^2=0$的两根为$x_1,x_2$,
$\therefore x_1+x_2=3,x_1x_2=2-m^2$,
$\therefore (x_1-1)(x_2-1)=x_1x_2-(x_1+x_2)+1=2-m^2-3+1=-m^2$.
$\because m^2\ge0,\therefore -m^2\le0$,即$(x_1-1)(x_2-1)\le0$.
$\therefore m=\pm\sqrt{6},\therefore (x-1)(x-2)=6$,即$x^2-3x-4=0$,
$\therefore (x-4)(x+1)=0,\therefore x_1=-1,x_2=4$.
$\therefore x_2=4,m=\pm\sqrt{6}$.
(2)证明:方程$(x-1)(x-2)=m^2$可化为$x^2-3x+2-m^2=0$.
$\because \Delta=9-4(2-m^2)=4m^2+1＞0$,
$\therefore$方程有两个不相等的实数根.
$\because$方程$(x-1)(x-2)=m^2$即$x^2-3x+2-m^2=0$的两根为$x_1,x_2$,
$\therefore x_1+x_2=3,x_1x_2=2-m^2$,
$\therefore (x_1-1)(x_2-1)=x_1x_2-(x_1+x_2)+1=2-m^2-3+1=-m^2$.
$\because m^2\ge0,\therefore -m^2\le0$,即$(x_1-1)(x_2-1)\le0$.
10.(2025·锡山区期末)如图,用长为25米的篱笆,一面利用墙(墙的最大可用长度为14米),围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃,为了方便出入,在建造篱笆花圃时,在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门.
(1)设花圃的一边AB长为x米,请用含x的代数式表示另一边AD的长为
(2)若此时花圃的面积刚好为60平方米,求此时花圃的长与宽;
(3)建成花圃的面积能为61平方米吗?请说明理由.
(1)设花圃的一边AB长为x米,请用含x的代数式表示另一边AD的长为
(27-3x)
米;(2)若此时花圃的面积刚好为60平方米,求此时花圃的长与宽;
(3)建成花圃的面积能为61平方米吗?请说明理由.
答案
10.(1)$(27-3x)$
(2)解:设花圃的一边AB长为x米,
根据题意,得$x(27-3x)=60$,
整理,得$x^2-9x+20=0$,解得$x_1=5,x_2=4$.
当$x=5$时,$27-3x=12＜14$,符合题意;
当$x=4$时,$27-3x=15＞14$,不符合题意,舍去.
答:此时花圃的长为12米,宽为5米.
(3)解:建成花圃的面积不能为61平方米,理由如下:
设花圃的一边AB长为y米,
根据题意,得$y(27-3y)=61$,
整理,得$3y^2-27y+61=0$,
$\because \Delta=(-27)^2-4×3×61=-3＜0$,
$\therefore$原方程无实数根,
$\therefore$建成花圃的面积不能为61平方米.
(2)解:设花圃的一边AB长为x米,
根据题意,得$x(27-3x)=60$,
整理,得$x^2-9x+20=0$,解得$x_1=5,x_2=4$.
当$x=5$时,$27-3x=12＜14$,符合题意;
当$x=4$时,$27-3x=15＞14$,不符合题意,舍去.
答:此时花圃的长为12米,宽为5米.
(3)解:建成花圃的面积不能为61平方米,理由如下:
设花圃的一边AB长为y米,
根据题意,得$y(27-3y)=61$,
整理,得$3y^2-27y+61=0$,
$\because \Delta=(-27)^2-4×3×61=-3＜0$,
$\therefore$原方程无实数根,
$\therefore$建成花圃的面积不能为61平方米.
11.某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大.该厂3,4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量比3月份的2倍少100吨.
(1)求4月份再生纸的产量；
(2)若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸的产量比上月增加$m\%$，5月份每吨再生纸的利润比上月增加$\frac{m}{2}\%$，则5月份再生纸项目月利润达到66万元，求$m$的值；
(3)若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月份每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分率相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%.求6月份每吨再生纸的利润是多少元.
(1)求4月份再生纸的产量；
(2)若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸的产量比上月增加$m\%$，5月份每吨再生纸的利润比上月增加$\frac{m}{2}\%$，则5月份再生纸项目月利润达到66万元，求$m$的值；
(3)若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月份每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分率相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%.求6月份每吨再生纸的利润是多少元.
答案
11.解:(1)设3月份再生纸的产量为x吨,则4月份再生纸的产量为$(2x-100)$吨.
根据题意,得$x+2x-100=800$,解得$x=300$,
$\therefore 2x-100=2×300-100=500$.
答:4月份再生纸的产量为500吨.
(2)根据题意,得$1000(1+\frac{m}{2}\%)×500(1+m\%)=660000$,整理,得$m^2+300m-6400=0$,
解得$m_1=20,m_2=-320$(不符合题意,舍去).
答:$m$的值为20.
(3)设4至6月份每吨再生纸利润的月平均增长率为y,5月份再生纸的产量为a吨,则6月份每吨再生纸的利润是$1200(1+y)^2$元.
根据题意,得$1200(1+y)^2· a(1+y)=(1+25\%)×1200(1+y)· a,\therefore 1200(1+y)^2=1500$.
答:6月份每吨再生纸的利润是1500元.
根据题意,得$x+2x-100=800$,解得$x=300$,
$\therefore 2x-100=2×300-100=500$.
答:4月份再生纸的产量为500吨.
(2)根据题意,得$1000(1+\frac{m}{2}\%)×500(1+m\%)=660000$,整理,得$m^2+300m-6400=0$,
解得$m_1=20,m_2=-320$(不符合题意,舍去).
答:$m$的值为20.
(3)设4至6月份每吨再生纸利润的月平均增长率为y,5月份再生纸的产量为a吨,则6月份每吨再生纸的利润是$1200(1+y)^2$元.
根据题意,得$1200(1+y)^2· a(1+y)=(1+25\%)×1200(1+y)· a,\therefore 1200(1+y)^2=1500$.
答:6月份每吨再生纸的利润是1500元.
