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1. (1)定义:一般地,形如
(2)二次函数与一次函数对比
$y=ax^2+bx+c$
$(a,b,c$是常数,$a≠0)$的函数,叫作二次函数
.其中$x$是自变量,$a,b,c$分别是函数解析式的二次项系数
、一次项系数
和常数项
.(2)二次函数与一次函数对比
答案
1. (1) y=ax²+bx+c 二次函数 二次项系数 一次项系数 常数项
解析
【分析】
本题考查二次函数的基础定义，解题时首先回忆课本中二次函数的定义内容，明确二次函数的一般形式，再依次对应识别解析式中各参数的名称即可。解题时注意抓住定义的核心要素：$a≠0$，最高次项为二次项，再对应区分不同项的系数名称。
【解析】
根据二次函数的定义填空：
1. 二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c$，要求$a,b,c$是常数且$a≠0$，符合该形式的函数叫做二次函数。
2. 解析式中，$a$与$x^2$（二次项）相乘，因此是二次项系数；$b$与$x$（一次项）相乘，因此是一次项系数；$c$是不含自变量的固定值，因此是常数项。
【答案】
(1) $y=ax^2+bx+c$；二次函数；二次项系数；一次项系数；常数项
【知识点】
二次函数的定义；函数系数的识别
【点评】
本题是基础概念类题目，重点考查对二次函数定义的记忆与理解，牢记定义中的形式和各参数的含义即可正确作答，是学习二次函数相关知识的必备基础。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数的基础定义，解题时首先回忆课本中二次函数的定义内容，明确二次函数的一般形式，再依次对应识别解析式中各参数的名称即可。解题时注意抓住定义的核心要素：$a≠0$，最高次项为二次项，再对应区分不同项的系数名称。
【解析】
根据二次函数的定义填空：
1. 二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c$，要求$a,b,c$是常数且$a≠0$，符合该形式的函数叫做二次函数。
2. 解析式中，$a$与$x^2$（二次项）相乘，因此是二次项系数；$b$与$x$（一次项）相乘，因此是一次项系数；$c$是不含自变量的固定值，因此是常数项。
【答案】
(1) $y=ax^2+bx+c$；二次函数；二次项系数；一次项系数；常数项
【知识点】
二次函数的定义；函数系数的识别
【点评】
本题是基础概念类题目，重点考查对二次函数定义的记忆与理解，牢记定义中的形式和各参数的含义即可正确作答，是学习二次函数相关知识的必备基础。
【难度系数】
0.9
2.【例1】下列各式中，一定是二次函数的是________.(填序号)
①$y=x^2$；
②$s=3-2t^2$；
③$y=x^2+x^3+25$；
④$y=\frac{1}{x^2}$；
⑤$y=2^2-3x$；
⑥$y=(x+3)^2 -x^2$。
①$y=x^2$；
②$s=3-2t^2$；
③$y=x^2+x^3+25$；
④$y=\frac{1}{x^2}$；
⑤$y=2^2-3x$；
⑥$y=(x+3)^2 -x^2$。
答案
①②
解析
【分析】
要判断给定的式子是否为二次函数，首先需要明确二次函数的判定标准：①函数表达式是整式；②自变量的最高次数为2；③二次项的系数不为0，三个条件必须同时满足。解题时先牢记这三个条件，再逐个分析每个式子，对于含有括号可化简的式子，先化简到最简形式再判断，避免误判。
【解析】
首先明确二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$为常数，且$a≠ 0$）的函数叫做二次函数。我们逐个分析所给式子：
①$y=x^2$：是整式，自变量$x$的最高次数为2，二次项系数为1≠0，满足二次函数的定义，是二次函数；
②$s=3-2t^2$：自变量为$t$，表达式是整式，$t$的最高次数为2，二次项系数为-2≠0，满足二次函数的定义，是二次函数；
③$y=x^2+x^3+25$：自变量$x$的最高次数为3，不满足最高次数为2的要求，不是二次函数；
④$y=\frac{1}{x^2}$：表达式是分式，不是整式，不满足要求，不是二次函数；
⑤$y=2^2-3x=4-3x$：自变量$x$的最高次数为1，是一次函数，不是二次函数；
⑥$y=(x+3)^2 -x^2$，先化简得：$y=x^2+6x+9-x^2=6x+9$，化简后二次项系数为0，自变量最高次数为1，是一次函数，不是二次函数。
综上，一定是二次函数的是①②。
【答案】
①②
【知识点】
二次函数的定义；整式的化简
【点评】
本题是二次函数判定的基础题，解题的核心是准确把握二次函数的定义特征，尤其要注意需要先将函数表达式化简为最简形式后再判断，防止看到原式含二次项就直接判定为二次函数。
【难度系数】
0.75
