登录
1.「2026河北秦皇岛期中」如图,点P在线段AB的延长线上,$BP=64$,记线段AP和AB的中点分别为$P_1,B_1$;线段$AP_1$和$AB_1$的中点分别为$P_2,B_2$;线段$AP_2$和$AB_2$的中点分别为$P_3$和$B_3$,则$B_1P_1+B_2P_2+B_3P_3=$（
A.48
B.56
C.64
D.65
B
）A.48
B.56
C.64
D.65
答案
因为线段AP和线段AB的中点分别为$P_1,B_1$,
所以$AP_1=\frac{1}{2}AP,AB_1=\frac{1}{2}AB$,
所以$B_1P_1=AP_1-AB_1=\frac{1}{2}AP-\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}(AP-AB)=\frac{1}{2}BP$.因为$BP=64$,所以$B_1P_1=32$.
同理:$B_2P_2=\frac{1}{2}B_1P_1=16,B_3P_3=\frac{1}{2}B_2P_2=8$,
所以$B_1P_1+B_2P_2+B_3P_3=32+16+8=56$.故选 B.
所以$AP_1=\frac{1}{2}AP,AB_1=\frac{1}{2}AB$,
所以$B_1P_1=AP_1-AB_1=\frac{1}{2}AP-\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}(AP-AB)=\frac{1}{2}BP$.因为$BP=64$,所以$B_1P_1=32$.
同理:$B_2P_2=\frac{1}{2}B_1P_1=16,B_3P_3=\frac{1}{2}B_2P_2=8$,
所以$B_1P_1+B_2P_2+B_3P_3=32+16+8=56$.故选 B.
2. 学科特色 双中点模型 「2025云南昆明期末节选」如图，点A,B在数轴上，AB＝12，动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动。若点M为AP的中点，点N为BP的中点，在点P运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长度。
答案
在点 P 运动的过程中,线段 MN 的长度不会发生变化,分两种情况考虑.
当点 P 在线段 AB 上时,如图 1,
因为点 M 为 AP 的中点,点 N 为 BP 的中点,
所以$PM=\frac{1}{2}AP,PN=\frac{1}{2}BP$.
所以$MN=PM+PN=\frac{1}{2}AP+\frac{1}{2}BP=\frac{1}{2}(AP+BP)=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×12=6$.
当点 P 在线段 AB 的延长线上时,如图 2,
因为点 M 为 AP 的中点,点 N 为 BP 的中点,
所以$PM=\frac{1}{2}AP,PN=\frac{1}{2}BP$.
所以$MN=PM-PN=\frac{1}{2}AP-\frac{1}{2}BP=\frac{1}{2}(AP-BP)=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×12=6$.
综上所述,在点 P 运动的过程中,线段 MN 的长度不会发生变化,且$MN=6$.
3.「2026河北唐山期中」如图,点O为直线AB上一点,以点O为顶点的直角∠COD绕点O在直线AB上方旋转,作射线OE,OF分别平分∠AOC和∠BOD.
(1)当∠AOE = 28°时,∠DOF的度数为
(2)在旋转过程中,∠EOF的度数始终为
(1)当∠AOE = 28°时,∠DOF的度数为
17°
.(2)在旋转过程中,∠EOF的度数始终为
135°
.答案
(1)$17°$ (2)$135°$
解析 (1)因为$∠COD=90°$,
所以$∠AOC+∠BOD=180°-90°=90°$.
因为 OE,OF 分别平分$∠AOC$和$∠BOD$,
所以$∠AOE=\frac{1}{2}∠AOC,∠DOF=\frac{1}{2}∠BOD$,
所以$∠DOF+∠AOE=\frac{1}{2}∠AOC+\frac{1}{2}∠BOD=\frac{1}{2}(∠AOC+∠BOD)=45°$.
因为$∠AOE=28°$,所以$∠DOF=45°-28°=17°$.
(2)因为$∠COD=90°$,所以$∠AOC+∠BOD=180°-90°=90°$.
因为 OE,OF 分别平分$∠AOC$和$∠BOD$,
所以$∠DOF=\frac{1}{2}∠BOD,∠COE=\frac{1}{2}∠AOC$,
所以$∠EOF=∠COD+∠DOF+∠COE$
$=∠COD+\frac{1}{2}∠BOD+\frac{1}{2}∠AOC$
$=∠COD+\frac{1}{2}(∠BOD+∠AOC)$
$=90°+45°=135°$.
解析 (1)因为$∠COD=90°$,
所以$∠AOC+∠BOD=180°-90°=90°$.
