例3 如图, 在等边三角形 $ABC$ 中, $AB = 3$, 点 $M$, $N$ 分别在边 $AC$, $BC$ 上, 且 $AM = CN$, 则线段 $MN$ 长的最小值为.

$\frac{3}{2}$

5. (2025 山东)如图, 在 $Rt\triangle ABC$ 中, $\angle ABC = 90^{\circ}$, $AB = 6$, $BC = 8$. 点 $P$ 为边 $AC$ 上异于 $A$ 的一点, 以 $PA$, $PB$ 为邻边作 $□ PAQB$，则线段 $PQ$ 的最小值是.

$4.8$

设 $ AC $ 为 $ Rt\triangle ABC $ 的斜边，使用勾股定理计算 $ AC $ 的长度：
$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$。
由于 $ PAQB $ 是平行四边形，所以 $ PQ \geq \mathrm{高} $（从几何特性来看，平行四边形的高即为 $ PB $ 的垂直高度）。
当 $ P $ 移动到 $ AC $ 的中点时，平行四边形 $ PAQB $ 的高即为 $ B $ 到 $ AC $ 的垂直距离，此时 $ PQ $ 最小。
设 $ AC $ 的中点为 $ P $，则 $ P $ 到 $ B $ 的垂直距离 $ h $ 可以通过面积法计算：
$\mathrm{三角形面积} = \frac{1}{2} × AB × BC = \frac{1}{2} × 6 × 8 = 24$。
$\mathrm{三角形面积} = \frac{1}{2} × AC × h = \frac{1}{2} × 10 × h = 24 \implies h = \frac{24 × 2}{10} = 4.8$。
因此，平行四边形 $ PAQB $ 的最小高度 $ h = 4.8 $，即 $ PQ $ 的最小值为 $ 4.8 $。

6. 如图, 在 $\triangle ABC$ 中, $AB = 6$, $\angle BAC = 60^{\circ}$, $\angle BAC$ 的平分线交 $BC$ 于点 $D$, $M$, $N$ 分别是射线 $AD$, $AB$ 上的两个动点, 则 $BM + MN$ 的最小值是.

3√3

作点N关于AD的对称点N'，由AD平分∠BAC知N'在AC上，故BM+MN=BM+MN'。当B、M、N'共线且BN'⊥AC时，BN'最小，此时BN'为点B到AC的距离。在Rt△ABH中（H为垂足），∠BAH=60°，AB=6，BH=AB·sin60°=6×(√3/2)=3√3，即BM+MN的最小值为3√3。

7. 如图, 正方形 $ABCD$ 的边长为 $4$, 点 $E$ 是边 $BC$ 的中点, 点 $P$ 为边 $AB$ 上一动点, 将 $EP$ 绕点 $E$ 顺时针旋转 $60^{\circ}$ 得到 $EQ$, 连接 $PQ$, $CQ$, 则线段 $CQ$ 的最小值为.

3

以B为原点，BC为x轴，BA为y轴建立坐标系。则B(0,0)，C(4,0)，E(2,0)，设P(0,t)(0≤t≤4)。EP绕E顺时针旋转60°得EQ，由旋转坐标公式得Q(1+√3t/2, √3 + t/2)。CQ²=(1+√3t/2 - 4)²+(√3 + t/2 - 0)²=t² - 2√3t + 12，二次函数对称轴t=√3∈[0,4]，最小值为9，故CQ最小值为3。

8. (2025 驻马店二模节选)如图, 在矩形 $ABCD$ 中, $AB = 6$, $BC = 8$, 点 $P$ 是对角线 $BD$ 上一个动点, 连接 $AP$, 以 $AP$ 为直角边在 $AP$ 右侧作等腰直角三角形 $APE$, $\angle APE = 90^{\circ}$, 连接 $DE$, 则 $DE$ 的最小值是.

4√2/5

以A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立坐标系，A(0,0)，B(6,0)，C(6,8)，D(0,8)。对角线BD方程为y=-4/3x+8，设P(t,-4/3t+8)(0≤t≤6)。
∵△APE为等腰直角三角形，∠APE=90°，AP=PE，向量AP=(t,-4/3t+8)，逆时针旋转90°得PE=((4/3t-8),t)，
∴E(t+(4/3t-8),(-4/3t+8)+t)=(7/3t-8,-1/3t+8)。
消参得E点轨迹方程：x+7y-48=0。点D(0,8)到直线x+7y-48=0的距离d=|0+56-48|/√(1+49)=8/(5√2)=4√2/5。

例4 (2025 郑州二模)如图, 点 $E$ 是正方形 $ABCD$ 的边 $BC$ 的中点, 点 $M$ 是平面内一点, 连接 $AM$, 将线段 $AM$ 以点 $A$ 为中心逆时针旋转 $90^{\circ}$，得到线段 $AN$, 连接 $EN$, 若 $AD = 6$, 点 $A$, $M$ 之间的距离为 $2$，则 $EN$ 的最小值为, $EN$ 的最大值为.

3√5 - 2；3√5 + 2

以A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立坐标系。则A(0,0)，B(6,0)，C(6,6)，D(0,6)，E为BC中点，E(6,3)。点M轨迹是以A为圆心，2为半径的圆，坐标设为(x,y)，满足x²+y²=4。AM绕A逆时针旋转90°得AN，由旋转性质，N坐标为(-y,x)，故N轨迹亦为以A为圆心，2为半径的圆。E(6,3)到圆心A的距离EA=√(6²+3²)=3√5。EN的最小值为EA-半径=3√5-2，最大值为EA+半径=3√5+2。

9. 如图, 在四边形 $ABCD$ 中, $\angle ABC = \angle BAD = 90^{\circ}$, $AB = 5$, $AD = 4$, $AD ＜ BC$, 点 $E$ 在线段 $BC$ 上运动, 点 $F$ 在线段 $AE$ 上, $\angle ADF = \angle BAE$, 则线段 $BF$ 长度的最小值为.

√29 - 2

以A为原点，AB为y轴，AD为x轴建立坐标系，得A(0,0)，B(0,5)，D(4,0)。由∠ADF=∠BAE及∠BAD=90°，证得∠AFD=90°，故F在以AD为直径的圆O上，圆心O(2,0)，半径r=2。BF最小值为B到O的距离减半径，BO=√[(0-2)²+(5-0)²]=√29，所以BF最小值=√29 - 2。

10. (2025 平顶山二模)如图, 在四边形 $ABCD$ 中, $AB = BC = 2$, $AD = AC = CD$, $\angle CAB = 30^{\circ}$, 点 $P$ 为平面内一动点, 且 $AP = 1$. 连接 $DP$, 将线段 $DP$ 绕点 $D$ 逆时针旋转 $60^{\circ}$ 至 $DP'$，则 $A$, $P'$ 两点间的最大距离为, 最小距离为.

2√3+1,2√3-1

以A为原点，AC为x轴建立坐标系。由AB=BC=2，∠CAB=30°，用余弦定理得AC=2√3，故C(2√3,0)。△ACD为等边三角形，D为AC上方中点，坐标(√3,3)。点P轨迹是以A为圆心，半径1的圆。将圆A绕D逆时针旋转60°得圆A'，圆心A'为A绕D逆时针旋转60°的点。计算得A'(2√3,0)，AA'=2√3。P'在圆A'上，半径1，故AP'最大=2√3+1，最小=2√3-1。