要判断给定的式子是否为二次函数，首先需要明确二次函数的判定标准：①函数表达式是整式；②自变量的最高次数为2；③二次项的系数不为0，三个条件必须同时满足。解题时先牢记这三个条件，再逐个分析每个式子，对于含有括号可化简的式子，先化简到最简形式再判断，避免误判。
【解析】
首先明确二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$为常数，且$a≠ 0$）的函数叫做二次函数。我们逐个分析所给式子：
①$y=x^2$：是整式，自变量$x$的最高次数为2，二次项系数为1≠0，满足二次函数的定义，是二次函数；
②$s=3-2t^2$：自变量为$t$，表达式是整式，$t$的最高次数为2，二次项系数为-2≠0，满足二次函数的定义，是二次函数；
③$y=x^2+x^3+25$：自变量$x$的最高次数为3，不满足最高次数为2的要求，不是二次函数；
④$y=\frac{1}{x^2}$：表达式是分式，不是整式，不满足要求，不是二次函数；
⑤$y=2^2-3x=4-3x$：自变量$x$的最高次数为1，是一次函数，不是二次函数；
⑥$y=(x+3)^2 -x^2$，先化简得：$y=x^2+6x+9-x^2=6x+9$，化简后二次项系数为0，自变量最高次数为1，是一次函数，不是二次函数。
综上，一定是二次函数的是①②。
【答案】
①②
【知识点】
二次函数的定义；整式的化简
【点评】
本题是二次函数判定的基础题，解题的核心是准确把握二次函数的定义特征，尤其要注意需要先将函数表达式化简为最简形式后再判断，防止看到原式含二次项就直接判定为二次函数。
【难度系数】
0.75
3.（人教九上$\mathrm{P}_{31}$思考变式）下列各式中，$y$一定是$x$的二次函数的是（
A.$y = ax^2 + bx + c$
B.$y = x^2 + \frac{1}{x} + 1$
C.$y = 2x^2 - x$
D.$y = \sqrt{x^2 - 1}$
C
）A.$y = ax^2 + bx + c$
B.$y = x^2 + \frac{1}{x} + 1$
C.$y = 2x^2 - x$
D.$y = \sqrt{x^2 - 1}$
答案
3. C
解析
【分析】
本题考查二次函数的判定，解题核心是牢记二次函数的定义要求。首先明确二次函数需要同时满足三个条件：①表达式是整式（分母、根号下不能含自变量x）；②自变量x的最高次数为2；③二次项的系数不为0。接下来我们对照这三个条件逐一排查选项，排除不符合的即可得到正确答案。
【解析】
根据二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$为常数，且$a\ne0$）的函数是二次函数，需同时满足三个判定条件，逐一分析选项：
选项A：未说明$a\ne0$，若$a=0$，函数最高次数小于2，不是二次函数，故A错误；
选项B：表达式中含$\frac{1}{x}$，属于分式，不满足整式要求，不是二次函数，故B错误；
选项C：$y=2x^2-x$是整式，x的最高次数为2，且二次项系数$2\ne0$，符合二次函数定义，故C正确；
选项D：表达式含根号，且根号下含自变量x，不是整式，不符合二次函数要求，故D错误。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 整式的概念
【点评】
本题是二次函数概念的基础考查题，解题关键是准确掌握二次函数的三个判定要点，注意不要忽略二次项系数不为0、表达式为整式这两个容易遗漏的限制条件。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数的判定，解题核心是牢记二次函数的定义要求。首先明确二次函数需要同时满足三个条件：①表达式是整式（分母、根号下不能含自变量x）；②自变量x的最高次数为2；③二次项的系数不为0。接下来我们对照这三个条件逐一排查选项，排除不符合的即可得到正确答案。
【解析】
根据二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$为常数，且$a\ne0$）的函数是二次函数，需同时满足三个判定条件，逐一分析选项：
选项A：未说明$a\ne0$，若$a=0$，函数最高次数小于2，不是二次函数，故A错误；
选项B：表达式中含$\frac{1}{x}$，属于分式，不满足整式要求，不是二次函数，故B错误；
选项C：$y=2x^2-x$是整式，x的最高次数为2，且二次项系数$2\ne0$，符合二次函数定义，故C正确；
选项D：表达式含根号，且根号下含自变量x，不是整式，不符合二次函数要求，故D错误。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 整式的概念
【点评】
本题是二次函数概念的基础考查题，解题关键是准确掌握二次函数的三个判定要点，注意不要忽略二次项系数不为0、表达式为整式这两个容易遗漏的限制条件。
【难度系数】
0.8
4.【例2】填空：
注意:二次函数的三种特殊形式:①$y=ax^2(a≠0,b=0,c=0)$;②$y=ax^2+c(a≠0,b=0,c≠0)$;③$y=ax^2+bx(a≠0,b≠0,c=0)$.
