登录
3. 两条直线相交所构成的四个角中:①有三个角都相等;②有一对对顶角互补;③有一个角是直角;④有一对邻补角相等. 其中能判定这两条直线垂直的有(
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
D
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
3. D
解析
【分析】
要判断所给条件能否判定两条直线垂直，核心是看条件能不能推出两条直线相交所成的角中有一个是90°。我们可以结合对顶角相等、邻补角和为180°的性质，逐个分析4个条件是否满足这个核心要求即可。
【解析】
首先明确垂直的定义：两条直线相交，若所构成的角中有一个是90°，则这两条直线互相垂直。我们逐个分析条件：
1. 分析①：两条直线相交所成的4个角总和为360°，且对顶角相等、邻补角和为180°。若有三个角都相等，可推出四个角大小都相等，因此每个角的度数为360°÷4=90°，能判定两直线垂直。
2. 分析②：对顶角的性质是对顶角相等，若一对对顶角互补，则这两个角的和为180°，因此每个角的度数为180°÷2=90°，能判定两直线垂直。
3. 分析③：有一个角是直角就是90°，完全符合垂直的定义，能直接判定两直线垂直。
4. 分析④：邻补角的和为180°，若一对邻补角相等，则每个角的度数为180°÷2=90°，能判定两直线垂直。
综上，4个条件都能判定两条直线垂直。
【答案】
D
【知识点】
垂直的判定；对顶角的性质；邻补角的性质
【点评】
本题围绕垂直的判定展开，需要结合对顶角、邻补角的基本性质逐一验证条件，解题的关键是牢牢抓住“相交成90°则两直线垂直”的核心判断依据，属于基础概念应用题。
【难度系数】
0.8
要判断所给条件能否判定两条直线垂直，核心是看条件能不能推出两条直线相交所成的角中有一个是90°。我们可以结合对顶角相等、邻补角和为180°的性质，逐个分析4个条件是否满足这个核心要求即可。
【解析】
首先明确垂直的定义：两条直线相交，若所构成的角中有一个是90°，则这两条直线互相垂直。我们逐个分析条件：
1. 分析①：两条直线相交所成的4个角总和为360°，且对顶角相等、邻补角和为180°。若有三个角都相等，可推出四个角大小都相等，因此每个角的度数为360°÷4=90°，能判定两直线垂直。
2. 分析②：对顶角的性质是对顶角相等，若一对对顶角互补，则这两个角的和为180°，因此每个角的度数为180°÷2=90°，能判定两直线垂直。
3. 分析③：有一个角是直角就是90°，完全符合垂直的定义，能直接判定两直线垂直。
4. 分析④：邻补角的和为180°，若一对邻补角相等，则每个角的度数为180°÷2=90°，能判定两直线垂直。
综上，4个条件都能判定两条直线垂直。
【答案】
D
【知识点】
垂直的判定；对顶角的性质；邻补角的性质
【点评】
本题围绕垂直的判定展开，需要结合对顶角、邻补角的基本性质逐一验证条件，解题的关键是牢牢抓住“相交成90°则两直线垂直”的核心判断依据，属于基础概念应用题。
【难度系数】
0.8
4. 如图5,直线a,b都与直线c相交,给出下列条件:
①∠1=∠2;②∠3=∠6;③∠4+∠7=180°;④∠5+∠8=
180°,其中能判定$a// b$的是(
A.①③
B.②④
C.①③④
D.①②③④
8/4
①∠1=∠2;②∠3=∠6;③∠4+∠7=180°;④∠5+∠8=
180°,其中能判定$a// b$的是(
D
)A.①③
B.②④
C.①③④
D.①②③④
8/4
答案
4. D
解析
【分析】
解决本题的核心是掌握平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行。我们需要结合对顶角相等的性质，逐个分析4个条件，判断其能否转化为判定a//b的角的关系即可。
【解析】
我们对4个条件逐一分析：
① ∠1和∠2是直线a、b被直线c所截形成的同位角，当∠1=∠2时，根据“同位角相等，两直线平行”，可判定a//b，①符合要求；
② ∠3和∠6是直线a、b被直线c所截形成的内错角，当∠3=∠6时，根据“内错角相等，两直线平行”，可判定a//b，②符合要求；
③ 根据对顶角相等可得∠4=∠6，已知∠4+∠7=180°，代入可得∠6+∠7=180°，∠6和∠7是直线a、b被直线c所截形成的同旁内角，根据“同旁内角互补，两直线平行”，可判定a//b，③符合要求；
④ 根据对顶角相等可得∠5=∠3、∠8=∠2，已知∠5+∠8=180°，代入可得∠3+∠2=180°，∠3和∠2是直线a、b被直线c所截形成的同旁内角，根据“同旁内角互补，两直线平行”，可判定a//b，④符合要求。
综上，①②③④都可判定a//b。
