8.如图,点D,E分别在线段AB,AC上,CD与BE相交于点O.已知AB=AC,添加下列条件仍不能判定$△ ABE ≌ △ ACD$的是（）

A.$∠ B=∠ C$
B.$BE=CD$
C.$BD=CE$
D.$AD=AE$

（第8题图）
（第9题图）

8.B

【分析】
要判断添加哪个条件不能判定△ABE≌△ACD，首先先找出两个三角形已有的相等条件：已知AB=AC，且∠A是△ABE和△ACD的公共角，即已有一组边相等、一组角相等。接下来结合全等三角形的判定定理（SAS、ASA、AAS、SSS，注意SSA不能判定全等），逐一分析每个选项添加的条件是否符合判定定理即可。
【解析】
在△ABE和△ACD中，已知AB=AC，∠A=∠A（公共角），逐一分析选项：
A. 添加∠B=∠C，满足“ASA（两角及其夹边对应相等）”的判定条件，可证明△ABE≌△ACD，不符合题意；
B. 添加BE=CD，此时满足的是两边及其中一边的对角相等（SSA），SSA不能判定两个三角形全等，符合题意；
C. 添加BD=CE，因为AB=AC，根据等式的性质可得AB-BD=AC-CE，即AD=AE，满足“SAS（两边及其夹角对应相等）”的判定条件，可证明△ABE≌△ACD，不符合题意；
D. 添加AD=AE，满足“SAS（两边及其夹角对应相等）”的判定条件，可证明△ABE≌△ACD，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的判定、等式的性质、公共角的性质
【点评】
本题考查全等三角形判定定理的灵活应用，解题的关键是明确SSA不能作为三角形全等的判定依据，先梳理出已知的相等边、角，再结合添加的条件逐一验证即可。
【难度系数】
0.7

9. 如图，在$△ ACD$中，$∠ CAD=90°$，$AC=6$，$AD=8$，$AB// CD$，$E$是$CD$上一点，连接$BE$，交$AD$于点$F$。当$AB+CE=CD$时，图中阴影部分的面积为________。

9.24

【分析】
首先先计算直角$△ ACD$的面积，再根据已知条件$AB+CE=CD$及$CD$上$CE+ED=CD$，推导出$AB=ED$；结合$AB// CD$可得两组内错角相等，利用ASA证明$△ ABF≌△ DEF$，根据全等三角形面积相等，可将阴影部分面积转化为$△ ACD$的面积，进而求解。
【解析】
在$Rt△ ACD$中，$∠ CAD=90°$，$AC=6$，$AD=8$，
$\therefore S_{△ ACD}=\frac{1}{2}× AC× AD=\frac{1}{2}×6×8=24$。
$\because E$是$CD$上一点，$\therefore CE+ED=CD$，
又$\because AB+CE=CD$，$\therefore AB=ED$。
$\because AB// CD$，$\therefore ∠ ABF=∠ DEF$，$∠ BAF=∠ EDF$。
在$△ ABF$和$△ EDF$中：
$\begin{cases}∠ ABF=∠ DEF \\AB=ED \\∠ BAF=∠ EDF\end{cases}$
$\therefore △ ABF≌△ EDF(\mathrm{ASA})$，
$\therefore S_{△ ABF}=S_{△ EDF}$。
则阴影部分面积$=S_{四边形ACEF}+S_{△ ABF}=S_{四边形ACEF}+S_{△ EDF}=S_{△ ACD}=24$。
【答案】
24
【知识点】
ASA判定三角形全等，全等三角形的性质，平行线的性质
【点评】
本题解题的关键是通过线段和的关系得到等线段，结合平行线的性质证明三角形全等，利用全等三角形面积相等的性质，将不规则的阴影面积转化为规则的直角三角形面积计算，体现了转化思想在几何面积求解中的应用。
【难度系数】
0.6

10.小明利用一根长 3 m 的竿子来测量路灯AB的高度,他的方法如下:如图,在路灯前选一点 P,使 $PB=3\ \mathrm{m}$,并测得 $∠ APB=70°$,然后把竖直的竿子 $CD(CD=3\ \mathrm{m})$ 在BP的延长线上左右移动,使 $∠ CPD=20°$,此时测得 $BD=11.2\ \mathrm{m}$.请根据这些数据,计算出路灯AB的高.

