24.「2026湖南邵阳一模，★★★」（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线$y=-x^2+bx+c$与x轴交于点$A(-5,0),B$（点A在点B的左侧），与y轴交于点$C(0,5)$。
（1）求该抛物线的表达式。
（2）在对称轴上找一点Q，使$△ BCQ$的周长最小，并求点Q的坐标。
（3）若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在以点A,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。

24.解析
(1)由题意得$\begin{cases}0=-25-5b+c,\\5=c,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}b=-4,\\c=5,\end{cases}$
$\therefore$ 抛物线的表达式为$y=-x^2-4x+5$. ............... (3分)
(2)如图,AC与对称轴的交点即为点Q, ............ (5分)

设直线AC的表达式为$y=kx+b(k≠0)$,
将点A,点C的坐标分别代入得$\begin{cases}0=-5k+b,\\5=b,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=1,\\b=5,\end{cases}$
$\therefore$ 直线AC的表达式为$y=x+5$,
$\because y=-x^2-4x+5=-(x+2)^2+9$,$\therefore$ 抛物线的对称轴为直线$x=-2$.
当$x=-2$时,$y=x+5=-2+5=3$,$\therefore Q(-2,3)$. ........ (7分)
(3)存在以点A,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形.
............ (8分)
设点N的坐标为$(-2,m)$,点M的坐标为$(x,-x^2-4x+5)$.
............ (9分)
分三种情况：
①当AC为平行四边形对角线时，
依题意得$-5=x-2$,解得$x=-3$,
$\therefore$ 点M的坐标为$(-3,8)$; ............ (10分)
②当AM为平行四边形对角线时，
依题意得$x-5=-2$,解得$x=3$,
$\therefore$ 点M的坐标为$(3,-16)$; ............ (11分)
③当AN为平行四边形对角线时，
依题意得$-5-2=x$,解得$x=-7$,$\therefore$ 点M的坐标为$(-7,-16)$.
综上所述,点M的坐标为$(-3,8)$或$(3,-16)$或$(-7,-16)$.
............ (12分)