因为 OE,OF 分别平分$∠AOC$和$∠BOD$,
所以$∠AOE=\frac{1}{2}∠AOC,∠DOF=\frac{1}{2}∠BOD$,
所以$∠DOF+∠AOE=\frac{1}{2}∠AOC+\frac{1}{2}∠BOD=\frac{1}{2}(∠AOC+∠BOD)=45°$.
因为$∠AOE=28°$,所以$∠DOF=45°-28°=17°$.
(2)因为$∠COD=90°$,所以$∠AOC+∠BOD=180°-90°=90°$.
因为 OE,OF 分别平分$∠AOC$和$∠BOD$,
所以$∠DOF=\frac{1}{2}∠BOD,∠COE=\frac{1}{2}∠AOC$,
所以$∠EOF=∠COD+∠DOF+∠COE$
$=∠COD+\frac{1}{2}∠BOD+\frac{1}{2}∠AOC$
$=∠COD+\frac{1}{2}(∠BOD+∠AOC)$
$=90°+45°=135°$.
4. 学科 特色 双角平分线模型 如图，OM是$∠ AOC$的平分线，ON是$∠ BOC$的平分线.
(1) 如图1，当$∠ AOB = 90°$, $∠ BOC = 60°$时，求$∠ MON$的度数.
(2) 如图2，当$∠ AOB = 70°$, $∠ BOC = 60°$时，$∠ MON=$
(3) 如图3，当$∠ AOB = α$, $∠ BOC = β$时，猜想：$∠ MON=$
(1) 如图1，当$∠ AOB = 90°$, $∠ BOC = 60°$时，求$∠ MON$的度数.
(2) 如图2，当$∠ AOB = 70°$, $∠ BOC = 60°$时，$∠ MON=$
35°
(直接写出结果).(3) 如图3，当$∠ AOB = α$, $∠ BOC = β$时，猜想：$∠ MON=$
$\frac{1}{2}α$
(直接写出结果).答案
(1)因为$∠AOB=90°,∠BOC=60°$,
所以$∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+60°=150°$.
因为 OM 平分$∠AOC$,ON 平分$∠BOC$,
所以$∠MOC=\frac{1}{2}∠AOC=75°,∠NOC=\frac{1}{2}∠BOC=30°$,
所以$∠MON=∠MOC-∠NOC=45°$.
(2)$35°$.
详解:因为$∠AOB=70°,∠BOC=60°$,
所以$∠AOC=∠AOB+∠BOC=70°+60°=130°$.
因为 OM 平分$∠AOC$,ON 平分$∠BOC$,
所以$∠MOC=\frac{1}{2}∠AOC=65°,∠NOC=\frac{1}{2}∠BOC=30°$,
所以$∠MON=∠MOC-∠NOC=65°-30°=35°$.
(3)$\frac{1}{2}α$.
详解:因为$∠AOB=α,∠BOC=β$,所以$∠AOC=α+β$.
因为 OM 平分$∠AOC$,ON 平分$∠BOC$,
所以$∠MOC=\frac{1}{2}∠AOC=\frac{1}{2}(α+β),∠NOC=\frac{1}{2}∠BOC=\frac{1}{2}β$,
所以$∠MON=∠MOC-∠NOC=\frac{1}{2}(α+β)-\frac{1}{2}β=\frac{1}{2}α$.
所以$∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+60°=150°$.
因为 OM 平分$∠AOC$,ON 平分$∠BOC$,
所以$∠MOC=\frac{1}{2}∠AOC=75°,∠NOC=\frac{1}{2}∠BOC=30°$,
所以$∠MON=∠MOC-∠NOC=45°$.
(2)$35°$.
详解:因为$∠AOB=70°,∠BOC=60°$,
所以$∠AOC=∠AOB+∠BOC=70°+60°=130°$.
因为 OM 平分$∠AOC$,ON 平分$∠BOC$,
所以$∠MOC=\frac{1}{2}∠AOC=65°,∠NOC=\frac{1}{2}∠BOC=30°$,
所以$∠MON=∠MOC-∠NOC=65°-30°=35°$.
(3)$\frac{1}{2}α$.
详解:因为$∠AOB=α,∠BOC=β$,所以$∠AOC=α+β$.
因为 OM 平分$∠AOC$,ON 平分$∠BOC$,
所以$∠MOC=\frac{1}{2}∠AOC=\frac{1}{2}(α+β),∠NOC=\frac{1}{2}∠BOC=\frac{1}{2}β$,
所以$∠MON=∠MOC-∠NOC=\frac{1}{2}(α+β)-\frac{1}{2}β=\frac{1}{2}α$.
