1 [2025贵州期末]若关于x的二次函数$y=-x^2+mx+n$的图象与x轴的交点坐标为$(-1,0)$和$(3,0)$，则关于x的方程$-x^2+mx+n=0$的解为（）

A.$x_1=x_2=0$
B.$x_1=1,x_2=-3$
C.$x_1=1,x_2=0$
D.$x_1=-1,x_2=3$

1. D

【分析】
解题的核心是明确二次函数与对应一元二次方程的关系。我们知道，二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴交点的横坐标，就是当$y=0$时所得一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解。本题已经直接给出二次函数与x轴的两个交点坐标，不需要求解参数$m$、$n$，直接提取交点的横坐标就是对应方程的解，可简化计算过程。
【解析】
根据二次函数与一元二次方程的关系：二次函数图象与x轴交点的横坐标，就是对应一元二次方程的解。
已知二次函数$y=-x^2+mx+n$的图象与x轴的交点为$(-1,0)$和$(3,0)$，即当$y=0$时，$x$的取值为$-1$和$3$。
因此方程$-x^2+mx+n=0$的解为$x_1=-1$，$x_2=3$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1.二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题是基础概念应用题，重点考查二次函数图象与x轴交点和对应一元二次方程解的对应关系，熟练掌握该关系可直接得出答案，无需额外计算参数，能提升解题效率。
【难度系数】
0.9

2 二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的部分图象如图所示，若关于x的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解分别为$x_1,x_2$，则$x_1+x_2$的值为。

2. -2

【分析】
解题时首先要明确一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解就是对应二次函数图象与x轴交点的横坐标；接下来从图像中提取关键信息：抛物线的对称轴为直线$x=-1$；根据二次函数的对称性，抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，即两个根的平均值等于对称轴的横坐标，也可结合韦达定理$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，配合对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，即可推导出$x_1+x_2$的值。
【解析】
解：由二次函数图象可得，该抛物线的对称轴为直线$x=-1$。
∵ 一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解$x_1$、$x_2$是二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴交点的横坐标，且抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，
∴ $\frac{x_1+x_2}{2}=-1$，
解得$x_1+x_2=2×(-1)=-2$。
也可通过韦达定理推导：由对称轴公式得$-\frac{b}{2a}=-1$，即$-\frac{b}{a}=-2$，根据韦达定理$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，可得$x_1+x_2=-2$。
【答案】
-2
【知识点】
二次函数对称性；二次函数与一元二次方程的联系；韦达定理
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程结合的基础题型，解题核心是从图像中获取对称轴信息，再利用二次函数的对称性或根与系数的关系计算两根之和，熟练掌握二次函数的基本性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8

3 教材变式题 二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 的图象如图所示. 根据图象解答问题:
(1) 方程 $ax^2+bx+c=0$ 的根是;
(2) 方程 $ax^2+bx+c=-3$ 的根是;
(3) 方程 $ax^2+bx+c=5$ 的根是;
(4) 方程 $ax^2+bx+c=-4$ 的根是;
(5) 方程 $ax^2+bx+c=-6$ 的根的情况是;
(6) 方程 $ax^2+bx+c=m$ 有实数根的条件是.

3. (1) $x_1=-1,x_2=3$ (2) $x_1=0,x_2=2$ (3) $x_1=-2,x_2=4$ (4) $x_1=x_2=1$ (5) 没有实数根 (6) $m≥-4$

