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基础知识·预习
问题1 在直角三角形中，如果一个锐角为$30°$，那么它所对的直角边与斜边有什么数量关系？你是怎么发现的？
问题2 若将两个大小相同的含$30°$角三角尺的长直角边完全重合，拼成一个大三角形（两个三角尺不重合），所拼成的三角形是哪种特殊的三角形？并证明问题1中的结论。
问题1 在直角三角形中，如果一个锐角为$30°$，那么它所对的直角边与斜边有什么数量关系？你是怎么发现的？
问题2 若将两个大小相同的含$30°$角三角尺的长直角边完全重合，拼成一个大三角形（两个三角尺不重合），所拼成的三角形是哪种特殊的三角形？并证明问题1中的结论。
答案
解：
问题1
数量关系：在直角三角形中，如果一个锐角为$30°$，那么它所对的直角边长度等于斜边长度的一半。
发现方法：可通过度量含$30°$角的直角三角尺的三边长度，对比$30°$角对的直角边和斜边的长度得到该关系，也可通过拼接两个完全相同的含$30°$角的直角三角尺推导得到该关系。
问题2
所拼成的大三角形是等边三角形。
证明：设$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ BAC=30°$，将另一个与$△ ABC$完全相同的$Rt△ ADC$的长直角边$AC$与$△ ABC$的长直角边$AC$完全重合拼接，得到大三角形$△ ABD$。
$\because ∠ ACB=∠ ACD=90°$，
$\therefore ∠ BCD=∠ ACB+∠ ACD=180°$，即点$B$、$C$、$D$在同一条直线上。
$\because$ 在$Rt△ ABC$中，$∠ BAC=30°$，
$\therefore ∠ B=90°-30°=60°$。
$\because △ ABC ≌ △ ADC$，
$\therefore AB=AD$，
$\therefore △ ABD$是有一个内角为$60°$的等腰三角形，即等边三角形。
$\therefore AB=BD$。
又$\because BD=BC+CD$，且$BC=CD$，
$\therefore BD=2BC$，
$\therefore AB=2BC$，即$BC=\frac{1}{2}AB$。
由此证得：在直角三角形中，$30°$角所对的直角边等于斜边的一半。
问题1
数量关系：在直角三角形中，如果一个锐角为$30°$，那么它所对的直角边长度等于斜边长度的一半。
发现方法：可通过度量含$30°$角的直角三角尺的三边长度，对比$30°$角对的直角边和斜边的长度得到该关系，也可通过拼接两个完全相同的含$30°$角的直角三角尺推导得到该关系。
问题2
所拼成的大三角形是等边三角形。
证明：设$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ BAC=30°$，将另一个与$△ ABC$完全相同的$Rt△ ADC$的长直角边$AC$与$△ ABC$的长直角边$AC$完全重合拼接，得到大三角形$△ ABD$。
$\because ∠ ACB=∠ ACD=90°$，
$\therefore ∠ BCD=∠ ACB+∠ ACD=180°$，即点$B$、$C$、$D$在同一条直线上。
$\because$ 在$Rt△ ABC$中，$∠ BAC=30°$，
$\therefore ∠ B=90°-30°=60°$。
$\because △ ABC ≌ △ ADC$，
$\therefore AB=AD$，
$\therefore △ ABD$是有一个内角为$60°$的等腰三角形，即等边三角形。
$\therefore AB=BD$。
又$\because BD=BC+CD$，且$BC=CD$，
$\therefore BD=2BC$，
$\therefore AB=2BC$，即$BC=\frac{1}{2}AB$。
由此证得：在直角三角形中，$30°$角所对的直角边等于斜边的一半。
解析
【分析】
解答本题可分两步思考：①解决问题1时，可先通过动手度量含30°角的直角三角尺的30°角对边与斜边的长度，对比得到二者的数量关系，也可通过拼接两个完全相同的该类三角尺推导结论；②解决问题2时，先明确两个全等的含30°角的直角三角尺拼接后，可证得B、C、D三点共线，再结合全等性质得AB=AD，证明大三角形为等腰三角形，结合∠B=60°即可判定为等边三角形，最后利用等边三角形三边相等、两个短直角边相等的关系，即可证明问题1中的结论。
【解析】
问题1
数量关系：在直角三角形中，如果一个锐角为$30°$，那么它所对的直角边长度等于斜边长度的一半。
发现方法：可通过度量含$30°$角的直角三角尺的三边长度，对比$30°$角对的直角边和斜边的长度得到该关系，也可通过拼接两个完全相同的含$30°$角的直角三角尺推导得到该关系。
问题2
所拼成的大三角形是等边三角形，证明如下：
设$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ BAC=30°$，将另一个与$△ ABC$完全相同的$Rt△ ADC$的长直角边$AC$与$△ ABC$的长直角边$AC$完全重合拼接，得到大三角形$△ ABD$。