【答案】
D
【知识点】
平行线的判定；对顶角的性质
【点评】
本题是平行线判定的基础应用类题目，解题时需要准确识别同位角、内错角、同旁内角，灵活运用对顶角的性质对已知角的关系进行转化，即可快速判断。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是掌握平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行。我们需要结合对顶角相等的性质，逐个分析4个条件，判断其能否转化为判定a//b的角的关系即可。
【解析】
我们对4个条件逐一分析：
① ∠1和∠2是直线a、b被直线c所截形成的同位角，当∠1=∠2时，根据“同位角相等，两直线平行”，可判定a//b，①符合要求；
② ∠3和∠6是直线a、b被直线c所截形成的内错角，当∠3=∠6时，根据“内错角相等，两直线平行”，可判定a//b，②符合要求；
③ 根据对顶角相等可得∠4=∠6，已知∠4+∠7=180°，代入可得∠6+∠7=180°，∠6和∠7是直线a、b被直线c所截形成的同旁内角，根据“同旁内角互补，两直线平行”，可判定a//b，③符合要求；
④ 根据对顶角相等可得∠5=∠3、∠8=∠2，已知∠5+∠8=180°，代入可得∠3+∠2=180°，∠3和∠2是直线a、b被直线c所截形成的同旁内角，根据“同旁内角互补，两直线平行”，可判定a//b，④符合要求。
综上，①②③④都可判定a//b。
【答案】
D
【知识点】
平行线的判定；对顶角的性质
【点评】
本题是平行线判定的基础应用类题目，解题时需要准确识别同位角、内错角、同旁内角，灵活运用对顶角的性质对已知角的关系进行转化，即可快速判断。
【难度系数】
0.7
三、解答题
1. 如图6，∠1是它的补角的3倍，∠2等于它的余角，那么AB//CD吗？为什么？
1. 如图6，∠1是它的补角的3倍，∠2等于它的余角，那么AB//CD吗？为什么？
答案
1. $AB// CD$(提示:$∠ 1=135°$,$∠ 2=45°$)
解析
【分析】
要判断AB与CD是否平行，可通过验证二者被截线形成的同旁内角∠1和∠2是否互补来推导。首先根据补角的定义，结合∠1是它补角的3倍计算出∠1的度数；再根据余角的定义，结合∠2等于它的余角计算出∠2的度数；最后计算两个角的和，若和为180°，则根据同旁内角互补的平行线判定规则可证AB//CD。
【解析】
解：AB//CD，理由如下：
1. 求∠1的度数：
设∠1的补角为$x$，由题意得$∠1=3x$。
根据互为补角的两角和为$180°$，可得：
$x+3x=180°$
解得$x=45°$，因此$∠1=3×45°=135°$。
2. 求∠2的度数：
已知∠2等于它的余角，根据互为余角的两角和为$90°$，可得：
$∠2+∠2=90°$
解得$∠2=45°$。
3. 判定平行：
$∠1+∠2=135°+45°=180°$，即同旁内角∠1和∠2互补。
根据“同旁内角互补，两直线平行”，可证$AB// CD$。
【答案】
$AB// CD$（$∠1=135°$，$∠2=45°$）
【知识点】
1. 余角与补角的定义
2. 平行线的判定定理
【点评】
本题结合角度计算与平行线判定考察基础几何知识，解题关键是熟练掌握余角、补角的计算方法和平行线的判定规则，是几何入门阶段的典型基础题。
【难度系数】
0.85
要判断AB与CD是否平行，可通过验证二者被截线形成的同旁内角∠1和∠2是否互补来推导。首先根据补角的定义，结合∠1是它补角的3倍计算出∠1的度数；再根据余角的定义，结合∠2等于它的余角计算出∠2的度数；最后计算两个角的和，若和为180°，则根据同旁内角互补的平行线判定规则可证AB//CD。
【解析】
解：AB//CD，理由如下：
1. 求∠1的度数：
设∠1的补角为$x$，由题意得$∠1=3x$。
根据互为补角的两角和为$180°$，可得：
$x+3x=180°$
解得$x=45°$，因此$∠1=3×45°=135°$。
2. 求∠2的度数：
已知∠2等于它的余角，根据互为余角的两角和为$90°$，可得：
$∠2+∠2=90°$
解得$∠2=45°$。
3. 判定平行：
$∠1+∠2=135°+45°=180°$，即同旁内角∠1和∠2互补。
根据“同旁内角互补，两直线平行”，可证$AB// CD$。
【答案】
$AB// CD$（$∠1=135°$，$∠2=45°$）
【知识点】
1. 余角与补角的定义
2. 平行线的判定定理
【点评】
本题结合角度计算与平行线判定考察基础几何知识，解题关键是熟练掌握余角、补角的计算方法和平行线的判定规则，是几何入门阶段的典型基础题。
【难度系数】
0.85
2. 如图7，$∠ EAC=2∠ B$，且AD平分$∠ EAC$.
