1. (2025 广东)《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义. 若直角三角形的三边长 $a$，$b$，$c$ 都是正整数，则 $a$，$b$，$c$ 为一组“勾股数”. 下表中的每一组数都是勾股数.
(1) 请补全上表中的勾股数.
(2) 根据上表中数据规律，用含字母(均为正整数)的代数式分别表示 $a$，$b$，$c$，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明.
(3) 某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成. 种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为 $1$ m. 如果每个三角形最短边都种 $21$ 株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花？
(1) 请补全上表中的勾股数.
24
(2) 根据上表中数据规律，用含字母(均为正整数)的代数式分别表示 $a$，$b$，$c$，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明.
$ a = m^2 - n^2 $，$ b = 2mn $，$ c = m^2 + n^2 $（$ m ＞ n ＞ 0 $，$ m,n $ 为正整数）
(3) 某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成. 种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为 $1$ m. 如果每个三角形最短边都种 $21$ 株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花？
194
答案
(1) 24
(2) $ a = m^2 - n^2 $，$ b = 2mn $，$ c = m^2 + n^2 $（$ m ＞ n ＞ 0 $，$ m,n $ 为正整数）
(3) 194
(2) $ a = m^2 - n^2 $，$ b = 2mn $，$ c = m^2 + n^2 $（$ m ＞ n ＞ 0 $，$ m,n $ 为正整数）
(3) 194
解析
(1) 设第三边为 $ b $，已知勾股数中 $ 10^2 + b^2 = 26^2 $，解得 $ b = 24 $。
(2) 观察表格，勾股数可表示为 $ a = m^2 - n^2 $，$ b = 2mn $，$ c = m^2 + n^2 $（$ m ＞ n ＞ 0 $，$ m,n $ 为正整数）。证明：$ a^2 + b^2 = (m^2 - n^2)^2 + (2mn)^2 = m^4 + 2m^2n^2 + n^4 = (m^2 + n^2)^2 = c^2 $。
(3) 最短边种 21 株，边长为 $ 20m $，勾股数取 $ 20,21,29 $。每个三角形边株数：21（20m）、22（21m）、30（29m）。四个三角形总株数 $ 4×(21+22+30) = 292 $，减去重叠的 2 条 20m 边（$ 2×21 $）和 2 条 21m 边（$ 2×22 $），得 $ 292 - 42 - 44 = 194 $。
(2) 观察表格，勾股数可表示为 $ a = m^2 - n^2 $，$ b = 2mn $，$ c = m^2 + n^2 $（$ m ＞ n ＞ 0 $，$ m,n $ 为正整数）。证明：$ a^2 + b^2 = (m^2 - n^2)^2 + (2mn)^2 = m^4 + 2m^2n^2 + n^4 = (m^2 + n^2)^2 = c^2 $。
(3) 最短边种 21 株，边长为 $ 20m $，勾股数取 $ 20,21,29 $。每个三角形边株数：21（20m）、22（21m）、30（29m）。四个三角形总株数 $ 4×(21+22+30) = 292 $，减去重叠的 2 条 20m 边（$ 2×21 $）和 2 条 21m 边（$ 2×22 $），得 $ 292 - 42 - 44 = 194 $。