10. 解:由题意,得$∠CDP=∠ABP=90°$,$CD=PB=3\ \mathrm{m}$. $∵∠CPD=20°$,
$∴∠C=90°−∠CPD=70°$. $∵∠APB=70°$,$∴∠C=∠APB$. 在$△CPD$ 和 $△PAB$ 中,
$∵\begin{cases}∠CDP=∠PBA,\\CD=PB,\\∠C=∠BPA,\end{cases}$
$∴△CPD≌△PAB(ASA)$. $∴DP=AB$. $∵BD=11.2\ \mathrm{m}$,$BP=3\ \mathrm{m}$,$∴AB=DP=BD−BP=8.2\ \mathrm{m}$. 答:路灯 AB 的高是 8.2 m.

【分析】
拿到题目后首先观察图形，可发现△CPD和△PAB都是直角三角形。首先根据直角三角形两锐角互余，结合已知的∠CPD=20°可算出∠C=70°，正好等于∠APB；再结合题目给出的CD=PB=3m，两个三角形的直角相等，即可满足ASA全等判定的条件，证明两三角形全等后，利用全等三角形对应边相等，将求AB的问题转化为求DP的长度，DP可通过BD减BP计算得到，最终就能求出路灯AB的高度。
【解析】
解：由题意，得$∠CDP=∠ABP=90°$，$CD=PB=3\ \mathrm{m}$。
$∵∠CPD=20°$，
$∴∠C=90°−∠CPD=70°$。
$∵∠APB=70°$，
$∴∠C=∠APB$。
在$△CPD$ 和 $△PAB$ 中，
$∵\begin{cases}∠CDP=∠PBA,\\CD=PB,\\∠C=∠BPA,\end{cases}$
$∴△CPD≌△PAB(ASA)$。
$∴DP=AB$。
$∵BD=11.2\ \mathrm{m}$，$BP=3\ \mathrm{m}$，
$∴AB=DP=BD−BP=11.2-3=8.2(\mathrm{m})$。
答：路灯AB的高是8.2 m。
【答案】
8.2 m
【知识点】
ASA判定全等、全等三角形的性质、直角三角形两锐角互余
【点评】
本题结合实际测量场景考查全等三角形的应用，解题核心是找到全等三角形的判定条件，将未知高度转化为可直接计算的线段长度，很好地体现了数学知识在生活中的实用价值。
【难度系数】
0.75

11.如图,在$△ ABC$中,$AD⊥ BC$,$CE⊥ AB$,垂足分别是$D$,$E$,$AD$,$CE$交于点$H$,$AE=CE$.
(1)求证:$△ AEH≌△ CEB$;
(2)若$BE=6$,$CH=2$,求线段$AE$的长.

11.(1)证明:$∵AD⊥BC$,$CE⊥AB$,$∴∠AEH=∠CEB=∠ADB=90°$. $∴∠B+∠BAD=180°−∠ADB=90°$,$∠B+∠BCE=180°−∠CEB=90°$. $∴∠BAD=∠BCE$,即$∠HAE=∠BCE$. 在$△AEH$ 和 $△CEB$ 中,$∵\begin{cases}∠HAE=∠BCE,\\AE=CE,\\∠AEH=∠CEB,\end{cases}$
$∴△AEH≌△CEB(ASA)$. (2)解:由(1)知$△AEH≌△CEB$,$∴AE=CE$,$EH=BE=6$. $∴AE=CE=CH+EH=8$.