注意:二次函数的三种特殊形式:①$y=ax^2(a≠0,b=0,c=0)$;②$y=ax^2+c(a≠0,b=0,c≠0)$;③$y=ax^2+bx(a≠0,b≠0,c=0)$.
答案
4. y = -3x² -5 -3 0 -5 y = -5x² +2x -5 2 0 y = -3x² +6x -3 -3 6 -3 y =6x² -13x +6 6 -13 6
解析
【分析】
解题核心思路是先将每个给定的二次函数通过整式运算整理为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的一般形式，整理时按$x$的降幂排列；其中$x^2$项的系数为二次项系数，$x$项的系数为一次项系数，不含$x$的项为常数项，若缺少某一次数的项，则对应项的系数为0，提取系数时要保留原有符号。
【解析】
1. 处理$y=-5-3x^2$：
按降幂排列整理为一般式：$\boldsymbol{y=-3x^2-5}$，对应二次项系数为$-3$，一次项系数为$0$，常数项为$-5$。
2. 处理$y=x(2-5x)$：
去括号得$y=2x-5x^2$，整理为一般式：$\boldsymbol{y=-5x^2+2x}$，对应二次项系数为$-5$，一次项系数为$2$，常数项为$0$。
3. 处理$y=-3(x-1)^2$：
先展开完全平方得$(x-1)^2=x^2-2x+1$，乘系数整理为一般式：$\boldsymbol{y=-3x^2+6x-3}$，对应二次项系数为$-3$，一次项系数为$6$，常数项为$-3$。
4. 处理$y=(2x-3)(3x-2)$：
多项式乘法展开并合并同类项：$y=6x^2-4x-9x+6=6x^2-13x+6$，整理为一般式：$\boldsymbol{y=6x^2-13x+6}$，对应二次项系数为$6$，一次项系数为$-13$，常数项为$6$。
【答案】
$y=-3x^2 -5$，$-3$，$0$，$-5$；$y=-5x^2 +2x$，$-5$，$2$，$0$；$y=-3x^2 +6x -3$，$-3$，$6$，$-3$；$y=6x^2 -13x +6$，$6$，$-13$，$6$
【知识点】
二次函数一般形式，整式化简，多项式系数识别
【点评】
本题是二次函数基础题型，重点考查二次函数一般式的转化能力，解题关键是正确化简函数式，注意系数的符号，缺失项的对应系数为0。
【难度系数】
0.85
解题核心思路是先将每个给定的二次函数通过整式运算整理为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的一般形式，整理时按$x$的降幂排列；其中$x^2$项的系数为二次项系数，$x$项的系数为一次项系数，不含$x$的项为常数项，若缺少某一次数的项，则对应项的系数为0，提取系数时要保留原有符号。
【解析】
1. 处理$y=-5-3x^2$：
按降幂排列整理为一般式：$\boldsymbol{y=-3x^2-5}$，对应二次项系数为$-3$，一次项系数为$0$，常数项为$-5$。
2. 处理$y=x(2-5x)$：
去括号得$y=2x-5x^2$，整理为一般式：$\boldsymbol{y=-5x^2+2x}$，对应二次项系数为$-5$，一次项系数为$2$，常数项为$0$。
3. 处理$y=-3(x-1)^2$：
先展开完全平方得$(x-1)^2=x^2-2x+1$，乘系数整理为一般式：$\boldsymbol{y=-3x^2+6x-3}$，对应二次项系数为$-3$，一次项系数为$6$，常数项为$-3$。
4. 处理$y=(2x-3)(3x-2)$：
多项式乘法展开并合并同类项：$y=6x^2-4x-9x+6=6x^2-13x+6$，整理为一般式：$\boldsymbol{y=6x^2-13x+6}$，对应二次项系数为$6$，一次项系数为$-13$，常数项为$6$。
【答案】
$y=-3x^2 -5$，$-3$，$0$，$-5$；$y=-5x^2 +2x$，$-5$，$2$，$0$；$y=-3x^2 +6x -3$，$-3$，$6$，$-3$；$y=6x^2 -13x +6$，$6$，$-13$，$6$
【知识点】
二次函数一般形式，整式化简，多项式系数识别
【点评】
本题是二次函数基础题型，重点考查二次函数一般式的转化能力，解题关键是正确化简函数式，注意系数的符号，缺失项的对应系数为0。