$\because ∠ ACB=∠ ACD=90°$，
$\therefore ∠ BCD=∠ ACB+∠ ACD=180°$，即点$B$、$C$、$D$在同一条直线上。
$\because$ 在$Rt△ ABC$中，$∠ BAC=30°$，
$\therefore ∠ B=90°-30°=60°$。
$\because △ ABC ≌ △ ADC$，
$\therefore AB=AD$，
$\therefore △ ABD$是有一个内角为$60°$的等腰三角形，即等边三角形。
$\therefore AB=BD$。
又$\because BD=BC+CD$，且$BC=CD$，
$\therefore BD=2BC$，
$\therefore AB=2BC$，即$BC=\frac{1}{2}AB$。
由此证得：在直角三角形中，$30°$角所对的直角边等于斜边的一半。
【答案】
问题1：直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可通过度量或拼接含30°角的直角三角尺发现该关系；
问题2：拼成的大三角形是等边三角形，通过该拼接方式可证明上述30°角直角三角形的性质成立。
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质、等边三角形的判定、全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础探究类题目，通过操作实践与逻辑推导结合的方式，引导学生自主探索特殊直角三角形的性质，既锻炼了动手能力，也强化了对性质推导过程的理解，避免对知识点的机械记忆。
【难度系数】
0.8
解答本题可分两步思考：①解决问题1时，可先通过动手度量含30°角的直角三角尺的30°角对边与斜边的长度，对比得到二者的数量关系，也可通过拼接两个完全相同的该类三角尺推导结论；②解决问题2时，先明确两个全等的含30°角的直角三角尺拼接后，可证得B、C、D三点共线，再结合全等性质得AB=AD，证明大三角形为等腰三角形，结合∠B=60°即可判定为等边三角形，最后利用等边三角形三边相等、两个短直角边相等的关系，即可证明问题1中的结论。
【解析】
问题1
数量关系：在直角三角形中，如果一个锐角为$30°$，那么它所对的直角边长度等于斜边长度的一半。
发现方法：可通过度量含$30°$角的直角三角尺的三边长度，对比$30°$角对的直角边和斜边的长度得到该关系，也可通过拼接两个完全相同的含$30°$角的直角三角尺推导得到该关系。
问题2
所拼成的大三角形是等边三角形，证明如下：
设$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ BAC=30°$，将另一个与$△ ABC$完全相同的$Rt△ ADC$的长直角边$AC$与$△ ABC$的长直角边$AC$完全重合拼接，得到大三角形$△ ABD$。
$\because ∠ ACB=∠ ACD=90°$，
$\therefore ∠ BCD=∠ ACB+∠ ACD=180°$，即点$B$、$C$、$D$在同一条直线上。
$\because$ 在$Rt△ ABC$中，$∠ BAC=30°$，
$\therefore ∠ B=90°-30°=60°$。
$\because △ ABC ≌ △ ADC$，
$\therefore AB=AD$，
$\therefore △ ABD$是有一个内角为$60°$的等腰三角形，即等边三角形。
$\therefore AB=BD$。
又$\because BD=BC+CD$，且$BC=CD$，
$\therefore BD=2BC$，
$\therefore AB=2BC$，即$BC=\frac{1}{2}AB$。
由此证得：在直角三角形中，$30°$角所对的直角边等于斜边的一半。
【答案】
问题1：直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可通过度量或拼接含30°角的直角三角尺发现该关系；
问题2：拼成的大三角形是等边三角形，通过该拼接方式可证明上述30°角直角三角形的性质成立。
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质、等边三角形的判定、全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础探究类题目，通过操作实践与逻辑推导结合的方式，引导学生自主探索特殊直角三角形的性质，既锻炼了动手能力，也强化了对性质推导过程的理解，避免对知识点的机械记忆。
【难度系数】
0.8
【典型例题】如图, 在 $Rt △ ABC$ 中, $∠ C=90°, ∠ BAC=60°, △ ABC$ 的角平分线 AM 的长为 12 cm, 求 BC 的长.
思路导引 本题图中有两个含 $30°$ 角的直角三角形,一个等腰三角形,根据这些特征可求 CM 与 BM 的长,其和即为所求的 BC 边的长.
