1.「2026 陕西咸阳期末」如图,在$△ ABC$中,$AC=12$,$BC=20$,$BC$边的垂直平分线分别交$AB$,$BC$于点$D$,$E$,连接$CD$,若$△ ACD$的周长为28,则$AD$的长为 ()

A.3.5
B.4
C.4.5
D.5

1.A 因为DE是线段BC的垂直平分线,所以DB=DC,
因为△ACD的周长为28,所以AC+AD+DC=28,
所以AC+AD+DB=AC+AB=28,
又因为AC=12,所以AB=28-12=16,
在△ABC中,AB²+AC²=16²+12²=400=20²=BC²,
所以∠A=90°,
设AD=x,所以DB=DC=16-x,
在Rt△ACD中,由勾股定理可知AD²+AC²=CD²,
即x²+12²=(16-x)²,
解得x=3.5,所以AD=3.5.故选A.

2.「2026江西师大附中期末」如图，在$Rt△ ABC$中，已知$∠ ABC=90°$，以$AC$为直角边向外作$Rt△ ACD$（$∠ CAD=90°$），分别以$AB$，$BC$，$CD$，$DA$为直径向外作半圆，面积分别记为$S_1$，$S_2$，$S_3$，$S_4$，若$S_1=3$，$S_2=1$，$S_3=7$，则$S_4=$（）

A.2
B.3
C.$5-\sqrt{3}$
D.$6-2\sqrt{3}$

2.B 由题意得 $S_1=\frac{1}{2}π(\frac{1}{2}AB)^2=\frac{1}{8}π· AB^2$,
$S_2=\frac{1}{2}π(\frac{1}{2}BC)^2=\frac{1}{8}π· BC^2$,
$S_3=\frac{1}{2}π(\frac{1}{2}CD)^2=\frac{1}{8}π· CD^2$,
$S_4=\frac{1}{2}π(\frac{1}{2}AD)^2=\frac{1}{8}π· AD^2$,
所以 $S_1+S_2=\frac{1}{8}π(AB^2+BC^2),S_3-S_4=\frac{1}{8}π(CD^2-AD^2)$,
因为 $△ ABC$ 与 $△ ACD$ 均为直角三角形,所以 $AB^2+BC^2=AC^2,AC^2+AD^2=CD^2$,所以 $AB^2+BC^2=CD^2-AD^2$,
所以 $\frac{1}{8}π(AB^2+BC^2)=\frac{1}{8}π(CD^2-AD^2)$,
所以 $S_1+S_2=S_3-S_4$,
因为 $S_1=3,S_2=1,S_3=7$,
所以 $3+1=7-S_4$,所以 $S_4=3$.故选 B.

3.「2026河南洛阳期末」如图1，美丽的弦图蕴含着四个全等的直角三角形和一大一小两个正方形.
(1)结合图1，试验证勾股定理.
(2)如图2，将四个全等的直角三角形紧密地拼接在一起，形如“飞镖”，已知外围轮廓线的周长为24，OC=3，求该飞镖状图案的面积.

3.解析 (1)证明:$S_{小正方形}=(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$,
同时,$S_{小正方形}=c^2-4×\frac{1}{2}ab=c^2-2ab$,
所以 $a^2-2ab+b^2=c^2-2ab$,所以 $a^2+b^2=c^2$.
(2)由题意得 $OB=OC=3,AC+AB=24÷4=6$,设 $AC=x$,
则 $AB=6-x,OA=3+x$, 因为 $OA^2+OB^2=AB^2$, 所以 $(x+3)^2+3^2=(6-x)^2$, 解得 $x=1$,故该飞镖状图案的面积
是 $\frac{1}{2}×(3+1)×3×4=\frac{1}{2}×4×3×4=24$.

4.「2026江苏南京期末」下列各组数中，是勾股数的是（）

A.$1,\sqrt{2},\sqrt{3}$
B.$0.3,0.4,0.5$
C.$2,3,4$
D.$7,24,25$

4.D 因为$\sqrt{2},\sqrt{3}$不是正整数,所以$1,\sqrt{2},\sqrt{3}$不是勾股数.
因为0.3,0.4,0.5不是正整数,所以0.3,0.4,0.5不是勾股数.因为$2^2+3^2≠4^2$,所以2,3,4不是勾股数.因为$7^2+24^2=25^2$,且7,24,25均是正整数,所以7,24,25是勾股数.

5.如图,校园里有一块四边形空地ABCD,AB=20 m,BC=24 m,CD=15 m,AD=25 m,过点A修一条小路AE,E是BC的中点,且AE=16 m,则这块空地的面积为 m².

5.答案 342
解析 因为 E 是 BC 的中点,BC=24 m,
所以 $BE=CE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×24=12(\mathrm{m})$,
因为 $AE^2+BE^2=16^2+12^2=400=AB^2$,
所以 $△ ABE$ 是直角三角形,且 $∠ AEB=90°$,
所以 $∠ AEC=90°$.如图,连接 AC,
因为 E 是 BC 的中点,$∠ AEB=90°$,
所以 AE 垂直平分 BC,所以 $AC=AB=20$ m,
因为 $AC^2+CD^2=20^2+15^2=625=AD^2$,
所以 $△ ACD$ 是直角三角形,且 $∠ ACD=90°$,
所以四边形 ABCD 的面积 $=S_{△ ABC}+S_{△ ACD}=\frac{1}{2}AE· BC+\frac{1}{2}AC· CD=\frac{1}{2}×16×24+\frac{1}{2}×20×15=342(\mathrm{m}^2)$.

6.「2026山东济南商河期末」华表是一种中国传统建筑，天安门前耸立着高大的汉白玉华表(如图①)，在底面周长约为3米的华表(如图②)上，有一条雕龙从柱底向柱顶(从A点到B点)均匀地盘绕3圈，华表刻有雕龙部分的柱身高约12米，则雕刻在石柱上的巨龙至少有米。

6.答案 15
解析 将华表上刻有雕龙的侧面沿 AB 展开,如图所示.
$12÷3=4$(米),因为 $\sqrt{3^2+4^2}=5$(米),
所以雕刻在石柱上的巨龙至少有 $5×3=15$(米).

7.「2026山西晋中期末」学完勾股定理后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算出学校旗杆的高度。爱动脑筋的小明设计了这样一个方案：如图，将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5米处，发现此时绳子恰好用完，且绳子末端距离打结处1米，则小明算出旗杆的高度为米。

7.答案 12
解析 设旗杆的高度为 x 米,则绳子长为 $(x+1)$ 米,
由勾股定理得 $(x+1)^2=x^2+5^2$,
解得 $x=12$,所以旗杆的高度是 12 米.