登录
综合实践活动 生活中的概率问题
数学和天文学可以说是历史最悠久的学科，现代数学的很多分支发源于美索不达米亚和古希腊的古代数学.古代人也有概率的概念，但第一位将其用数值表示的，还是以三次方程的解法而闻名于世的卡尔达诺(16世纪).
18世纪后半叶，伯努利证明了“在实验条件不变的情况下，重复试验多次，随机事件的频率接近于它的概率$p$”这一大数定律，由此，概率与统计的关系也清晰起来.概率论并不是只与赌博相关的数学，它是可以应用在人口问题、保险问题中的颇为实用的数学.19世纪，数学的各个领域都在蓬勃发展，与此相比，概率的数学理论却没有什么像样的成果.不过，伴随着经济统计学和经济物理学的发展，概率论不断出现新的素材.其中最重要的，是描述随时间变化的偶然现象的随机过程，这其实是描述运动的函数这一概念的概率版本，它在牛顿的时代确立.
这个世界是由随机性、不确定性、风险和运气构成的.不能正确理解概率与统计，就不能正确理解这个世界.
曾经有一个非常经典的问题，称为“三箱问题”.说有3个一模一样的箱子，其中一个里面有奖品.嘉宾选择一个箱子打开.主持人知道奖品在哪个箱子里.在他选完以后，主持人打开了另外2个箱子中的一个，里面是空的.这时候问嘉宾，现在给你个机会，要不要换成剩下的那个箱子？嘉宾该选择换还是不换，才会有更大的概率打开那个有奖的箱子呢？
同学们，这个问题非常经典.有人说，换比不换好.如果换，获奖的概率是$\frac{2}{3}$，不换是$\frac{1}{3}$，你觉得是这样吗？当然这是一个复杂的概率问题，我们还是来完成一些简单的概率问题吧！
小明和小聪都想参加学校社团组织的暑假实践活动，但只有一个名额，小明提议用如下的办法决定谁去参加活动：
将一个材质均匀的转盘12等分，分别标上1至12九个号码，随意转动转盘，若转到4的倍数，小明去参加活动；转到3的倍数，小聪去参加活动；转到其他号码则重新转动转盘.
任务1:转盘转到4的倍数的概率是多少？
任务2:你认为这个游戏公平吗？请说明理由.
数学和天文学可以说是历史最悠久的学科，现代数学的很多分支发源于美索不达米亚和古希腊的古代数学.古代人也有概率的概念，但第一位将其用数值表示的，还是以三次方程的解法而闻名于世的卡尔达诺(16世纪).
18世纪后半叶，伯努利证明了“在实验条件不变的情况下，重复试验多次，随机事件的频率接近于它的概率$p$”这一大数定律，由此，概率与统计的关系也清晰起来.概率论并不是只与赌博相关的数学，它是可以应用在人口问题、保险问题中的颇为实用的数学.19世纪，数学的各个领域都在蓬勃发展，与此相比，概率的数学理论却没有什么像样的成果.不过，伴随着经济统计学和经济物理学的发展，概率论不断出现新的素材.其中最重要的，是描述随时间变化的偶然现象的随机过程，这其实是描述运动的函数这一概念的概率版本，它在牛顿的时代确立.
这个世界是由随机性、不确定性、风险和运气构成的.不能正确理解概率与统计，就不能正确理解这个世界.
曾经有一个非常经典的问题，称为“三箱问题”.说有3个一模一样的箱子，其中一个里面有奖品.嘉宾选择一个箱子打开.主持人知道奖品在哪个箱子里.在他选完以后，主持人打开了另外2个箱子中的一个，里面是空的.这时候问嘉宾，现在给你个机会，要不要换成剩下的那个箱子？嘉宾该选择换还是不换，才会有更大的概率打开那个有奖的箱子呢？
同学们，这个问题非常经典.有人说，换比不换好.如果换，获奖的概率是$\frac{2}{3}$，不换是$\frac{1}{3}$，你觉得是这样吗？当然这是一个复杂的概率问题，我们还是来完成一些简单的概率问题吧！
小明和小聪都想参加学校社团组织的暑假实践活动，但只有一个名额，小明提议用如下的办法决定谁去参加活动：
将一个材质均匀的转盘12等分，分别标上1至12九个号码，随意转动转盘，若转到4的倍数，小明去参加活动；转到3的倍数，小聪去参加活动；转到其他号码则重新转动转盘.
