2. 两条平行线之间的距离
(1)定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离.
(2)性质

两条平行线之间的距离处处.

相等

对点训练 14. 如图，直线 l₁//l₂，点 A，D 在 l₁ 上，点 B，C，E 在 l₂ 上，AB⊥l₂.
(1)若 AC = 5，BC = 3，则直线 l₁，l₂ 之间的距离为；
(2)若 AD = CE = 2BC，S △ABC = 10，则 S △ACD = ，S △CDE = .

(1) 因为 $ l_1 // l_2 $，$ AB ⊥ l_2 $，所以 $ AB $ 为 $ l_1 $ 与 $ l_2 $ 之间的距离。在 $ \mathrm{Rt}\triangle ABC $ 中，$ AC=5 $，$ BC=3 $，由勾股定理得 $ AB=\sqrt{AC^2 - BC^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=4 $。故答案为 4。
(2) 设 $ BC = x $，则 $ AD = CE = 2x $。因为 $ S_{\triangle ABC}=10 $，且 $ S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2} × BC × AB $，所以 $ 10 = \frac{1}{2} × x × AB $，即 $ x × AB = 20 $。
$ S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2} × AD × AB = \frac{1}{2} × 2x × AB = x × AB = 20 $。
$ S_{\triangle CDE}=\frac{1}{2} × CE × AB = \frac{1}{2} × 2x × AB = x × AB = 20 $。
故答案为 20，20。
(1) 4
(2) 20；20

五、命题

②；③

②真命题；③假命题

根据命题的定义及分类，题设成立结论一定成立的命题是真命题，题设成立结论不一定成立的命题是假命题。

对点训练 15. 命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题是，这个逆命题是(填“真”或“假”)命题.

同位角相等，两直线平行；真

16. 命题“如果∠1 + ∠2 = 90°，那么∠1 ≠ ∠2”，能说明它是假命题的反例是.

当∠1=45°，∠2=45°时，∠1+∠2=90°，但∠1=∠2。

1.(新人教七上 P178 改编)如图，∠COD = 35°，OC 平分∠AOB，OD 平分∠AOC，则∠AOB 的度数为.

140

设∠AOD = x，因为OD平分∠AOC，所以∠COD = ∠AOD = x = 35°，则∠AOC = 2x = 70°。又因为OC平分∠AOB，所以∠AOB = 2∠AOC = 140°。

2.(2025 商丘二模)如图，在△ABC 中，∠C = 90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB 于点 E，CD = 2，AB = 6，则△ABD 的面积是.

6

∵AD是△ABC的角平分线，∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=CD=2（角平分线的性质）。
∵AB=6，∴△ABD的面积为$\frac{1}{2}×AB×DE=\frac{1}{2}×6×2=6$。

3.(2025 信阳二模)如图，P 是△ABC 内一点，点 P 到三边 AB，AC，BC 的距离 PD = PE = PF，若∠BPC = 142°，则∠BAC 的度数为.

104°

由题意，点P到△ABC三边的距离PD = PE = PF，说明点P是△ABC的内心。
根据内心的性质，∠ABC、∠ACB被角平分线平分。
设∠ABC = 2α，∠ACB = 2β，则∠BAC = 180° - 2α - 2β。
在△BPC中，∠BPC = 142°，所以：
∠PBC + ∠PCB = 180° - ∠BPC = 180° - 142° = 38°。
即：α + β = 38°。
所以：
∠BAC = 180° - 2α - 2β = 180° - 2(α + β) = 104°。

4.(2025 信阳一模)如图，在△ABC 中，DE 垂直平分 AC，∠A = 30°，∠ACB = 80°，则∠BCE 的度数为 ()

A.40°
B.70°
C.60°
D.50°

D

∵DE垂直平分AC，∴AE=CE，∠A=∠ACE=30°。∵∠ACB=80°，∴∠BCE=∠ACB - ∠ACE=80° - 30°=50°。