【典型例题1】如图，已知$AC // BD$，$AE$，$BE$分别平分$∠ CAB$和$∠ DBA$，$CD$过点$E$.求证:$AB=AC+BD$.
思路导引 线段$AC$，$BD$与$AB$不在同一个三角形内，而且也不能直接找到联系三者的桥梁(如全等)，因此可以考虑通过添加辅助线来构造联系三者的桥梁.通过截长(补短)法求证三者之间的关系.
【证明】(方法1:截长法)如图，在线段$AB$上截取$AF=AC$，连接$EF$.因为$AE$，$BE$分别平分$∠ CAB$和$∠ DBA$，所以$∠ 1=∠ 2$，$∠ 3=∠ 4$.


在$△ ACE$和$△ AFE$中，$\begin{cases} AC=AF, \\ ∠ 1=∠ 2, \\ AE=AE, \end{cases}$
所以$△ ACE ≌ △ AFE(\mathrm{SAS})$，
所以$∠ 5=∠ C$.
因为$AC // BD$，所以$∠ C+∠ D=180°$.
又因为$∠ 5+∠ 6=180°$，所以$∠ 6=∠ D$.
在$△ EFB$和$△ EDB$中，$\begin{cases} ∠ 6=∠ D, \\ ∠ 3=∠ 4, \\ BE=BE, \end{cases}$
所以$△ EFB ≌ △ EDB(\mathrm{AAS})$，
所以$BF=BD$，
所以$AB=AF+FB=AC+BD$，
所以$AB=AC+BD$.
(方法2:补短法)如图，延长$AC$至点$F$，使$AF=AB$，连接$EF$.

因为$AE$，$BE$分别平分$∠ CAB$和$∠ DBA$，所以$∠ 1=∠ 2$，$∠ 3=∠ 4$.
在$△ AEF$和$△ AEB$中，$\begin{cases} AF=AB, \\ ∠ 1=∠ 2, \\ AE=AE, \end{cases}$
所以$△ AEF ≌ △ AEB(\mathrm{SAS})$，
所以$EF=EB$，$∠ F=∠ 3$.
又因为$∠ 3=∠ 4$，
所以$∠ F=∠ 4$.
因为$AC // BD$，
所以$∠ FCE=∠ D$.
在$△ CEF$和$△ DEB$中，$\begin{cases} ∠ FCE=∠ D, \\ ∠ F=∠ 4, \\ EF=EB, \end{cases}$
所以$△ CEF ≌ △ DEB(\mathrm{AAS})$，
所以$FC=BD$.
因为$AB=AF=AC+FC$，
所以$AB=AC+BD$.

规律方法 线段的截长补短法就是在解决问题时，先在长线段上截取和短线段相等的线段，或者把短线段补成与长线段相等的线段，再证明结论的一种辅助线的添加方法.一般在以下几种情况下用截长补短法证题：
(1)当已知或求证中有一条线段大于另一条线段时；
(2)当已知或求证中涉及线段的和(或差)等于另一条(或几条)线段的和(或差)时.

证明：（方法1：截长法）
在线段$AB$上截取$AF=AC$，连接$EF$。
因为$AE$，$BE$分别平分$∠ CAB$和$∠ DBA$，
所以$∠ 1=∠ 2$，$∠ 3=∠ 4$。
在$△ ACE$和$△ AFE$中，
$\begin{cases}AC=AF, \\∠ 1=∠ 2, \\AE=AE,\end{cases}$
所以$△ ACE ≌ △ AFE(\mathrm{SAS})$，
所以$∠ 5=∠ C$。
因为$AC // BD$，
所以$∠ C + ∠ D=180°$。
又因为$∠ 5 + ∠ 6=180°$，
所以$∠ 6=∠ D$。
在$△ EFB$和$△ EDB$中，
$\begin{cases}∠ 6=∠ D, \\∠ 3=∠ 4, \\BE=BE,\end{cases}$
所以$△ EFB ≌ △ EDB(\mathrm{AAS})$，
所以$BF=BD$。
因为$AB=AF+FB$，
所以$AB=AC+BD$。