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13[2024吉林中考]综合与实践
某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的项目式学习研究.第一小组负责调查板凳的历史及结构特点;第二小组负责研究板凳中蕴含的数学知识;第三小组负责汇报和交流.下面是第三小组汇报的部分内容,请你阅读相关信息,并解答“建立模型”中的问题.
【背景调查】
图(1)中的板凳又叫“四脚八叉凳”,是中国传统家具,其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观.榫眼的设计很有讲究,木工一般用铅笔画出凳面的对称轴,以对称轴为基准向两边各取相同的长度,确定榫眼的位置,如图(2)所示.板凳的结构设计体现了数学的对称美.
【收集数据】
小组收集了一些板凳并进行了测量.设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为x mm,凳面的宽度为y mm,记录如下:
|以对称轴为基准向两边各取相同的长度x/mm|16.5|19.8|23.1|26.4|29.7|
|凳面的宽度y/mm|图1 115.5|132|148.5|165|181.5|
【分析数据】
如图(3),小组根据表中x,y的数值,在平面直角坐标系中描出了各点.
【建立模型】
请你帮助小组解决下列问题:
(1)观察上述各点的分布规律,它们是否在同一条直线上?如果在同一条直线上,求出这条直线所对应的函数表达式;如果不在同一条直线上,说明理由.
(2)当凳面宽度为213 mm时,以对称轴为基准向两边各取相同的长度是多少?
某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的项目式学习研究.第一小组负责调查板凳的历史及结构特点;第二小组负责研究板凳中蕴含的数学知识;第三小组负责汇报和交流.下面是第三小组汇报的部分内容,请你阅读相关信息,并解答“建立模型”中的问题.
【背景调查】
图(1)中的板凳又叫“四脚八叉凳”,是中国传统家具,其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观.榫眼的设计很有讲究,木工一般用铅笔画出凳面的对称轴,以对称轴为基准向两边各取相同的长度,确定榫眼的位置,如图(2)所示.板凳的结构设计体现了数学的对称美.
【收集数据】
小组收集了一些板凳并进行了测量.设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为x mm,凳面的宽度为y mm,记录如下:
|以对称轴为基准向两边各取相同的长度x/mm|16.5|19.8|23.1|26.4|29.7|
|凳面的宽度y/mm|
【分析数据】
如图(3),小组根据表中x,y的数值,在平面直角坐标系中描出了各点.
【建立模型】
请你帮助小组解决下列问题:
(1)观察上述各点的分布规律,它们是否在同一条直线上?如果在同一条直线上,求出这条直线所对应的函数表达式;如果不在同一条直线上,说明理由.
(2)当凳面宽度为213 mm时,以对称轴为基准向两边各取相同的长度是多少?
答案
13.【解】(1)它们在同一条直线上.
设这条直线所对应的函数表达式为$y=kx+b$. 将$(16.5,115.5),(23.1,148.5)$代入,得$\begin{cases} 16.5k+b=115.5, \\ 23.1k+b=148.5, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=5, \\ b=33, \end{cases}$ $\therefore y=5x+33$.
将表中其他数值代入均成立,
$\therefore$ 这条直线所对应的函数表达式为$y=5x+33$.
(2)令$y=213$,得$213=5x+33$,解得$x=36$,
$\therefore$ 当凳面宽度为213 mm时,以对称轴为基准向两边各取相同的长度是36 mm.
设这条直线所对应的函数表达式为$y=kx+b$. 将$(16.5,115.5),(23.1,148.5)$代入,得$\begin{cases} 16.5k+b=115.5, \\ 23.1k+b=148.5, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=5, \\ b=33, \end{cases}$ $\therefore y=5x+33$.
将表中其他数值代入均成立,
$\therefore$ 这条直线所对应的函数表达式为$y=5x+33$.
(2)令$y=213$,得$213=5x+33$,解得$x=36$,
$\therefore$ 当凳面宽度为213 mm时,以对称轴为基准向两边各取相同的长度是36 mm.