任务1:转盘转到4的倍数的概率是多少？
任务2:你认为这个游戏公平吗？请说明理由.
答案
任务1:
∵共有 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 这 12 种等可能的结果,其中 4 的倍数有 3 个,
∴P(转到 4 的倍数)=$\frac{1}{4}$
任务2:游戏不公平. P(小明去参加活动)=$\frac{1}{4}$;P(小聪去参加活动)=$\frac{1}{3}$.
∵$\frac{1}{4}≠\frac{1}{3}$,
∴游戏不公平
∵共有 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 这 12 种等可能的结果,其中 4 的倍数有 3 个,
∴P(转到 4 的倍数)=$\frac{1}{4}$
任务2:游戏不公平. P(小明去参加活动)=$\frac{1}{4}$;P(小聪去参加活动)=$\frac{1}{3}$.
∵$\frac{1}{4}≠\frac{1}{3}$,
∴游戏不公平
解析
【分析】
任务1是求古典概型下的概率，首先明确转动均匀转盘共有12种等可能的结果，只需找出4的倍数的结果数，再代入概率公式即可求解。任务2判断游戏公平性的核心是比较两人获得参加名额的概率是否相等，先分别计算出小明、小聪去参加活动的概率，再对比两个概率的大小就能得出结论。
【解析】
任务1：解：随意转动均匀的转盘，转到1至12每个数字的可能性相等，共有12种等可能的结果。其中4的倍数有4、8、12，共3种结果。
根据概率计算公式：$P(A)=\frac{事件A包含的结果数}{所有等可能的结果数}$
因此$P(转到4的倍数)=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$。
任务2：解：这个游戏不公平，理由如下：
12个数字中，3的倍数有3、6、9、12，共4种结果，因此$P(转到3的倍数)=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$，即$P(小聪去参加活动)=\frac{1}{3}$。
由任务1可知$P(小明去参加活动)=\frac{1}{4}$。
因为$\frac{1}{4}≠\frac{1}{3}$，两人参加活动的概率不相等，所以该游戏不公平。
【答案】
任务1：$P(转到4的倍数)=\frac{1}{4}$
任务2：游戏不公平。$P(小明去参加活动)=\frac{1}{4}$；$P(小聪去参加活动)=\frac{1}{3}$。因为$\frac{1}{4}≠\frac{1}{3}$，所以游戏不公平。
【知识点】
古典概型概率计算，游戏公平性判断
【点评】
本题以生活中的转盘决策场景为载体，考查概率的基础应用，解题时需要准确梳理符合条件的结果数，理解游戏公平的本质是双方获胜概率相等，题目设置贴近生活，能帮助同学们体会概率在实际决策中的作用。
【难度系数】
0.85
任务1是求古典概型下的概率，首先明确转动均匀转盘共有12种等可能的结果，只需找出4的倍数的结果数，再代入概率公式即可求解。任务2判断游戏公平性的核心是比较两人获得参加名额的概率是否相等，先分别计算出小明、小聪去参加活动的概率，再对比两个概率的大小就能得出结论。
【解析】
任务1：解：随意转动均匀的转盘，转到1至12每个数字的可能性相等，共有12种等可能的结果。其中4的倍数有4、8、12，共3种结果。
根据概率计算公式：$P(A)=\frac{事件A包含的结果数}{所有等可能的结果数}$
因此$P(转到4的倍数)=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$。
任务2：解：这个游戏不公平，理由如下：
12个数字中，3的倍数有3、6、9、12，共4种结果，因此$P(转到3的倍数)=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$，即$P(小聪去参加活动)=\frac{1}{3}$。
由任务1可知$P(小明去参加活动)=\frac{1}{4}$。
因为$\frac{1}{4}≠\frac{1}{3}$，两人参加活动的概率不相等，所以该游戏不公平。
【答案】
任务1：$P(转到4的倍数)=\frac{1}{4}$
任务2：游戏不公平。$P(小明去参加活动)=\frac{1}{4}$；$P(小聪去参加活动)=\frac{1}{3}$。因为$\frac{1}{4}≠\frac{1}{3}$，所以游戏不公平。
【知识点】
古典概型概率计算，游戏公平性判断
【点评】
本题以生活中的转盘决策场景为载体，考查概率的基础应用，解题时需要准确梳理符合条件的结果数，理解游戏公平的本质是双方获胜概率相等，题目设置贴近生活，能帮助同学们体会概率在实际决策中的作用。
【难度系数】
0.85