【难度系数】
0.85
5.【例3】(1)若关于$x$的函数$y=x^m +x$是二次函数，则实数$m=$
(2)若关于$x$的函数$y=(2 - a)x^2 -x$是二次函数，则$a$的取值范围是
6.若$y=(m - 2)x^{|m|} -x -1$是关于$x$的二次函数，则实数$m=$
2
；(2)若关于$x$的函数$y=(2 - a)x^2 -x$是二次函数，则$a$的取值范围是
$a≠2$
.6.若$y=(m - 2)x^{|m|} -x -1$是关于$x$的二次函数，则实数$m=$
-2
.答案
5. (1) 2 (2) a≠2 6. -2
解析
【分析】
解题核心是牢记二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a\ne0$，$a、b、c$为常数）的函数叫做二次函数，判定需满足两个条件：①自变量$x$的最高次数为2；②二次项系数不等于0。
1. 第5(1)题：函数$y=x^m +x$中，$x$的现有次数为1，要满足最高次数为2，只需$x^m$的次数$m=2$即可。
2. 第5(2)题：函数已有二次项$(2-a)x^2$，只需保证二次项系数不为0，列不等式求解即可。
3. 第6题：首先根据最高次数为2列方程求$m$的可能值，再根据二次项系数不为0排除不符合的取值，得到最终结果。
【解析】
5. (1) 已知$y=x^m +x$是二次函数，根据二次函数定义，自变量最高次数为2，因此$m=2$。
(2) 已知$y=(2-a)x^2 -x$是二次函数，需满足二次项系数不为0，即$2-a\ne0$，解得$a\ne2$。
6. 已知$y=(m - 2)x^{|m|} -x -1$是二次函数：
第一步，根据最高次数为2可得：$|m|=2$，解得$m=2$或$m=-2$；
第二步，根据二次项系数不为0可得：$m-2\ne0$，即$m\ne2$；
综上，$m=-2$。
【答案】
5. (1) $\boxed{2}$；(2) $\boxed{a\ne2}$ 6. $\boxed{-2}$
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 绝对值的性质
3. 一元一次不等式的解法
【点评】
这组题目是二次函数概念的基础应用题型，解题关键是抓住二次函数的两个核心判定条件，尤其要注意不要遗漏“二次项系数不为0”的限制，避免出现第6题误取$m=2$的错误。
【难度系数】
0.8
解题核心是牢记二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a\ne0$，$a、b、c$为常数）的函数叫做二次函数，判定需满足两个条件：①自变量$x$的最高次数为2；②二次项系数不等于0。
1. 第5(1)题：函数$y=x^m +x$中，$x$的现有次数为1，要满足最高次数为2，只需$x^m$的次数$m=2$即可。
2. 第5(2)题：函数已有二次项$(2-a)x^2$，只需保证二次项系数不为0，列不等式求解即可。
3. 第6题：首先根据最高次数为2列方程求$m$的可能值，再根据二次项系数不为0排除不符合的取值，得到最终结果。
【解析】
5. (1) 已知$y=x^m +x$是二次函数，根据二次函数定义，自变量最高次数为2，因此$m=2$。
(2) 已知$y=(2-a)x^2 -x$是二次函数，需满足二次项系数不为0，即$2-a\ne0$，解得$a\ne2$。
6. 已知$y=(m - 2)x^{|m|} -x -1$是二次函数：
第一步，根据最高次数为2可得：$|m|=2$，解得$m=2$或$m=-2$；
第二步，根据二次项系数不为0可得：$m-2\ne0$，即$m\ne2$；
综上，$m=-2$。
【答案】
5. (1) $\boxed{2}$；(2) $\boxed{a\ne2}$ 6. $\boxed{-2}$
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 绝对值的性质
3. 一元一次不等式的解法
【点评】
这组题目是二次函数概念的基础应用题型，解题关键是抓住二次函数的两个核心判定条件，尤其要注意不要遗漏“二次项系数不为0”的限制，避免出现第6题误取$m=2$的错误。
【难度系数】
0.8