解析
【分析】
对于第(1)问：首先观察散点图中点的分布规律，可初步判断各点在同一条直线上，因此选择用一次函数模型求解。运用待定系数法，选取两组对应的数据代入一次函数的一般形式$y=kx+b$，解方程组得到系数$k$和$b$，再验证其余数据是否符合所得解析式，确认后即可确定函数表达式。
对于第(2)问：已经得到$y$与$x$的函数关系，将凳面宽度$y=213\ \mathrm{mm}$代入解析式，解一元一次方程即可求出对应的$x$值。
【解析】
(1)观察各点分布，可知它们在同一条直线上。
设这条直线所对应的函数表达式为$y=kx+b$，将$(16.5,115.5)$、$(23.1,148.5)$代入表达式，得：
$\begin{cases} 16.5k+b=115.5 \\ 23.1k+b=148.5 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程消去$b$，可得$6.6k=33$，解得$k=5$。
将$k=5$代入$16.5k+b=115.5$，得$16.5×5 +b=115.5$，解得$b=33$。
因此初步得到函数表达式为$y=5x+33$。
将表格中其余$x$值代入该表达式验证，均满足对应$y$值，因此该式即为所求函数表达式。
(2)当凳面宽度$y=213\ \mathrm{mm}$时，代入$y=5x+33$得：
$213=5x+33$
移项得$5x=213-33=180$，解得$x=36$。
【答案】
(1)各点在同一条直线上，对应的函数表达式为$\boldsymbol{y=5x+33}$；
(2)以对称轴为基准向两边各取相同的长度是$\boldsymbol{36\ \mathrm{mm}}$。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用；一次函数图象与性质
【点评】
本题结合传统家具的实际场景考查一次函数相关知识，引导学生关注数学在生活中的应用，侧重考核学生信息提取能力和待定系数法的运用能力，解题核心是准确求出一次函数解析式，再代入求值。
【难度系数】
0.7
对于第(1)问：首先观察散点图中点的分布规律，可初步判断各点在同一条直线上，因此选择用一次函数模型求解。运用待定系数法，选取两组对应的数据代入一次函数的一般形式$y=kx+b$，解方程组得到系数$k$和$b$，再验证其余数据是否符合所得解析式，确认后即可确定函数表达式。
对于第(2)问：已经得到$y$与$x$的函数关系，将凳面宽度$y=213\ \mathrm{mm}$代入解析式，解一元一次方程即可求出对应的$x$值。
【解析】
(1)观察各点分布，可知它们在同一条直线上。
设这条直线所对应的函数表达式为$y=kx+b$，将$(16.5,115.5)$、$(23.1,148.5)$代入表达式，得：
$\begin{cases} 16.5k+b=115.5 \\ 23.1k+b=148.5 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程消去$b$，可得$6.6k=33$，解得$k=5$。
将$k=5$代入$16.5k+b=115.5$，得$16.5×5 +b=115.5$，解得$b=33$。
因此初步得到函数表达式为$y=5x+33$。
将表格中其余$x$值代入该表达式验证，均满足对应$y$值，因此该式即为所求函数表达式。
(2)当凳面宽度$y=213\ \mathrm{mm}$时，代入$y=5x+33$得：
$213=5x+33$
移项得$5x=213-33=180$，解得$x=36$。
【答案】
(1)各点在同一条直线上，对应的函数表达式为$\boldsymbol{y=5x+33}$；
(2)以对称轴为基准向两边各取相同的长度是$\boldsymbol{36\ \mathrm{mm}}$。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用；一次函数图象与性质
【点评】
本题结合传统家具的实际场景考查一次函数相关知识，引导学生关注数学在生活中的应用，侧重考核学生信息提取能力和待定系数法的运用能力，解题核心是准确求出一次函数解析式，再代入求值。
【难度系数】
0.7