【分析】
(1)要证明△AEH≌△CEB，首先梳理已知条件：已知AE=CE，由AD⊥BC、CE⊥AB可得∠AEH=∠CEB=90°，接下来还需一组角相等即可判定全等。观察角的关系，∠HAE和∠BCE都与∠B互余，根据同角的余角相等可证∠HAE=∠BCE，满足ASA的全等判定条件，即可完成证明。
(2)求AE的长，已知AE=CE，因此只需算出CE的长度即可。由(1)的全等结论可得对应边EH=BE，再结合CE=CH+EH，代入已知数值就能算出CE，即得到AE的长度。
【解析】
(1)证明：
∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠AEH=∠CEB=∠ADB=90°，
∴∠B+∠BAD=180°−∠ADB=90°，∠B+∠BCE=180°−∠CEB=90°，
∴∠BAD=∠BCE，即∠HAE=∠BCE。
在△AEH和△CEB中：
$\begin{cases}∠HAE=∠BCE,\\AE=CE,\\∠AEH=∠CEB,\end{cases}$
∴△AEH≌△CEB(ASA)。
(2)解：由(1)知△AEH≌△CEB，
∴EH=BE=6，
又
∵AE=CE，且CE=CH+EH，CH=2，
∴AE=CE=2+6=8。
【答案】
(1)△AEH≌△CEB得证；(2)AE的长为8。
【知识点】
全等三角形ASA判定、全等三角形的性质、同角的余角相等
【点评】
本题属于三角形全等的典型基础题，解题的核心是结合垂直条件推导角的等量关系，再利用全等判定定理证明三角形全等，最后借助全等对应边相等的性质求解线段长度，能够很好地考查学生对三角形全等相关知识的掌握程度。
【难度系数】
0.7

12. 如图，在$△ ABC$中，D为BC的中点，过点D的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G，$DE⊥ GF$，交AB于点E，连接EG，EF.
(1)求证：$BG=CF$；
(2)猜想$BE+CF$与$EF$的大小关系，并说明理由.

12.(1)证明:$∵BG// AC$,$∴∠C=∠GBD$. $∵D$是$BC$的中点,$∴BD=CD$. 在$△CFD$ 和 $△BGD$ 中,$∵\begin{cases}∠C=∠GBD,\\CD=BD,\\∠CDF=∠BDG,\end{cases}$
$∴△CFD≌△BGD(ASA)$. $∴BG=CF$. (2)解:$BE+CF＞EF$.理由如下:由(1)知$△CFD≌△BGD$,$∴CF=BG$,$GD=DF$. $∵DE⊥GF$,$∴∠EDG=∠EDF=90°$. 在$△EDG$ 和 $△EDF$ 中,$∵\begin{cases}ED=ED,\\∠EDG=∠EDF,\\GD=FD,\end{cases}$
$∴△EDG≌△EDF(SAS)$. $∴EG=EF$. 在$△BGE$ 中,$∵BE+BG＞EG$,$∴BE+CF＞EF$.

【分析】
(1)要证BG=CF，可证明两条线段所在的△BGD和△CFD全等：首先由BG//AC可得内错角∠C=∠GBD，结合D是BC中点得BD=CD，再加上对顶角∠CDF=∠BDG，即可通过ASA判定两三角形全等，从而得到对应边BG=CF。
(2)要比较BE+CF与EF的大小，先借助(1)的全等结论将CF替换为BG，将问题转化为比较BE+BG与EF的大小；再由DE⊥GF、GD=DF，可证△EDG≌△EDF得到EG=EF，最后在△BGE中利用三角形三边关系即可推出结论。
【解析】
(1)证明：
∵BG// AC，
∴∠C=∠GBD。
∵D是BC的中点，
∴BD=CD。
在△CFD 和 △BGD 中，
$\begin{cases}∠C=∠GBD,\\CD=BD,\\∠CDF=∠BDG,\end{cases}$
∴△CFD≌△BGD(ASA)，
∴BG=CF。
(2)解：BE+CF＞EF，理由如下：
由(1)知△CFD≌△BGD，
∴CF=BG，GD=DF。
∵DE⊥GF，
∴∠EDG=∠EDF=90°。
在△EDG 和 △EDF 中，
$\begin{cases}ED=ED,\\∠EDG=∠EDF,\\GD=FD,\end{cases}$
∴△EDG≌△EDF(SAS)，
∴EG=EF。
在△BGE中，根据三角形三边关系有BE+BG＞EG，
将BG替换为CF，EG替换为EF，可得BE+CF＞EF。
【答案】
(1)BG=CF，证明成立；(2)$BE+CF＞EF$
【知识点】
1.全等三角形的判定与性质 2.三角形三边关系 3.平行线的性质
【点评】
本题是三角形章节的典型综合题，解题核心是通过全等三角形实现线段的等量转换，再结合三角形三边关系比较线段和的大小，要求熟练掌握全等三角形的判定定理，能灵活对线段进行等量代换。
【难度系数】
0.7