【分析】
本题利用二次函数与一元二次方程的关系求解：一元二次方程$ax^2+bx+c=k$的实数根，就是二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与直线$y=k$交点的横坐标。解题时先从图象提取关键信息：抛物线开口向上，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,-4)$，即函数的最小值为$-4$，再结合抛物线的对称性，找到对应$k$值下交点的横坐标即可，若直线与抛物线无交点则对应方程无实数根。
【解析】
(1) 方程$ax^2+bx+c=0$对应$y=0$，即抛物线与x轴的交点，由图可知交点横坐标为$x=-1$和$x=3$，故方程的根为$x_1=-1,x_2=3$；
(2) 方程$ax^2+bx+c=-3$对应$y=-3$，抛物线过点$(0,-3)$，根据对称轴$x=1$，可得对称点横坐标为$2×1-0=2$，即另一交点为$(2,-3)$，故方程的根为$x_1=0,x_2=2$；
(3) 方程$ax^2+bx+c=5$对应$y=5$，抛物线过点$(-2,5)$，根据对称轴$x=1$，可得对称点横坐标为$2×1-(-2)=4$，即另一交点为$(4,5)$，故方程的根为$x_1=-2,x_2=4$；
(4) 方程$ax^2+bx+c=-4$对应$y=-4$，$y=-4$是抛物线的最小值，仅与抛物线顶点$(1,-4)$相交，故方程有两个相等的实数根$x_1=x_2=1$；
(5) 方程$ax^2+bx+c=-6$对应$y=-6$，由于抛物线最小值为$-4$，$y=-6＜-4$，直线$y=-6$与抛物线无交点，故方程没有实数根；
(6) 方程$ax^2+bx+c=m$有实数根，即直线$y=m$与抛物线有交点，结合抛物线最小值为$-4$，可得$m≥-4$。
【答案】
(1) $x_1=-1,x_2=3$ (2) $x_1=0,x_2=2$ (3) $x_1=-2,x_2=4$ (4) $x_1=x_2=1$ (5) 没有实数根 (6) $m≥-4$
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的图象性质，二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程结合的基础题型，核心是将方程解的问题转化为函数图象交点的问题，结合抛物线的对称性和最值可快速求解，是后续解决二次函数综合性问题的基础。
【难度系数】
0.8

4 在二次函数$y=ax^2+bx+c$中，若$a＞0,b^2-4ac=0$，则它的图象可能是（）

4. A

【分析】
解题时先根据二次项系数a的符号判断抛物线开口方向，缩小可选范围；再根据判别式Δ=b²-4ac的取值判断抛物线与x轴的交点个数，最终确定符合条件的图象。第一步，a＞0说明抛物线开口向上，可直接排除开口向下的选项；第二步，Δ=0说明抛物线与x轴只有1个公共点，据此排除交点个数不符合的选项即可得到答案。
【解析】
1. 由二次函数$y=ax^2+bx+c$中$a＞0$，可知抛物线开口向上，选项B的抛物线开口向下，不符合要求，排除B；
2. 由$b^2-4ac=0$，可知抛物线与x轴只有1个交点：
选项C的抛物线与x轴没有交点，对应$b^2-4ac＜0$，不符合要求；
选项D的抛物线与x轴有2个交点，对应$b^2-4ac＞0$，不符合要求；
选项A的抛物线开口向上，且与x轴只有1个交点，符合所有给定条件。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象性质，判别式的应用，二次函数与x轴的交点
【点评】
本题属于二次函数图象的基础判断题，解题核心是掌握二次项系数对开口方向的决定作用，以及判别式取值和抛物线与x轴交点个数的对应关系，熟练掌握相关性质即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8

5 对于二次函数$y=x^2 - 2x +4$，有下列说法：
① 该二次函数图象的对称轴为直线$x=1$；
② 该二次函数图象的顶点的纵坐标为7；
③ 该二次函数的图象与$x$轴有两个交点；
④ 该二次函数的图象开口向上.其中，错误的是（）

A.①②
B.②③
C.③④
D.①③

5. B

【分析】
要判断四个说法的正误，我们可以先提取二次函数的各项系数，结合二次函数的性质逐一验证：1. 用对称轴公式判断说法①；2. 代入对称轴对应的x值求顶点纵坐标，或用顶点纵坐标公式判断说法②；3. 计算根的判别式Δ，根据Δ的正负判断图象与x轴的交点个数，验证说法③；4. 根据二次项系数的正负判断开口方向，验证说法④，最后找出错误的说法对应选项即可。
【解析】
已知二次函数解析式为$y=x^2-2x+4$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2$，常数项$c=4$。
① 对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，代入得$x=-\frac{-2}{2×1}=1$，故①说法正确；
② 求顶点纵坐标：将$x=1$代入解析式，得$y=1^2-2×1+4=3$，即顶点纵坐标为3，不是7，故②说法错误；
③ 二次函数图象与x轴交点个数由判别式$\Delta=b^2-4ac$判断，代入得$\Delta=(-2)^2-4×1×4=4-16=-12＜0$，所以该二次函数图象与x轴无交点，故③说法错误；
④ 二次项系数$a=1＞0$，所以该二次函数图象开口向上，故④说法正确。
综上，错误的说法是②③，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的性质；根的判别式；二次函数与x轴交点判定
【点评】
本题属于二次函数基础概念考查题，解题的关键是熟练掌握二次函数对称轴、顶点坐标、开口方向的计算方法，以及利用判别式判断图象与x轴交点个数的规则，计算时注意不要出现符号错误。
【难度系数】
0.8