【解】在 $Rt △ ABC$ 中, $∠ B=90°-$
$∠ BAC=90°-60°=30°.$
因为 AM 平分 $∠ BAC$,
所以 $∠ CAM=∠ BAM=30°,$
所以 $∠ B=∠ BAM,$
所以 $BM=AM=12 \mathrm{ cm}.$
在 $Rt △ ACM$ 中, $∠ CAM=30°,$
所以 $CM=\frac{1}{2}AM=6 \mathrm{ cm},$
所以 $BC=CM+BM=6+12=18(\mathrm{cm}).$
思路导引 本题图中有两个含 $30°$ 角的直角三角形,一个等腰三角形,根据这些特征可求 CM 与 BM 的长,其和即为所求的 BC 边的长.
【解】在 $Rt △ ABC$ 中, $∠ B=90°-$
$∠ BAC=90°-60°=30°.$
因为 AM 平分 $∠ BAC$,
所以 $∠ CAM=∠ BAM=30°,$
所以 $∠ B=∠ BAM,$
所以 $BM=AM=12 \mathrm{ cm}.$
在 $Rt △ ACM$ 中, $∠ CAM=30°,$
所以 $CM=\frac{1}{2}AM=6 \mathrm{ cm},$
所以 $BC=CM+BM=6+12=18(\mathrm{cm}).$
答案
解：
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴∠B = 90° - ∠BAC = 90° - 60° = 30°。
∵AM平分∠BAC，
∴∠CAM = ∠BAM = 30°，
∴∠B = ∠BAM，
∴BM = AM = 12 cm。
在Rt△ACM中，∠C=90°，∠CAM=30°，
∴$CM = \frac{1}{2}AM = \frac{1}{2}×12 = 6\ \mathrm{cm}$，
∴$BC = CM + BM = 6 + 12 = 18\ \mathrm{cm}$。
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴∠B = 90° - ∠BAC = 90° - 60° = 30°。
∵AM平分∠BAC，
∴∠CAM = ∠BAM = 30°，
∴∠B = ∠BAM，
∴BM = AM = 12 cm。
在Rt△ACM中，∠C=90°，∠CAM=30°，
∴$CM = \frac{1}{2}AM = \frac{1}{2}×12 = 6\ \mathrm{cm}$，
∴$BC = CM + BM = 6 + 12 = 18\ \mathrm{cm}$。
解析
【分析】
解题时首先利用直角三角形两锐角互余求出∠B的度数，再结合角平分线的定义得到∠CAM、∠BAM的度数，此时发现∠B=∠BAM，根据等角对等边可求出BM的长度；接着在Rt△ACM中，利用“含30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”求出CM的长度，最后BC为CM与BM的和，相加即可得到结果。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，
∴$∠ B = 90° - ∠ BAC = 90° - 60° = 30°$。
∵AM平分$∠ BAC$，
∴$∠ CAM = ∠ BAM = 30°$，
∴$∠ B = ∠ BAM$，
∴$BM = AM = 12\ \mathrm{cm}$。
在$Rt△ ACM$中，$∠ C=90°$，$∠ CAM=30°$，
∴$CM = \frac{1}{2}AM = \frac{1}{2}×12 = 6\ \mathrm{cm}$，
∴$BC = CM + BM = 6 + 12 = 18\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$18\ \mathrm{cm}$
【知识点】
直角三角形两锐角互余；等角对等边；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，综合考查了角平分线的定义、等腰三角形的判定以及特殊直角三角形的性质，解题的核心是通过角的度数关系得到边的等量关系，熟练掌握特殊三角形的相关性质是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用直角三角形两锐角互余求出∠B的度数，再结合角平分线的定义得到∠CAM、∠BAM的度数，此时发现∠B=∠BAM，根据等角对等边可求出BM的长度；接着在Rt△ACM中，利用“含30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”求出CM的长度，最后BC为CM与BM的和，相加即可得到结果。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，
∴$∠ B = 90° - ∠ BAC = 90° - 60° = 30°$。
∵AM平分$∠ BAC$，
∴$∠ CAM = ∠ BAM = 30°$，
∴$∠ B = ∠ BAM$，
∴$BM = AM = 12\ \mathrm{cm}$。
在$Rt△ ACM$中，$∠ C=90°$，$∠ CAM=30°$，
∴$CM = \frac{1}{2}AM = \frac{1}{2}×12 = 6\ \mathrm{cm}$，
∴$BC = CM + BM = 6 + 12 = 18\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$18\ \mathrm{cm}$
【知识点】
直角三角形两锐角互余；等角对等边；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，综合考查了角平分线的定义、等腰三角形的判定以及特殊直角三角形的性质，解题的核心是通过角的度数关系得到边的等量关系，熟练掌握特殊三角形的相关性质是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