求证:$AD// BC$.
证明:$\because AD$平分$∠ EAC$(已知)
$\therefore ∠ EAD=∠ CAD=\frac{1}{2}∠ EAC$(
$\because ∠ EAC=2∠ B$(已知)
即$∠ B=\frac{1}{2}∠ EAC$
$\therefore ∠ EAD=∠ B$(
$\therefore AD// BC$(
求证:$AD// BC$.
证明:$\because AD$平分$∠ EAC$(已知)
$\therefore ∠ EAD=∠ CAD=\frac{1}{2}∠ EAC$(
角平分线的定义
)$\because ∠ EAC=2∠ B$(已知)
即$∠ B=\frac{1}{2}∠ EAC$
$\therefore ∠ EAD=∠ B$(
等量代换
)$\therefore AD// BC$(
同位角相等,两直线平行
)答案
2. 角平分线的定义;等量代换;同位角相等,两直线平行
解析
【分析】
这是一道几何证明依据填空题，解题时结合已知条件和几何基础定义、定理逐步推导即可：首先看到AD平分∠EAC的条件，推导角的等量关系要对应角平分线的定义；接下来已知∠EAC和∠B的倍数关系，两个角都等于∠EAC的一半，可通过等量替换得到两个角相等；最后得到的∠EAD和∠B是同位角，由同位角相等即可判定两直线平行，对应平行线的判定定理。
【解析】
我们依次分析每一步的推导依据：
1. 已知AD平分∠EAC，根据角平分线的定义，角平分线会把一个角分成两个相等的小角，每个小角等于原角的$\frac{1}{2}$，因此第一个空填角平分线的定义；
2. 已得$∠ EAD=\frac{1}{2}∠ EAC$，又由已知推出$∠ B=\frac{1}{2}∠ EAC$，两个量等于同一个量则这两个量相等，属于等量代换，因此第二个空填等量代换；
3. $∠ EAD$和$∠ B$是直线AD、BC被直线EB所截形成的同位角，同位角相等可判定两直线平行，因此第三个空填同位角相等，两直线平行。
【答案】
角平分线的定义;等量代换;同位角相等,两直线平行
【知识点】
角平分线的定义，平行线的判定，等量代换
【点评】
本题属于基础的几何概念应用题，主要考察对基础几何定义、定理的识记和简单应用，熟练掌握相关概念即可轻松解答，是平行线判定模块的常规基础题型。
【难度系数】
0.8
这是一道几何证明依据填空题，解题时结合已知条件和几何基础定义、定理逐步推导即可：首先看到AD平分∠EAC的条件，推导角的等量关系要对应角平分线的定义；接下来已知∠EAC和∠B的倍数关系，两个角都等于∠EAC的一半，可通过等量替换得到两个角相等；最后得到的∠EAD和∠B是同位角，由同位角相等即可判定两直线平行，对应平行线的判定定理。
【解析】
我们依次分析每一步的推导依据：
1. 已知AD平分∠EAC，根据角平分线的定义，角平分线会把一个角分成两个相等的小角，每个小角等于原角的$\frac{1}{2}$，因此第一个空填角平分线的定义；
2. 已得$∠ EAD=\frac{1}{2}∠ EAC$，又由已知推出$∠ B=\frac{1}{2}∠ EAC$，两个量等于同一个量则这两个量相等，属于等量代换，因此第二个空填等量代换；
3. $∠ EAD$和$∠ B$是直线AD、BC被直线EB所截形成的同位角，同位角相等可判定两直线平行，因此第三个空填同位角相等，两直线平行。
【答案】
角平分线的定义;等量代换;同位角相等,两直线平行
【知识点】
角平分线的定义，平行线的判定，等量代换
【点评】
本题属于基础的几何概念应用题，主要考察对基础几何定义、定理的识记和简单应用，熟练掌握相关概念即可轻松解答，是平行线判定模块的常规基础题型。
【难度系数】
0.8