6（易错题）若抛物线$y=x^2 -2x +c$（c是常数）与x轴有交点，则c的取值范围是。

6. $c≤1$

【分析】
要确定c的取值范围，首先明确二次函数图象与x轴有交点的等价条件：抛物线与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的根，因此抛物线与x轴有交点等价于对应的一元二次方程有实数根。接下来利用一元二次方程根的判别式Δ≥0建立关于c的不等式，解不等式即可得到c的范围。注意“有交点”包含有1个交点和2个交点两种情况，因此判别式要取等号，这是本题的易错点。
【解析】
解：
∵抛物线$y=x^2 -2x +c$与x轴有交点
∴关于x的一元二次方程$x^2 -2x +c=0$有实数根
在方程$x^2 -2x +c=0$中，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2$，常数项为$c$
根据一元二次方程根的判别式公式，得：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4×1× c = 4 - 4c$
∵方程有实数根
∴$\Delta ≥ 0$，即$4 - 4c ≥ 0$
解不等式：
移项得$-4c ≥ -4$
两边同时除以$-4$，不等号方向改变，得$c ≤ 1$
【答案】
$c≤1$
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系、根的判别式、解一元一次不等式
【点评】
本题是典型的易错题，常见错误有两种：一是误认为“有交点”仅指有两个不同交点，误将判别式条件写为$\Delta＞0$，得到$c＜1$的错误结论；二是解不等式两边除以负数时忘记改变不等号方向。解题时要准确理解“有交点”的含义，牢记二次函数与x轴交点个数和判别式的对应关系。
【难度系数】
0.7

7 已知关于x的一元二次方程$x^2 + x - m = 0$。
（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）二次函数$y = x^2 + x - m$的部分图象如图所示，求一元二次方程$x^2 + x - m = 0$的解。

7. (1) $\because$ 一元二次方程 $x^2+x-m=0$ 有两个不相等的实数根,$\therefore \Delta＞0$,即 $1+4m＞0. \therefore m＞-\dfrac{1}{4}$
(2) 由题意,得二次函数$y=x^2+x-m$ 的图象的对称轴为直线 $x=-\dfrac{1}{2}$,$\therefore$ 函数图象与 $x$ 轴的两个交点关于直线 $x=-\dfrac{1}{2}$ 对称. 由题图可知,函数图象与 $x$ 轴的一个交点为 $(1,0)$,$\therefore$ 另一个交点为 $(-2,0)$.$\therefore$ 一元二次方程 $x^2+x-m=0$ 的解为 $x_1=1,x_2=-2$

【分析】
（1）要解决一元二次方程有两个不相等实数根的问题，需用到根的判别式：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当$\Delta=b^2-4ac＞0$时，方程有两个不相等的实数根。先确定本题方程对应$a、b、c$的值，代入判别式列不等式求解，即可得到$m$的取值范围。
（2）一元二次方程$x^2+x-m=0$的解就是对应二次函数$y=x^2+x-m$的图象与$x$轴交点的横坐标。已知抛物线是轴对称图形，先通过对称轴公式求出抛物线的对称轴，再结合已知的一个交点坐标，利用对称性求出另一个交点的横坐标，即可得到方程的全部解。
【解析】
（1）$\because$ 一元二次方程 $x^2+x-m=0$ 有两个不相等的实数根，
$\therefore$ 根的判别式$\Delta＞0$，其中$a=1,b=1,c=-m$，
代入得$\Delta=1^2-4×1×(-m)=1+4m＞0$，
解得 $m＞-\dfrac{1}{4}$。
（2）二次函数$y=x^2+x-m$的图象的对称轴为直线$x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{1}{2×1}=-\dfrac{1}{2}$，
$\because$ 二次函数图象与$x$轴的两个交点关于对称轴对称，由题图可知其中一个交点为$(1,0)$，
设另一个交点的横坐标为$x$，则$\dfrac{x+1}{2}=-\dfrac{1}{2}$，解得$x=-2$，即另一个交点为$(-2,0)$，
$\therefore$ 一元二次方程$x^2+x-m=0$的解为 $x_1=1,x_2=-2$。
【答案】
(1) $m＞-\dfrac{1}{4}$
(2) $x_1=1,x_2=-2$
【知识点】
根的判别式应用，二次函数对称性，二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题属于基础综合题，将一元二次方程和二次函数图象结合考查，既需要掌握根的判别式的使用规则，也需要理解二次函数图象与对应一元二次方程解的关联，熟练运用抛物线的对称性是解决第二问的关键。
【难度系数】
0.8